①
，解集，口诀：
大大取大；
②
，解集，口诀：
；
③
，解集，口诀：
；
④
，解集，口诀：
。
名师提醒：
①求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不容易出错。
②一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：
整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头的数值是否在取值的范围内。
五、一元一次不等式（组）的应用：
基本步骤同一元一次方程的应用可分为：
、、、、
、等六个步骤。
名师提醒：
列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：
最大利润，最优方案等。
【重点考点例析】
考点一：
不等式的性质
例1（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
思路分析：
根据不等式的性质进行判断．
解：
A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故本选项正确；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误．
故选：
C．
点评：
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
跟踪训练
1．（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．2m＞2nC．
D．
考点二：
在数轴上表示不等式（组）的解
例2（2015•福州）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
思路分析：
首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组
的解集是-1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组
的解集即可．
解：
不等式组
的解集是：
-1≤x＜2，
∴不等式组
的解集在数轴上表示为：
故选：
A．
点评：
（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：
“小于向左，大于向右”．
跟踪训练
2．（2015•盘锦）把不等式组
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
考点三：
不等式（组）的解法
例3（2015•南京）解不等式2（x+1）-1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
思路分析：
不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：
去括号，得2x+2-1≥3x+2，
移项，得2x-3x≥2-2+1，
合并同类项，得-x≥1，
系数化为1，得x≤-1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
点评：
本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
例4（2015•甘南州）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
思路分析：
将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
解：
，
由不等式①移项得：
4x+x＞1-6，
整理得：
5x＞-5，
解得：
x＞-1，
由不等式②去括号得：
3x-3≤x+5，
移项得：
3x-x≤5+3，
合并得：
2x≤8，
解得：
x≤4，
则不等式组的解集为-1＜x≤4．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，
点评：
此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法（同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解）来找出不等式组的解集．
跟踪训练
3．（2015•巴中）解不等式：
，并把解集表示在数轴上．
4．（2015•上海）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
考点四：
一元一次不等式（组）的整数解
例5（2015•天水）不等式组
的所有整数解是．
思路分析：
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．
解：
，
解不等式①得，
，
解不等式②得，x≤1，
所以不等式组的解集为
，
所以原不等式组的整数解是0，1．
故答案为：
0，1．
点评：
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
跟踪训练
5．（2015•营口）不等式组
的所有正整数解的和为．
考点五：
不等式（组）的应用
例6（2015•眉山）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？
思路分析：
（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解．
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80-x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可．
解：
（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得
，
解得：
，
答：
一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80-x，由题意得
16x+10（80-x）≤1100，
解得：
x≤50，
答：
工会最多可以购买50支钢笔．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式．
例7（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：
所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
思路分析：
（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
解：
（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：
，
解得：
，
答：
每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，
解得：
，
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：
文学名著26本，动漫书46本；
方案二：
文学名著27本，动漫书47本；
方案三：
文学名著28本，动漫书48本．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
跟踪训练
6．（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
7．（2015•黔东南州）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？
请你帮助设计出来；
（3）在
（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？
最少运费是多少元？
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•云南）不等式2x-6＞0的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜-3C．x＞3D．x＜3
2．（2015•丽水）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x＞-1D．-1＜x≤2
