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浅谈平面几何证明中的辅助线概论
论文
浅谈平面几何证明中的辅助线
姓名杜金花
学校勐润小学
2016年11月
摘要
平面几何证明是培养学生逻辑思维能力和表达能力的主要学科，也是立体几何、解析几何的基础。
而平面几何中，很多问题都是不能直接证明，而是需要借助辅助线来证明的。
尤其是中考及会考的试题，几乎每个平面几何题的证明都要添加辅助线，辅助解答题目，有的乃至需要添加多条辅助线。
而增加辅助线则是平面几何证明中的一个难点，如果一个平面几何问题添加辅助线来证明，那么问题就可以解决了。
关键词：
平面几何证明辅助线
ABSTRACT
Planegeometryprovedtobethemainsubjectstudentstrainandlogicalthinkingskills,aswellasthree-dimensionalgeometry,analyticgeometrybasis.Theplanegeometry,manyproblemsarenotdirectproof,butmustrelyonguidestoproveit.Especiallyintheexaminationandexaminationofthequestions,almosteveryplanegeometryprovedtobethethemeofaddingauxiliarylineauxiliaryanswerquestions,addsomeevenmorethandemand.Increasedauxiliarylineplanegeometryisdifficulttoprove,ifageometryproblemtojointheauxiliarylineprovedjustaddauxiliarylines,thentheproblemcanbesolved.
Keywords:
PlaneGeometry；prove；Guides
1、引言1
2、辅助线在解决中学几何中的重要作用1
2.1为什么要添加辅助线1
2.2添加辅助线的原则2
2.2.1难点优先2
2.2.2结论优先2
2.2.3能不分就不分2
2.2.4能“天然”不“人为”2
2.3添加辅助线的手段2
2.3.1平移2
2.3.2对称3
2.3.3旋转3
2.3.4线段的等比移动3
3、研究辅助线在单一图形中的应用3
3.1三角形中添加辅助线的方法与技巧4
3.1.1利用角平分线构造全等三角形4
3.1.2利用垂直平分线性质4
3.1.3倍长中线，利用全等三角形5
3.1.4作底边的高或顶角的角平分线5
3.1.5平移——腰6
3.1.6一般三角形中有二倍角时，构造等腰三角形6
3.1.7将等腰三角形转化为等边三角形7
3.1.8利用旋转法作辅助线7
3.2梯形中添加辅助线的方法与技巧8
3.2.1延长两腰构造三角形8
3.2.2作梯形的腰，构造矩形和直角三角形8
3.2.3平移腰构造平行四边形和三角形9
3.2.4作对角线9
3.2.5过梯形一腰的中点作中心对称图形10
3.2.6平移对角线10
3.3圆中添加辅助线的方法与技巧11
3.3.1引直径作辅助线11
3.3.2引弦心距为辅助线11
3.3.3若已知切线，常过切点作半径12
3.3.4在两圆问题，往往削弱了对两圆的公切线12
3.3.5若两圆相切，常作公共弦为辅助线12
4、结束语13
参考文献13
1.引言
数学是一门研究现实世界的空间形式与数字关系的科学，几何学作为它的一个分支主要是反映现实世界的空间形式，是人们了解客观世界的有用武器，与其他学科一样几何也是源于生活实践，是人们为了自己的生存和成长，在与自然界长期斗争中发展起来的，是人类关于现实生活空间的反映，并用来指导人们的生产和生活实践。
从教育的角度看，几何空间能力对生产生活的其他领域有着巨大影响。
它本身是一个相对独立的能力，在提高科学素质和基本能力、促进科学思维、直觉判断、表达和信息操作方面起着举足轻重的作用。
几何有利于构成科学世界观和理性精神，有助于造就优秀的思维习惯，有助于发展演绎推理和逻辑思维本领，它是一种了解、描绘和联络实际空间的东西，可以为不同层次的创意活动提供丰富的素材，也可以作为几何模型的一种抽象的数学结构。
平面几何是义务教育阶段初级中学数学教学的内容。
在教学中，我们经常会运用到辅助线，辅助线作得恰当，许多难题也会变得简单。
辅助线的作用是通过构造基本图形得到体现的，其作用有三——桥梁作用，显露作用，汇聚作用。
