高中数学基本不等式教案.docx

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高中数学基本不等式教案

高中数学基本不等式教案

（经典版）

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序言

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高中数学基本不等式教案

　　这是高中数学基本不等式教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　高中数学基本不等式教案第1篇

　　教材分析

　　本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

　　课程目标分析

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　1、知识与能力目标：

理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：

按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：

通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重、难点分析

　　重点：

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

　　难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）;

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。

以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

　　教学准备

　　多媒体课件、板书

　　教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。

这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　创设情景，提出问题;

　　设计意图：

数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。

在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　二、抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问]你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　特别地，当a>0，b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

　　设计依据：

类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　答案：

。

　　【归纳总结】

　　如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。

其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　若，则有，当且仅当a=b时，。

　　[问]怎样理解“当且仅当”?

（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

　　高中数学基本不等式教案第2篇

　　一、内容和内容解析

　　本节课是北师大版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

　　就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

　　就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

　　二、教学目标和目标解析

　　教学目标：

了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

　　在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

　　学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

　　进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

　　通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。

这是一个过程性目标。

借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。

结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

　　三、教学问题诊断

　　在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。

但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

　　另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式，使用的前提条件a，b>0同时又要注意区别基本不等式的使用条件为，因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。

而对于“一正二定三相等”的.进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

　　四、教学支持条件分析

　　为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。

　　五、教学设计流程图

　　教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。

通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。

数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。

　　六、教法和预期效果分析

　　本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。

课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

　　同时，以多媒体课件作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。

　　通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法。

　　会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题并注意等号取到的条件。

在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。

　　高中数学基本不等式教案第3篇

　　教学目标:

　　通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.

　　知识与能力:

　　1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.

　　2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.

　　3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.

　　4.知道什么是不等式的解.

　　过程与方法:

　　1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.

　　2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.

　　3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

　　4.通过习题巩固和加深对概念的理解.

　　情感、态度与价值观:

　　1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.

　　2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.

　　3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.

　　4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.

　　教学重、难点及教学突破

　　重点:

不等式的概念和不等式的解的概念.

　　难点:

对文字表述的数量关系能列出不等式.

　　教学突破:

由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.

　　教学过程：

　　一.研究问题：

　　世纪公园的票价是:

每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

　　那么,究竟李敏的提议对不对呢?

是不是真的浪费呢

　　二.新课探究：

　　分析上面的问题:

设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?

②若x　　结论：

至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

　　概括：

1、不等式的定义：

表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,　　2、不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

　　3、不等式的分类：

⑴恒不等式：

-71+4,a+2>a+1.

　　⑵条件不等式：

x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

　　三.基础训练.

　　例1、用不等式表示：

⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.

　　注：

⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

　　⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.

　　例2、用不等式表示：

⑴a与1的`和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.

　　例3、当x=2时，不等式x-1　　注：

⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.

　　学生练习：

课本P42练习1、2、3.

　　四.能力拓展

　　学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.

　　⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

　　⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.

　　解：

⑴按实际45人购票需付钱_________元，如果按50人购买团体票则需付钱50X12X80%=480元，所以购买团体票便宜.

　　⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，

　　由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

　　x12x比较480与12x的大小48　　30

　　40

　　41

　　42

　　由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.

　　五.小结:

　　⑴不等式的定义，不等式的解.

　　⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.

　　六.作业:

课本P42习题8.1第1、2、3题.

　　补充题：

　　1.用不等式表示：

（1）与1的和是正数;

（2）的与的的差是非负数;

　　（3）的2倍与1的和大于3;（4）的一半与4的差的绝对值不小于.

　　（5）的2倍减去1不小于与3的和;（6）与的平方和是非负数;

　　（7）的2倍加上3的和大于-2且小于4;（8）减去5的差的绝对值不大于

　　2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?

（试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解）

　　3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，

（1）设从乙仓库调往A县农用车辆，用含的代数式表示总运费W元;

（2）请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?

你能否求出总运费最低的调运方案.

　　高中数学基本不等式教案第4篇

　　一、教学目标

　　1.把握菱形的判定.

　　2.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.

　　3.通过教具的演示培养学生的学习爱好.

　　4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.

　　二、教法设计

　　观察分析讨论相结合的方法

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1.教学重点:

菱形的判定方法.

　　2.教学难点:

菱形判定方法的`综合应用.

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具预备

　　教具（做一个短边可以运动的平行四边形）、投影仪和胶片,常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师演示教具、创设情境,引入新课,学生观察讨论;学生分析论证方法,教师适时点拨

　　七、教学步骤

　　复习提问

　　1.叙述菱形的定义与性质.

　　2.菱形两邻角的比为1:

2,较长对角线为,则对角线交点到一边距离为________.

　　引入新课

　　师问:

要判定一个四边形是不是菱形最基本的判定方法是什么方法?

　　生答:

定义法.

　　此外还有别的两种判定方法,下面就来学习这两种方法.

　　讲解新课

　　菱形判定定理1:

四边都相等的四边形是菱形.

　　菱形判定定理2:

对角钱互相垂直的平行四边形是菱形.图1

　　分析判定1:

首先证它是平行四边形,再证一组邻边相等,依定义即知为菱形.

　　分析判定2:

　　师问:

本定理有几个条件?

　　生答:

两个.

　　师问:

哪两个?

　　生答:

（1）是平行四边形

（2）两条对角线互相垂直.

　　师问:

再需要什么条件可证该平行四边形是菱形?

　　生答:

再证两邻边相等.

　　（由学生口述证实）

　　证实时让学生注重线段垂直平分线在这里的应用,

　　师问:

对角线互相垂直的四边形是菱形吗?

为什么?

　　可画出图,显然对角线,但都不是菱形.

　　菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后,由教师板书）:

　　注重:

（2）与（4）的题设也是从四边形出发,和矩形一样它们的题没条件都包含有平行四边形的判定条件.

　　例4已知:

的对角钱的垂直平分线与边、分别交于、,如图.

　　求证:

四边形是菱形（按教材讲解）.

　　总结、扩展

　　1.小结:

（1）归纳判定菱形的四种常用方法.

（2）说明矩形、菱形之间的区别与联系.

　　2.思考题:

已知:

如图4△中,,平分,,,交于.

　　求证:

四边形为菱形.

　　八、布置作业

　　教材P159中9、10、11、13

（2）

　　九、板书设计

　　十、随堂练习

　　教材P153中1、2、3