现代控制实验zhouwei.docx
《现代控制实验zhouwei.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制实验zhouwei.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
现代控制实验zhouwei
现在控制理论实验
实验一
用matlab完成倒立摆系统的分析与综合
班级：
自动化
32011003
学号：
3201100318
姓名：
周伟
指导老师：
闫茂德
实验一用Matlab完成倒立摆系统的分析与综合
1绪论
1.1控制理论的发展
控制理论发展可以分为三个阶段:
第一阶段是经典控制理论阶段.
第二阶段是现代控制理论阶段。
第三阶段是大系统理论和智能控制理论阶段。
1.2倒立摆的相关知识
倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。
本文研究了直线一级倒立摆的控制问题。
首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了一级倒立摆的数学模型。
本文用极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足要求的瞬态和稳态性能指标。
通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。
1.3倒立摆主要控制方法
倒立摆的控制方法可分为以下几类：
（1）线性理论控制方法
将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器
（2）预测控制和变结构控制方法
预测控制：
是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。
变结构控制：
是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。
预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。
2直线一阶倒立摆数学模型的建立
2.1倒立摆系统的物理结构与建模
2.1.1倒立摆物理结构
2.1.2倒立摆受力分析
2.1.3运动方程的线性化与微分方程模型（1.2.3，内容均与实验原理相同，在此就不重述了）
2.1.4传递函数模型
将式2.9进行拉普拉斯变换（假设初始条件为0）得到
（式2.10）
由于需要输出为角度，化简上式消去X（s），求解上式中的第一个等式，可得
（式2.11）
将式2.11代入式2.10消去X（s）可得
（式2.12）
整理后可得以u为输入量，以摆杆角度
为输出量的传递函数
（式2.13）
式中
。
若取小车位移为输出量，可得传递函数
（式2.14）
2.1.5状态空间数学模型
由现代控制理论可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
在式2.9中对
、
求解代数方程，得到如下解：
（式2.15）
整理后得到系统状态空间方程：
（式2.16）
（式2.17）
2.2系统参数设定
倒立摆系统实际上是一个定常系统，其系统参数是可以得到的。
有些参数可以直接测得，如摆的质量、长度、摆杆的重心到转轴的距离、小车的质量等。
而有些参数需要采用间接的方法得到，如摆杆的转动惯量、小车的等效摩擦系数、转轴的等效摩擦系数等。
假设系统内部各相关参数为：
M小车质量0.8kg
m摆杆质量0.5kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆质心到转轴之间的长度0.4m
I摆杆惯量0.007kg*m*m
T采样时间0.005s
把上述参数代入式2.13、式2.14、式2.16、式2.17中，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度
和输入量u的传递函数为：
（式2.18）
小车位移x和输入量u之间的传递函数为：
（式2.19）
系统的状态方程：
（式2.20）
（式2.21）
2.3系统能控性与能观性
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统，且是稳定的，输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性及可观性概念。
如果系统所有状态变量的运动都可由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则系统是完全可控的,否则就称系统不完全可控。
相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反应，则称系统是状态完全可观测；反之，则称系统不完全可观测。
应用式2.20与式2.21推导出的系统状态方程，在MATLAB中执行以下的命令：
A=[0100;0-1.10401.09440;0001;0-0.273635.56770];B=[0;1.1039;0;2.7360];
C=[1000;0010];D=[00];
Tc=ctrb（A,B）;
To=obsv（A,C）;
rank（Tc）
rank（Tc）
执行结果为：
ans=4
ans=
4
可见Tc矩阵和To矩阵的秩都为4等于系统的阶次，所以系统是完全可控且完全可观测的。
3极点配置控制方案的设计
3.1极点配置理论
对于如下的线性定常系统：
（式3.1）
状态反馈控制力u（t）为：
式中，K为增益，r为参考输入命令，y为输出。
将控制力u（t）代入系统可得闭环系统方程为：
（式3.2）
显然，闭环系统的特征多项式应为:
（式3.3）
由式3.2可知，经状态反馈增益后，系统矩阵A变成了A-BK[1]，适当的选择反馈增益矩阵，可以改变系统的特征方程，也就是改变系统极点的位置。
图3.1加入状态反馈后系统结构图
图3.1中A、B、C矩阵和积分环节
组成了基本的状态空间方程的基本结构框图，加入状态反馈矩阵K后，构成闭环全状态反馈系统。
3.2极点配置算法
单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K的算法主要有系统匹配法、Ackermann配置法、Gura-Bass算法等几种方法。
其中较为常用的方法是Gura-Bass算法，其具体步骤为:
1）判断系统的可控性。
确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标；
2）计算A的特征多项式，即开环系统的特征多项式3.4式的