2.辅助线在解决中学几何中的重要作用
辅助线是在解（证）题过程中，为解（证）题创造某个条件，构成某种图形而添加的。
于是辅助线是前提和论断间的纽带，在领导学生剖析图形特征的同时，让学生驾驭适当的增添辅助线的方式及每一类辅助线的功能，对提高学生解（证）题能力是非常重要的。
几何证题的环节是探求已知前提和求证论断的关系，而辅助线就起着一条纽带的作用。
经过引入辅助线，衔接已知前提和求证论断的关联，或从结论中的一个几何量或图形过渡到另一个几何量或图形，从而确定证题的方向。
2.1为什么要添加辅助线
几何问题的解决方法是从条件集合中设置条件，利用正确的逻辑推理，得到问题的结果。
我们遇到的一些几何问题不一定要添加辅助线，有的需要添加辅助线。
为什么有的几何题一定要添加辅助线呢？
我们还是从具体的例题分析谈起。
例1、如图1.1，已知△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BD=CF，DF交BC于E。
求证：
DE=FE。
分析：
两边相等的两线共线和FE在相反的角度得出的结论，所以D和E为平行线构造全等三角形。
（1）如图（1.2），过点D作DG∥CF交BC于G，则可通过证明△DEG≌△FEG，从而得出DE=FE。
（2）如图（1.3），过点F作FG∥AB交BC的延长线于G，通过证明△DEG≌△FEG，从而得出DE=FE。
解（证）几何是已知的，通过正式的逻辑推理和定量计算，探索新的和未知的结果，一个字是创造条件，以实现从已知的转变的结论，实现这一转变。
要求我们根据具体问题具体分析，而添设辅助线，恰是我们缔造的变动前提的一部分，是为了联络几何元素之间的关连而架设的桥梁。
增加辅助线的一般目的是沟通解决问题的思路，创造已知条件的结论的过渡，作用：
（1）使复杂的问题，因为我们熟悉或必须掌握和解决问题。
在证明了位线定理的定理，将问题转化为三角的位线定理，通过增加辅助线。
（2）使图形中隐藏的关系显现出来，使不直接联系的元素发生联系；添加辅助线既不是任意的，也不是绘画或生硬的机械复制，而是带有解决问题的思路和扩展。
当满足一定的条件和结论不能直接连接，以发现、创造条件构思图中决定添加什么，如何添加线，这是添加辅助线的方法本质的理解。
2.2增添辅助线的原则
有很多增添辅助线的技巧和方法，而这些技巧和方法都遵循一定的原则，而这些原则是解（证）几何题的关键，其原则如下：
2.2.1难点优先
在平面几何中通过辅助线添加可以把复杂问题简单化，可以将其抽象为基本图形。
2.2.2结论优先
在从题设出发添加辅助线难以快速、准确的得出结果时，可以优先考虑根据结论出发添加辅助线；
2.2.3能不分就不分
平面几何中，经常遇到如果加上辅助线会带来复杂的处理，则一般保持着：
“不可分”的原则
2.2.4能“天然”不“人为”
辅助线与图形的构造功能，有的结构是人为的，有的是自然的，（直接延伸的是相交的，直接为垂直的，平行线，又称为“自然”），“自然”，就不去"人为”。
2.3添加辅助线的手段
平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时使用平移、旋转、对称增添辅助线是根本思绪和经常使用的法子。
引导学生分析图形的特点，掌握适当的辅助线的方法，对提高学生的解题能力是非常重要的。
2.3.1利用平移添加辅助线
触及梯形一类题目，通常将梯形的腰或对角线平移，形成平行四边形和三角形。
例2、如图2所示，已知AD∥BC，
求证：
图2
分析：
已知梯形ABCD有一组平行线AD与BC，通过平移再作两组平行线PM∥AB，PN∥CF，这样可以构造出两个平行四边形，再把∠BEQ=∠CFQ转化到同一个三角形中，利用角平分线性质把AB与CD的关系转化到FM与PN再转化到MQ与QN，最后可转化到已知条件BQ=QC，得到待证问题。
2.3.2利用对称添加辅助线
在对待三角和、差的问题，往往与角平分线的帮助下沿角平分线一变结构折叠三角形全等三角形，等效替代。
例3、在Rt△ABC情况下，BC斜边上的高AD，∠B的平分线交AD与E，交AC于F，过E作BC的平行线交AC于M，求证：
AF=MC。
图3
分析：
从图可知，要证明AF=MC，它们并不在一个三角形中，由已知条件∠AEF=∠BED，且∠BED,∠AFE都和∠B的半角互余，可知AF=AE，又因为角平分线常作对称轴，所以在BF的另一侧找到△AEB的对称图形△NEB，又因为∠B与∠C互余，∠B与∠BAE互余，所以∠C=∠BAE，又因为∠BAE=∠ENB，从而∠ENB=∠C，可证EN∥MC，又因为EM∥DC，所以四边形ENCM为平行四边形，从而EN=MC，又由对称性AE=EN,所以AF=MC。
