现代控制理论实验02.docx
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现代控制理论实验02
实验2
自动实1301杨晓丹
一、实验内容及目的
仿真一阶系统和二阶系统在单位脉冲、阶跃、斜坡、抛物线输入信号下的响应曲线，改变T、k、Wn、y的值，观察响应曲线的变化，观察响应曲线间的关系。
本次实验熟悉一阶系统和二阶系统的各种响应曲线，以及参数改变对响应曲线的影响。
二、实验方案内容
（1）一阶系统仿真
一阶系统传递函数为G（S）=k/（TS+1），代码如下
clc;
clearall;
closeall;
s=tf（'s'）;
k=1;
T=1;
kc=1;
Tc=1;
num1=[k];
den1=[T1];
numc=[kc];
denc=[Tc1];
sys1=tf（num1,den1）;
sys2=sys1/s;%fort^2/2
sysc1=tf（numc,denc）;
sysc2=sysc1/s;
te=15;%endtime
st=0.01;%step
t=0:
st:
te;
t=t';
y1=impulse（sys1,t）;
y2=step（sys1,t）;
y3=lsim（sys1,t,t）;
y4=lsim（sys2,t,t）;
yc1=impulse（sysc1,t）;
yc2=step（sysc1,t）;
yc3=lsim（sysc1,t,t）;
yc4=lsim（sysc2,t,t）;
y1d=zeros（te/st+1,1）;%itisderivative
y2d=zeros（te/st+1,1）;
y3d=zeros（te/st+1,1）;
y4d=zeros（te/st+1,1）;
fori=1:
（te/st-1）%calculatederivative
y1d（i）=（y1（i+1）-y1（i））/st;
y2d（i）=（y2（i+1）-y2（i））/st;
y3d（i）=（y3（i+1）-y3（i））/st;
y4d（i）=（y4（i+1）-y4（i））/st;
end
figure
（1）;
plot（t,y1,'b',t,y2d,'r',t,yc1,'k--'）;
figure
（2）;
plot（t,y2,'b',t,y3d,'r',t,yc2,'k--'）;
figure（3）;
plot（t,y3,'b',t,y4d,'r',t,yc3,'k--'）;
figure（4）;
plot（t,y4,'b',t,yc4,'k--'）;
绘图中蓝线为原图像，红线为另一响应曲线求导得到的曲线，黑线为修改K,T值后的曲线。
1.观察一阶系统输入单位脉冲、阶跃、斜坡、抛物线信号时的响应曲线
2.观察响应曲线求导后的关系
3.更改K,T,观察响应曲线的变化
（2）二阶系统仿真
二阶系统传递函数为G（S）=Wn^2/（S^2+2*y*Wn*s+Wn^2），代码如下
clc;
clearall;
closeall;
s=tf（'s'）;
wn=1;
y=1;
wnc=3;%changed
yc=1;
numc=[wnc*wnc];
denc=[12*yc*wncwnc*wnc];
sysc1=tf（numc,denc）;
sysc2=sysc1/s;
num1=[wn*wn];
den1=[12*y*wnwn*wn];
sys1=tf（num1,den1）;
sys2=sys1/s;%fort^2/2
te=15;%endtime
st=0.01;%step
t=0:
st:
te;
t=t';
y1=impulse（sys1,t）;
y2=step（sys1,t）;
y3=lsim（sys1,t,t）;
y4=lsim（sys2,t,t）;
yc1=impulse（sysc1,t）;
yc2=step（sysc1,t）;
yc3=lsim（sysc1,t,t）;
yc4=lsim（sysc2,t,t）;
y1d=zeros（te/st+1,1）;%itisderivative
y2d=zeros（te/st+1,1）;
y3d=zeros（te/st+1,1）;
y4d=zeros（te/st+1,1）;
fori=1:
（te/st-1）%calculatederivative
y1d（i）=（y1（i+1）-y1（i））/st;
y2d（i）=（y2（i+1）-y2（i））/st;
y3d（i）=（y3（i+1）-y3（i））/st;
y4d（i）=（y4（i+1）-y4（i））/st;
end
[a,b,c,d,e,f,g]=value（y2,st）;
figure
（1）;
plot（t,y1,'b',t,y2d,'r:
',t,yc1,'k--'）;
figure
（2）;
plot（t,y2,'b',t,y3d,'r:
',t,yc2,'k--'）;
legend（g,4）;
figure（3）;
plot（t,y3,'b',t,y4d,'r:
',t,yc3,'k--'）;
figure（4）;
plot（t,y4,'b',t,yc4,'k--'）;
绘图中蓝线为原图像，红线为另一响应曲线求导得到的曲线，黑线为修改y,Wn值后的曲线。
1.观察二阶系统输入单位脉冲、阶跃、斜坡、抛物线信号时的响应曲线
2.观察响应曲线求导后的关系
3.更改y,Wn,观察响应曲线的变化
三、实验结果及分析
（1）一阶系统
对信号进行拉普拉斯变换，则u1（s）=1，u2（s）=1/s,u3（s）=1/s^2,u4（s）=1/s^3。
带入得y1（S）=k/（1+TS）,y2（S）=k/（1+TS）/S,y3（S）=k/（1+TS）/S^2,y4（S）=k/（1+TS）/S^3。