个系数
；
3）由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征多项式3.4式的
个系数
；
4）计算矩阵
；
5）计算变换阵T:
（式3.4）
6、计算所求的增益阵
Gura-Bass算法不仅适用于单输入-单输出系统，也同样适用于单输入-多输出系统。
多输入-多输出系统可以化为等价的单输入系统，进而采用单输入系统的极点配置算法
3.3极点配置控制方案的设计
所谓状态反馈，就是用状态向量与一个系数矩阵的积作为控制向量
控制力u是一个加给小车水平方向的力u，状态变量有4个，所以反馈系数是个1X4阶的矩阵
（式3.5）
则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数
乘积之和的形式表示，即
（式3.6）
状态反馈控制系统的方框图[4]如图3.2所示：
图3.2状态反馈控制系统的框图
图3.2中状态空间方程是系统的主体，状态空间的四个状态变量
分别与四个增益
相乘后求和作为控制力u作为状态空间方程的输入。
根据第二章已经得到的倒立摆系统的状态方程2.20式和2.21式中的矩阵A、B。
矩阵A的特征值是方程
的根：
（式3.7）
利用matlab求得系统的特征根为
分别为：
特征根之一的
实部是正值，所以该系统是不稳定的。
由此可知：
u=0时，倒立摆系统是不稳定的系统。
对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，即达到稳定状态。
在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的控制系统的特征根，以矩阵（A+BK）的特征值给出。
系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的左半平面。
矩阵（A+BK）的特征值是方程式
的根：
（式3.8）
这是s的四次代数方程式，表示为多项式形式：
（式3.9）
选择适当的反馈系数
，系统的特征根可以取得所希望的值。
把四个特征根
设为四次代数方程式的根，则有
（式3.10）
比较式3.9和式3.10有下列联立方程式：
（式3.11）
如果给出的
是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。
据此可求解出实数
。
当将特征根指定为下列两组共轭复数时
（式3.12）
利用方程式可列出关于
的方程组求解后得：
（式3.13）
即施加在小车水平方向的控制力
（式3.14）
上式给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量
都可稳定在零的状态。
这就意味着即使在初始状态或因存在干扰
时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。
相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值。
一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但相应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。
表3.1所示为在复平面上指定的特征根配置成三种情况分别得到的反馈系数
。
图3.3为指定特征根在复平面的分布情况。
表3.1特征根三种配置情况
符号
指定特征值
反馈系数
1
2
3
图3.3极点配置法指定的特征根
表3.1中的第一组配置数据在图3.3中以
表示，在虚轴左侧周围原点分布，距离远点很近，对应的的反馈系数也比较小；第二组数据以
表示，也在虚轴左侧原点周围，距离比第一组数据远，反馈系数较大；第三组数据以
表示，也在虚轴左侧，其中有一对远离原点的共轭复根，对应的反馈系数最大。
这显示出特征根越往复平面的左侧配置，
的值就越大这一倾向[4]。
总之，用极点配置法指定的特征根和用极点配置法得到的控制系统的特性两者密切相关，在实际控制系统中，若由极点配置法决定反馈系数，必须反复进行这样的仿真，以得到满足更具体的控制目标和硬件上的制约的控制系统
4控制系统的MATLAB仿真
4.1MATLAB软件介绍
MATLAB拥有功能强大、丰富的函数工具箱，可以实现科学计算、符号运算、算法研究、数学建模和仿真、数据分析和可视化、科学工程绘图以及图形用户界面设计等强大功能[7]。
MATLAB语言具有如下特点：
（1）编程效率高
（2）语句简单，用户使用方便
（3）扩展能力强
（4）方便的绘图功能
4.2极点配置控制方案的仿真
一阶倒立摆系统的开环响应如图4.1：
图4.1系统开环响应曲线
其中：
绿线为角度响应，蓝线为位移响应
仿真表明系统开环不稳定，在微小的扰动下都会发散，因此需要采取一定的控制策略，
使系统稳定。
利用Simulink建立系统模型，如图4.2：
图4.2极点配置系统框图
图中状态空间State-Space模块是一阶倒立摆的数学模型，根据计算出的倒立摆系统参数设置其中的A、B、C、D矩阵，状态空间的输出是四个状态
分别经过四个放大器后相加作为状态空间的反馈输入。
把位移和角度作为观察量输入Scope中，同时作为s函数的输入。
当极点配置为
时
在初始扰动为5的脉冲干扰时输出波形如图4.3：
图4.3极点配置初始扰动响应
从图4.3可以看出在此反馈增益下，在初始扰动时5s后系统才稳定下来，响应时间较长，难以满足快速性的要求。
在3~4s时加入幅值为30的干扰信号，再次仿真。
图4.4极点配置抗干扰性
在3s时加入脉冲干扰，观察输出信号可以发现系统需要2s时间才能稳定下来，系统的响应时间较大，稳定性不足，难以满足系统快速性的要求。
重新调整极点位置，经过多次仿真发现将极点配置在
时系统具有相对最优的响应特性，此时反馈增益向量为
在初始扰动为5的脉冲干扰时下输出波形如图4.5：
图4.5改变配置参数后系统输出
观察输出信号可以发现，倒立摆输出摆角和小车位置都能在1s稳定，系统动态性能已能达到要求。
5.小结
倒立摆系统作为典型的非线性、多变量、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，是研究控制理论的理想实验手段。
本次实验的内容主要是关于直线一级倒立摆系统的控制设计，其中涉及了关于自动控制方面的很多知识，尤其是现代控制理论。
也有关于数学建摸方面的知识以及MATLAB软件的应用。
此次实验任务是建立直线一级倒立摆系统的数学模型，在系统内加一个控制器，使其构成一个闭环系统，并进行MATLAB仿真，给出控制曲线和控制器参数并进行分析。
升级会员 