2.3.3利用旋转添加辅助线
有关问题的相关问题往往是围绕着三角形的顶点角的旋转，用图形变换，这个问题就可以解决了。
2.3.4线段的等比移动
有了以上这些基本原则和方式，我们不难对少许经常见的辅助线分类考虑，下面将对这几类图形做具体的研究。
3.研究辅助线在单一图形中的应用
添加辅助线在解决几何图形中有很大的作用，几何证明题中辅助线的正确完成是证明题的重要步骤，现对辅助线在单一图形中的应用进行讨论。
3.1三角形中添加辅助线的方法与技巧
本节将研究三角形增加辅助线的方法和技巧。
对这类问题，我们可以寻求基于三角形的补充辅助线方法，许多几何问题似乎与自然无关，但我们可以充分发挥图形的优势，挖掘隐含条件。
并通过适当添加辅助线，构造具有该性质的三角形，使求解简洁。
为了说明这一点，现举例说明。
3.1.1利用角平分线构造全等三角形
例4、如图4，∠B=∠C=90°，是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。
求证:
AD=CD+AB
图4
证明：
过M作ME⊥AD，交AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°。
.
又∵MC=ME，根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，
∴CD=ED
同理可得AB=AE.
∴CD+AB=ED+AE=AD.
即AD=CD+AB
3.1.2利用垂直平分线性质
例5、如图5，△ABC边AB的垂直平分线DE，分别交AB、BC于D、E，如果AC=4，BC=5，求△AEC的周长。
图5
解：
∵DE是△ABC边AB的垂直平分线
∴EB=EA
∴△AEC的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=9
3.1.3倍长中线，利用全等三角形
例6、如图6已知在△ABC中，AB=6，AC=4，BD=CD，连接AD。
求线段AD的取值范围。
图6
分析：
线段AB、AC、AD都是由点A引出，其中AB、AC已知，求AD的取值，怎么办？
三条线段是否可以在一个三角形构成，通过“BD＝CD”，找到解决问题的办法。
解：
延长AD至点E，使AD=DE,
在△ADC和△EDB中，
﹛AD=ED,∠ADC=∠EDB,BD=CD﹜
∴△ADC≌△EDB
∴BE=AC=4
∴6-4﹤2AD﹤6+4
∴1﹤AD﹤5
3.1.4作底边的高或顶角的角平分线
等腰三角形的性质和判定定理就是通过作这样的辅助线得证的。
例7、如图7，在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：
∠BAC=2∠DBC
图7
分析：
证明该BAC=2DBC将BAC的角半，所以它可以角BAC的平分线，或底部BC高，中心线可。
给出其中一种证明过程。
证明;作AE⊥BC，则∠2+∠C=90°，
∵AB=AC
∴∠1=∠2=
∠BAC
∵BD⊥AC
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC=∠2
∴∠BAC=2∠DBC
结论：
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
记住这个结论，对于解答填空题、选择题或判断题非常有帮助。
3.1.5平移——腰
例8、如图8，在△ABC中，AB=AC,点F在AB上，点E在AC的延长线上，BF=CE，连接EF交BC于D，求证：
D为EF的中点。
图8
分析：
证明D为EF的中点，DF=DE，然后考虑DF，DE放在两个三角形全等的可能，所以过F作FG∥AC交BC于G，或过E作AB的平行线交BC的延长线与一点都可，现给出其中一种证明。
证明：
作FG∥AC，则∠1=∠2，∠3=∠E，∠4=∠5
∵AB=AC,∴∠B=∠2
∴∠B=∠1，∴BF=GF
∵BF=CE,∴GF=CE
∴△GFD≌△CED
∴FD=ED，即D为EF的中点。
3.1.6一般三角形中有二倍角时，构造等腰三角形
使二倍角是等腰三角形的外角或平分二倍角
例9、如图9，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠A的平分线，求证：
AB+BD=AC.