3．（2015•西宁）不等式3x≤2（x-1）的解集为（ ）
A．x≤-1B．x≥-1C．x≤-2D．x≥-2
4．（2015•嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ）
5．（2015•绥化）关于x的不等式组
的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤1
6．（2015•佛山）不等式组
的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜2C．1≤x≤2D．1＜x＜2
7．（2015•潜江）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
8．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得-2a＞-2b
C．由a＞b得-a＜-bD．由a＞b得a-2＜b-2
9．（2015•广元）当0＜x＜1时，
的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2015•汕尾）使不等式x-1≥2与3x-7＜8同时成立的x的整数值是（ ）
A．3，4B．4，5C．3，4，5D．不存在
11．（2015•潍坊）不等式组
的所有整数解的和是（ ）
A．2B．3C．5D．6
12．（2015•恩施州）关于x的不等式组
的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A．m=3B．m＞3C．m＜3D．m≥3
13．（2015•永州）若不等式组
恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．-1≤m＜0B．-1＜m≤0C．-1≤m≤0D．-1＜m＜0
14．（2015•东营）东营市出租车的收费标准是：
起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是（ ）
A．11B．8C．7D．5
二、填空题
15．（2015•茂名）不等式x-4＜0的解集是．
16．（2015•吉林）不等式3+2x＞5的解集是．
17．（2015•呼伦贝尔）不等式4x-3＜2x+1的解集为．
18．（2015•莱芜）不等式组
的解集为．
19．（2015•宿迁）关于x的不等式组
的解集为1＜x＜3，则a的值为．
20．（2015•十堰）不等式组
的整数解是．
21．（2015•安顺）不等式组
的最小整数解是．
22．（2015•酒泉）定义新运算：
对于任意实数a，b都有：
a⊕b=a（a-b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：
2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．
三、解答题
23．（2015•安徽）解不等式：
．
24．（2015•自贡）解不等式：
，并把解集在数轴上表示出来．
25．（2015•连云港）解不等式组：
．
26．（2015•怀化）解不等式组：
，并把它的解集在数轴上表示出来．
27．（2015•东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？
（利润=销售价格-进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
28．（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？
最大利润为多少？
2016年中考数学专题复习
第十讲一元一次不等式（组）参考答案
【重点考点例析】
考点一：
不等式的性质
跟踪训练
1．D
考点二：
在数轴上表示不等式（组）的解
跟踪训练
2．B．
考点三：
不等式（组）的解法
跟踪训练
3．解：
去分母得，4（2x-1）≤3（3x+2）-12，
去括号得，8x-4≤9x+6-12，
移项得，8x-9x≤6-12+4，
合并同类项得，-x≤-2，
把x的系数化为1得，x≥2．
在数轴上表示为：
．
4．解：
，
∵解不等式①得：
x＞-3，
解不等式②得：
x≤2，
∴不等式组的解集为-3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
考点四：
一元一次不等式（组）的整数解
跟踪训练
5．6
考点五：
不等式（组）的应用
跟踪训练
6．解：
（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60-x）个，
根据题意得：
50x+70（60-x）=3400，
解得：
x=40，
60-x=60-40=20，
答：
原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80-y）个，
根据题意得：
70y+50（80-y）≤4800，
解得：
y≤40，
∴女款书包最多能买40个．
7．解：
（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x-80）件．
x+（x-80）=320，
解这个方程，得x=200．
∴x-80=120．
答：
饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8-m）辆．得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360=2960（元）；
②3×400+5×360=3000（元）；
③4×400+4×360=3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：
运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
【备考真题过关】
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．A
5．D
6．D
7．D
8．C
9．C
10．A
11．D
12．D
13．A
14．B
二、填空题
15．x＜4
16．x＞1
17．x＜2
18．-1≤x＜2
19．4
解：
，
∵解不等式①得：
x＞1，
解不等式②得：
x＜a-1，
∵不等式组
的解集为1＜x＜3，
∴a-1=3，
∴a=4，
故答案为：
4．
20．-1，0
21．x=-3
22．x＞-1
三、解答题
23．解：
去分母，得2x＞6-x+3，
移项，得2x+x＞6+3，
合并，得3x＞9，
系数化为1，得x＞3．
24．解：
去分母得，4x-1-3x＞3，
移项、合并同类项得，x＞4．
在数轴上表示为：
25．解：
，
解不等式①得：
x＞2，
解不等式②得：
x＜3，
所以不等式组的解集是2＜x＜3．
26．解：
，
由①得，x≤2，
由②得，x＞-1，
故此不等式组的解集为：
-1＜x≤2．
在数轴上表示为：
27．解：
（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
，
解得：
；
答：
A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：
（70-a）台，
则30a+40（70-a）≤2500，
解得：
a≥30，
答：
最少需要购进A型号的计算器30台．
28．解：
（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，
由题意得，
，
解得：
x=3500，
经检验：
x=3500是原分式方程的解，且符合题意，
答：
去年每吨大蒜的平均价格是3500元；
（2）由
（1）得，今年的大蒜数为：
，
设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300-m）吨加工成蒜片，
由题意得，
，
解得：
100≤m≤120，
总利润为：
1000m+600（300-m）=400m+180000，
当m=120时，利润最大，为228000元．
答：
应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．
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