y1（t）=k/T*exp（-t/T）
y2（t）=k-k*exp（-t/T）
y3（t）=k*t-T*k+T*k*exp（-t/T）
y4（t）=T^2*k+（k*t^2）/2-T^2*k*exp（-t/T）-T*k*t
1.K=1,T=1时
脉冲
阶跃
斜坡
抛物线
图像与对应的方程相同
2.各个信号和各个响应曲线间的关系
对响应曲线求导，发现图像性状相似，将相似的图像绘制到同一张图上。
脉冲信号的响应曲线和阶跃信号的响应曲线的求导曲线：
阶跃信号的响应曲线和斜坡信号的响应曲线的求导曲线：
斜坡信号的响应曲线和抛物线信号的响应曲线的求导曲线：
两条曲线（蓝、红）完全重合，由方程可知y1（t）=y2’（t）=k/t*exp（-t/T）,y2（t）=y3’（t）=k-k*exp（-t/T）,y3（t）=y4’（t）=k*t-T*k+T*k*exp（-t/T）。
二者存在导数关系。
验证了若f2（t）=f1’（t），则g2（t）=g1’（t）。
3.改变K值
K从1到10变化：
脉冲
阶跃
斜坡
抛物线
随着K值的增大，y1的初值成比例增大，y2、y3、y4的终值成比例增大，但是y1和y2的稳定时间没有变化，y3和y4上升到相应值的时间也没有变化。
y1（t）,y2（t）,y3（t）,y4（t）的表达式中不难看出，k值的改变让y（t）增大了k倍，与图像相符。
4.改变T值
T从1到3变化：
脉冲
阶跃
斜坡
抛物线
y1的初值随T的增大而减小，衰减率随T的增大而减小。
y2的终值不变，ts随T的增大而增大。
y3的初始增长速度随T的增大而减小，增长速度最终相等。
y4的初值增长速度随T的增大而减小，增长速度最终相等。
这是由于
y1（t）=k/T*exp（-t/T），初值为k/T,衰减率为exp（-t/T）。
y2（t）=k-k*exp（-t/T），y2终值与T无关，而y2在某一时刻的值与t/T的值有关。
y3（t）=k*t-T*k+T*k*exp（-t/T），刚开始T*k*exp（-t/T）影响较大，随后影响较小。
y4（t）=T^2*k+（k*t^2）/2-T^2*k*exp（-t/T）-T*k*t，刚开始-T*k*t和-T^2*k*exp（-t/T）影响较大，随后影响减小。
（2）二阶系统
对信号进行拉普拉斯变换，则u1（s）=1，u2（s）=1/s,u3（s）=1/s^2,u4（s）=1/s^3。
带入得y1（s）=Wn^2/（s^2+2*y*Wn*s+Wn^2）,y2（s）=Wn^2/（s^2+2*y*Wn*s+Wn^2）/s,
y（3）=Wn^2/（s^2+2*y*Wn*s+Wn^2）/s^2,y（4）=Wn^2/（s^2+2*y*Wn*s+Wn^2）/s^3。
y1（t）=（Wn*exp（-Wn*t*y）*sin（Wn*t*（1-y^2）^（1/2）））/（1-y^2）^（1/2）
y2（t）=1-exp（-Wn*t*y）*（cosh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2））+（y*sinh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2）））/（y^2-1）^（1/2））
y3（t）=t-（2*y）/Wn+（2*y*exp（-Wn*t*y）*（cosh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2））-（sinh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2））*（Wn*y+（-4*Wn*y^2+Wn）/（2*y）））/（Wn*（y^2-1）^（1/2））））/Wn
y4（t）=（4*y^2-1）/Wn^2+t^2/2-（2*t*y）/Wn-（exp（-Wn*t*y）*（cosh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2））-（sinh（Wn*t*（y^2-1）^（1/2））*（Wn*y+（-8*Wn*y^3+4*Wn*y）/（4*y^2-1）））/（Wn*（y^2-1）^（1/2）））*（4*y^2-1））/Wn^2
1.Wn=1,y=1
脉冲
阶跃
斜坡
抛物线
2.各个信号和各个响应曲线间的关系
对响应曲线求导，发现图像性状相似，将相似的图像绘制到同一张图上。
脉冲信号的响应曲线和阶跃信号的响应曲线的求导曲线：
阶跃信号的响应曲线和斜坡信号的响应曲线的求导曲线：
斜坡信号的响应曲线和抛物线信号的响应曲线的求导曲线：
两条曲线（蓝、红）完全重合。
验证了若f2（t）=f1’（t），则g2（t）=g1’（t）。
3.改变Wn的值
Wn的值见右下角
Wn增大，ts减小，tr减小。
Wn减小，ts增大，tr增大。
Wn和ts以及tr成反比。
4.
改变y的值
y值和Wn的值在图片的右下角。
当y<0时，系统是发散的，随着y的减小，系统发散的程度增大。
当y=0时，系统处于临界状态。
当0ts与y近似的成反比。
当y≥1时，随着y的增大，ts增大，tr增大。
四、实验中存在的问题
1.用MATLAB对二阶系统做拉普拉斯逆变换得到的方程较为复杂，出现了双曲三角函数，难以像一阶系统一样的进行分析。
2.实验中直接改Wn,y的值便于分析，但却不能直接体现出参数之间的矛盾，需要通过Wn=sqrt（K/J）,y=B/2*sqrt（1/T/K）推导得出。
将代码改为用K,B,J来定Wn和y或许更能体现这一点。
3.实验报告的图较多，浏览起来并不方便。
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