图9
分析：
有二倍角时，可延长AB到E，使BE=BD，连结DE，只要证明AE=AC就可以了。
证明：
延长AB到E使BE=BD,连结DE，则∠E=∠3
∴∠4=2∠E
∵∠4=2∠C，∴∠E=∠C
∵AD是∠A的平分线，
∴∠1=∠2，又AD=AD
∴△AED≌△ACD,
∴AE=AC
∴AB+BD=AB+BE=AC
3.1.7将等腰三角形转化为等边三角形
例10、如图10，△DBE是一个等边三角形，点A、点C分别在BE、BD的延长线上，且AD=AC，证明：
DE+DC=AE。
图10
证明：
延长BC至F，使CF=BE，连接AF。
∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ADB=∠ACF
∵△BDE为等边三角形，
∴∠B=60°，BD=BE=DE=CF.
又∵AD=AC,
∴△ABD≌△AFC,
∴AF=AB.
又∵∠B=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=BF
由等量代换得：
AE=AB-BE=BF-CF=BD+DC=DE+DC.
3.1.8利用旋转法作辅助线
例11、如图11，在Rt△ABC中，因为∠BAC=90°，AB与AC相等,D为BC边上的任一点。
证明：
。
图11
证明：
把△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连接DE，则△ABD≌△ACE.
∴BD=CE,∠B=∠ACE.
∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°。
∴
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°.
∴
.
∴
3.2梯形中添加辅助线的方法与技巧
解决梯形的相关问题时，每每所采取的方法是先把梯形转化为三角形和平行四边形，而后使用三角形和平行四边形中的有关知识把问题解决。
在此过程中，对梯形进行割补、拼接，转化到三角形、平行四边形矩形内再求解是关键。
下面是几种常用的增加辅助线的方法。
3.2.1延长两腰构造三角形
将双梯形的腰伸到一点处，将梯子分成大、小的2个三角形，并用特殊的三角形来解决问题。
例12、如图12，已知梯形ABCD中，AD平行于BC，∠B与∠C相等，证明：
梯形ABCD是等腰梯形。
图12
证明：
延长BA、CD，使它们交于E点，
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C
又∵∠B=∠C
∴∠EAD=∠EDA
∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
3.2.2通过梯形的腰，构造矩形和直角三角形
例13、如图13，已知梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，DC=1，DA=2，AB=3，求∠B的度数。
图13
解：
过C点作CE⊥AB，E为垂足，
∵DC∥AB，DA⊥AB
∴DA⊥DC
又∵CE⊥AB
∴四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴AE=DC=1，CE=DA=2
∵AB=3
∴EB=AB－AE=3－1=2=CE
∴∠B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。
3.2.3平移腰构造平行四边形和三角形
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交组成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例14、如图14，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。
图14
解：
过点D作DE∥AB交BC于E，
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形
∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm
∴EC=BC－BE=7－2=5cm
在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE
∴1cm＜CD＜9cm
3.2.4作对角线
在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。
如图15，在梯形ABCD中，DC平行于AB，AD与BC相等，延长AB到E，使得BE=CD，
证明：
AC=CE。
图15
证明：
连结BD
∵AD与BC是腰且AD=BC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）
∵DC∥AB即DC∥BE,BE=CD
∴四边形DBEC是平行四边形
∴BD=CE
∴AC=CE。
3.2.5过梯形一腰的中点作中心对称图形
取一个中点的腰部，连接顶点和这个中点，并延伸到边缘延伸阶段，可以得到中心对称。
例16、如图16，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，证明：
CD=AD＋BC。
图16
证明:
