北师大版八年级下册数学压轴题专题.docx

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北师大版八年级下册数学压轴题专题

1小敏思考解决如下问题：

原题：

如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：

AP=AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．

（2）受以上

（1）的启发，在原题中，添加辅助线：

如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：

AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

方法：

（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

（3）________________________________________________________

1

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠EAF=∠B，

∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF；

（2）证明：

由

（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ；

（3）解：

已知：

AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ的面积，

解：

连接AC、BD交于O，∵∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，

∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，

∴四边形AECF的面积=

×四边形ABCD的面积，

由

（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，

OA=

AB=2，OB=

AB=2

，

∴四边形ABCD的面积=

×2×2

×4=8

，

∴四边形APCQ的面积=4

．

2问题：

如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　；

探索：

如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：

如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

方法：

（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

（3）________________________________________________________

2解：

（1）BC=DC+EC，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，

（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：

连接CE，由

（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAD′，

在△BAD与△CAE中，

，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°，∴DE=

=6

，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=

DE=6．

3如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，

（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，

（1）中的结论是否成立，请说明理由．

方法：

（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

（3）________________________________________________________

_________________________________________________

3解：

（1）如图1，结论：

CM=EM，CM⊥EM．

理由：

∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，

在△FME和△BMH中，

，

∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH，∵CD=BC，

∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．

（2）如图2，连接BE，

∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，

∴点B、E、D在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，

∴CM=

AF，EM=

AF，∴CM=ME，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，

∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，

∴∠MCF+∠MEF=135°

∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，

∴CM⊥ME．

（3）如图3，连接DF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，

，∴△EDM≌△GDM，

∴ME=MG，∠MED=∠MGD，∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，

∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，

∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，

∴∠MCG+∠MED=180°，

∴∠CME+∠CDE=180°，

∵∠CDE=90°，

∴∠CME=90°，

∴

（1）中的结论成立．

4

（1）操作发现：

如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：

线段GM与GN的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　MG⊥NG　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？

请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在

（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

4解：

（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，

∴MG

CD，同理：

NG

BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：

MG=NG，MG⊥NG；

（2）连接CD，BE相交于点H，同

（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；

（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同

（1）的方法得，MG=NG，同

（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同

（1）的方法得，MG⊥NG．

5将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如图，当点E在BD上时．求证：

FD=CD；

（2）当α为何值时，GC=GB？

画出图形，并说明理由．

【分析】

（1）先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；

（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．

【解答】解：

（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，

∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，∴∠EDG=∠DEG，

∴DG=EG，∴FG=AG，又∵∠DGF=∠EGA，∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），∴DF=AE，

又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；

（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=

AD=

AG，

∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；

②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°﹣60°=300°．

6如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：

四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

【分析】

（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=

AB，BE=

AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；

【解答】

（1）证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=

AB，BE=

AB

∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=

AB=3，AC=

BC=3

，∴S平行四边形BCFD=3×

=9

．