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1、212指数函数及其性质3第3课时 指数函数及其性质（3）导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a0,mR)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）.思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们

2、在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题指数函数及其性质（3）.推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数,如何证明函数的单调性?(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地,指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图

3、象和性质如下表所示：a10a0时,y1;x0时,0y0时,0y1;x1（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1x2.作差变形.即求f（x2）f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.定号.根据给定的区间和x2x1的符号确定f（x2）f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y=f(g(x)可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x)是增函数;当函数f(x)和g(x)的单调性

4、相异即不同时,复合函数y=f(g(x)是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.应用示例思路1例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1

5、)点,或用计算机作图.解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.x-3-2-101232x0.1250.250.512482x+10.250.51248162x+20.512481632图2-1-2-12比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.(2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13x-3-2-101232x0.1250.250.512482x-10.6250.1250.250.51242x-

6、20.31250.6250.1250.250.512图2-1-2-13比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.点评：类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a0,a1,mR)之间的关系:y=ax+m(a0,mR)的图象可以由y=ax的图象变化而来.当m0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;当m0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.上述规律也简称为“左加右减”.变式训

7、练为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用

8、奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.（1）解：因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0b=1,所以f(x)=;又由f（1）=-f（-1）知=a=2.（2）解法一：由（1）知f(x)=+,易知f(x)在(-,+)上为减函数.又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)0,等价于f(t2-2t)k-2t2,即对一切tR有3t2-2t-k0,从而判别式=4+12k0,k.解法二：由（1）知f(x)=.又由题设条件得0,即1,因底数21,故3t2-2t-k0

9、,上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0,即k0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.(2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.(1)解：依题意,对一切xR有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.所以=0对一切xR成立.由此可得=0,即a2=1.又因为a0,所以a=1.(2)证明:设0x10,x20,x2-x10,得x2+x10,0,10,所以f(x1)-f(

10、x2)0,即f(x)在（0,+）上是增函数.点评：在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为0,1.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;(3)求g(x)的值域.解：(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18,所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.所以g(x)=2x-4x.(2)因为函数g(x)的定义域

11、为0,1,令t=2x,因为x0,1时,函数t=2x在区间0,1上单调递增,所以t1,2,则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t1,2.因为函数t=2x在区间0,1上单调递增,函数g(t)=t-t2在t1,2上单调递减,所以函数g(x)在区间0,1上单调递减.证明:设x1和x2是区间0,1上任意两个值,且x1x2,g(x2)-g(x1)=,因为0x1x21,所以,且12,1 2.所以24.所以-31-1,可知0.所以g(x2)g(x1).所以函数g(x)在区间0,1上单调递减.(3)因为函数g(x)在区间0,1上单调递减,所以x0,1时,有g(1)g(x)g(0).因为g(1)

12、=21-41=-2,g(0)=20-40=0,所以-2g(x)0.故函数g(x)的值域为-2,0.点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.知能训练求函数y=()|1+2x|+|x-2|的单调区间.活动：教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.解：由题意可知2与是区间的分界点.当x时,因为y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x,所以此时函数为增函数.当x2时,因为y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=(

13、)x,所以此时函数为减函数.当x2时,因为y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x,所以此时函数为减函数.当x1,2）,x22,+）时,因为2()x2-()x1=,又因为1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x20,所以1-3x2-3-x1,即2()x2()x1.所以此时函数为减函数.综上所述,函数f(x)在（-,上单调递增,在,+）上单调递减.拓展提升设m1,f(x)=,若0a1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.70.8,所以30.70.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.10.1,所以0.750.11,所以函数y=1.01x在R

14、上是增函数.而2.73.5,所以1.012.71.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.991,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.34.5,所以0.994.51,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m2n,所以mn.(2)0.2m,0.2n可以看成函数y=0.2x,当x=m和n时的函数值;因为0.21,所以函数y=0.2x在R上是减函数.因为0.2mn.(3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0a1,所以函数y=ax在R上是减函数.因为amn.(4)am,

15、an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为aman,所以mn.点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=().当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()=()90.002.答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.B组1.当0a1时,a

16、2x-7a4x-12x-74x1x3;当a1时,a2x-7a4x-12x74x1x3.综上,当0a1时,不等式的解集是x|x3；当a1时,不等式的解集是x|x3.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.解：(1)设y=x+x,那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.由于x+x-1=3,所以y=.(2)设y=x2+x-2,那么y=(x+x-1)2-2.由于x+x-1=3,所以y=7.(3)设y=x2-x-2,那么y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,所以y=3.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是

17、解题的突破口.3.解：已知本金为a元.1期后的本利和为y1=a+ar=a(1+r),2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y3=a(1+r)3,x期后的本利和为y=a(1+r)x.将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得y=a(1+r)x=1 000(1+0.022 5)5=1 0001.022551118.答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元.4.解：(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.所以3x+1=-2x.所以x=.(2)因为y1y2,所以a3x+1a-2x.所以当a1时,3x+1-2x.所以x.所以当0a1时,3x+1-2x.所以x.(设计者：刘玉亭)