将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置，使AE与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，∠A=∠EBF，
∵AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°
∴∠EBF＋∠ABC=180°，即FB与BC在同一条直线上
∵CE⊥DE，ED=EF
∴CE是DF的中垂线
∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD
3.2.6平移对角线
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例17、如图17，在梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。
图17
解：
过点D作DE∥AC交BC延长线于E
∵AD∥BC，DE∥AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD 2
=
=
cm
3.3圆中增添辅助线的方法与技巧
圆的知识是初中数学的重要内容之一，是考试中经常考查的内容之一，在考试中关于圆的问题上，有很多都需要添加辅助线来帮助解决问题。
3.3.1引直径作辅助线
作辅助线，目的是用“圆周角的直径是直角”这一属性。
例18、如图18，在△MAN中，∠AMN=90°，以AM上一点O为圆心，以OA为半径的圆分别与NA、MA相交于点C、B两点。
（1）求证：
;
（2）若CM与⊙O相切，B是MO的中点，当NM为3时，求NA的长度。
图18
分析：
（1）要证
，只需要证明△AMN∽△ACB，而∠M=90°，所以需要△ACB中有个直角，而AB是圆O的直径，所以连结BC可得∠BCA=90°。
然后根据对应边的比例关系就可以得出结果。
（2）根据直角三角形的性质：
直角三角形的直角边点上距离等于斜边的一半，可以知道△CBO为等边三角形。
3.3.2引弦心距为辅助线
目的是利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的联系。
例19、如图19，MN是⊙O的直径，AO⊥MN交⊙O于A点，弦AC与MN相交于点D,求证
图19
分析：
要证明
，即证明
，过O点作OB⊥AC于B，由垂经定理可知AB=BC，要证明
只需证明Rt△AOB∽Rt△ADO。
然后根据对应边的比例关系就可以得出结果。
3.3.3若已知切线，常过切点作半径
目的是利用切线的有关性质，有助于解题。
例20、如图20，在△ACD中，∠CAD=90°，B是AC上一点，AB为圆的直径，与DC相切于M点，MC=2，BC=1，求MD的长。
图20
分析：
M为分界点，连结OM，则∠OMC=90°，根据切线的性质，有DM=DA，MO=BO=半径r,在Rt△CMO中根据勾股定理或Rt△AMO∽Rt△CAD，即可求出DM。
3.3.4在两圆问题中，往往削弱了对两圆的公切线。
目的是构造弦切角，利用弦切角定理。
例21、如图21，⊙
与⊙
外切与点P，MN是⊙
与⊙
的公共切线，M、N分别为两圆的切点。
求证：
MP⊥NP
图21
分析：
过切点P作公切线PA交MN于A点，由切线性质可知AM=AP=AN，然后三角形内角和可知∠MPN=90°
3.3.5若两圆相切，常作公共弦为辅助线
在面对相交圆的问题时，做了一个很有意义的公共弦，于是“遇到了圆，连接了公共弦”
例22、如图22，⊙
与⊙
相交于点M、N，
的延长线与⊙
相交于B点，MB、NB的延长线和⊙
分别交于点C和点D，求证：
ND=MC。
图22
解：
⊙
是相交的两圆，由连心线与公共弦的关系可知B
为角平分线，然后利用全等三角形可得出BM=BN和BC=BD，从而得出结果。
4.结束语
学好数学对每个中学生而言尤为重要。
随着新课程改革的深入，“健康导向”教学已深深扎根于学生心中，让学生积极参与教学活动的体验，探索形成数学知识、方法和途径来获取知识，这有利于学生成为数学学习的主人。
因此，作为中学数学的一名老师在平时的教学中应注意运用各种教学方式和手段启发学生的求知欲和探索精神；归纳总结解题的规律和方法。
初中数学，包括代数和几何两部分，平面几何有很强的逻辑性，这给很多学生带来了困扰，很多学生都很难找到一个切入点；然而在错综复杂的几何图形中添加合适的辅助线更是困扰学生的一大难题，不知道从何下手去作辅助线解题，尽管老师讲的淋漓尽致，但老师一放手，遇到新题型，有的学生又懵了，有的索性乱画辅助线，像走迷宫一样绕不出来。
那么，如何进行辅助线的教学呢？
教学活动应以开放的、相互的教学形式和方法、手段。
首先要激发学生的学习兴趣，让他们在兴趣的主动性的控制下反复探究，不断总结经验，积累解题技巧。
总之，我们在学习初中的平面几何时，一般要养成多思考、多总结、多归纳的习惯。
在每一章的学习中学会收集各种类型的辅助线，这样在你遇到各种几何证明题中就能迎刃而解。
渐渐地提高自己关于几何问题的综合分析本领，一定能够准确快速的解答关于平面几何的题目，从而提高自己对于数学学习的兴趣及解题能力。
参考文献
[1]袁晓东.浅谈几何辅助线[M]北京师范大学出版社，1983.11版
[2]刘培根.新编中学数学解题方法全书[M]哈尔滨工业大学出版社，2008.1版P248页
[3]奚根荣.怎样添加平面几何辅助线？
[J].《数学教学》2004年1期P17页
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