现代控制理论实验.docx
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现代控制理论实验
华北电力大学
实验报告
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实验名称状态空间模型分析
课程名称现代控制理论
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专业班级：
自动化1201学生姓名：
马铭远
学号：
201202020115成绩：
指导教师：
刘鑫屏实验日期：
4月25日
状态空间模型分析
一、实验目的
1.加强对现代控制理论相关知识的理解；
2.掌握用matlab进行系统李雅普诺夫稳定性分析、能控能观性分析；
二、实验仪器与软件
1.MATLAB7.6环境
三、实验内容
1、模型转换
图1、模型转换示意图及所用命令
传递函数一般形式：
MATLAB表示为：
G=tf（num,den），，其中num,den分别是上式中分子，分母系数矩阵。
零极点形式：
MATLAB表示为：
G=zpk（Z,P,K），其中Z，P，K分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。
传递函数向状态空间转换：
[A,B,C,D]=TF2SS（NUM,DEN）；
状态空间转换向传递函数：
[NUM,DEN]=SS2TF（A,B,C,D,iu）---iu表示对系统的第iu个输入量求传递函数；对单输入iu为1。
例1：
已知系统的传递函数为G（S）=,利用matlab将传递函数和状态空间相互转换。
解：
1.传递函数转换为状态空间模型：
NUM=[124];DEN=[111611];
[A,B,C,D]=tf2ss（NUM,DEN）
2.状态空间模型转换为传递函数：
A=[-11-6-11;100;010];B=[1;0;0];C=[124];D=[0];iu=1;
[NUM,DEN]=ss2tf（A,B,C,D,iu）;
G=tf（NUM,DEN）
2、状态方程状态解和输出解
单位阶跃输入作用下的状态响应：
G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=step（G）;plot（t,x）.
零输入响应
[y,t,x]=initial（G,x0）其中，x0为状态初值。
例二：
仍然使用一中的状态空间模型，绘制单位阶跃输入作用下的状态响应和零输入响应,其中零输入响应的初始值x0=[121]。
解：
1.绘制单位阶跃输入作用下的状态响应：
A=[-11-6-11;100;010];B=[1;0;0];C=[124];D=[0];
G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=step（G）;plot（t,x）
2.绘制零输入响应：
A=[-11-6-11;100;010];B=[1;0;0];C=[124];D=[0];
G=ss（A,B,C,D）;
x0=[121];[y,t,x]=initial（G,x0）;plot（t,x）
3、系统能控性和能观性
能控性判断：
首先求能控性判别矩阵：
co=ctrb（A，B）。
然后求rank（co）并比较与A的行数n的大小，若小于n则不可控，等于为可控。
也可以求co的行列式，不等于0，系统可控，否则不可控。
能观测性判断：
首先求能观测性阵ob=obsv（A，C）,或者ob=ctrb（A'，C'）;
然后求rank（ob）并比较与A的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观测。
也可以求co的行列式，不等于0，系统能观，否则不能观
例三：
判断下列系统的能控能观性：
解：
A=[-510;0-50;00-3];B=[10;00;10];C=[101;-110];
co=ctrb（A,B）;
rank（co）
因为2<3（A的行数），所以不能控
ob=obsv（A,C）;
rank（ob）
是满秩的
显然，该系统是能观测的。
综上，该系统能观不能控。
4、线性变换
一个系统可以选用不同的状态变量，所以状态方程是不唯一的。
但是这些方程之间是可以相互转换的。
[At，Bt，Ct，Dt]=ss2ss（A，B，C，D，T）
变换矩阵T不同，可得到不同的状态方程表示形式，如可控型，可观测型，Jordan标准型表示。
matlab变换与控制书上讲的变换略有差别。
这里是z=Tx，其中x是原来的变量，z是现在的变量。
书上则是x=Tz。
因此线性变换时，首先要对给定的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T中。
求对角阵（或约当阵）：
MATLAB提供指令：
[At，Bt，Ct，Dt，T]=canon（A，B，C，D，'modal'）
它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。
求可观测标准型：
[At，Bt，Ct，Dt，T]=canon（A，B，C，D，'companion'）
求可控标准型：
首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求[At'，Ct'，Bt'，Dt']
例四：
（1）将状态方程转化为对角标准型
解：
A=[010;001;-6-11-6];B=[1;1;0];
C=[000];D=[0];
[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon（A,B,C,D,'modal'）
（2）求该系统的能观标准型并得变换阵T。
解：
A=[010;001;-6-11-6];B=[0;0;1];C=[100];D=[0];
[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon（A,B,C,D,'companion'）
5、线性定常系统的结构分解
当系统是不可控的，可以进行可控性规范分解。
使用
[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）命令。
验证P497例题9-21。
当系统是不可观测的，可以进行可观测性规范分解。
使用[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）命令。
例五:
（1）将下列系统进行可控性分解。
该系统不可控
A=[-510;0-50;00-3];B=[10;00;10];C=[101;-110];
[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）
（2）将以下系统进行可观测性分解：
A=[-100;0-20;00-4];B=[2;2;1];C=[012];
ob=obsv（A,C）;%求能观判别阵
rank（ob）
[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）
6、极点配置算法
调用命令格式为K=acker（A,B,P），或者K=place（A,B,P）。
A，B为系统系数矩阵，
P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较（附带文件control.m）。
t=0:
0.01:
5;
U=0.025*ones（size（t））;%幅值为0.025输入阶跃信号
[Y1,X1]=lsim（A,B,C,D,U,t）;
[Y2,X2]=lsim（A-B*K,B,C,D,U,t）;
figure
（1）
plot（t,Y1）;grid;title（'反馈前'）;
figure
（2）
plot（t,Y2）;title（'反馈后'）;
grid;
例六：
已知系统的传递函数为试设计一个状态反馈矩阵，使闭环系统的极点在-2，。
解：
依据系统传递函数写出能控标准型
系统完全能控，可任意配置极点
A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1];
P=[-2,-1+j,-1-j];K=acker（A,B,P）
t=0:
0.01:
5;
U=0.025*ones（size（t））;%幅值为0.025输入阶跃信号
[Y1,X1]=lsim（A,B,C,D,U,t）;
[Y2,X2]=lsim（A-B*K,B,C,D,U,t）;
figure
（1）
plot（t,Y1）;grid;title（'反馈前'）;
figure
（2）
plot（t,Y2）;grid;title（'反馈后'）;
对状态反馈前后的输出响应进行比较
7、线性定常系统稳定判据
函数lyap（A,Q）求如下式的李氏方程：
AP+PAT=-Q
注意与教材的区别，应将给定A矩阵转置后再代入lyap函数。
例七：
设系统的状态方程如下，其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性：
解：
A=[0-2;1-3];Q=[10;01];
lyap（A,Q）
求解出的P阵正定，所以在原点出的平衡状态是渐近稳定的，且是大范围渐进稳定
四．实验总结：
通过此次实验，我对状态空间模型的求解，及线性系统对角线标准型、约旦标准型、模态标准型、伴随矩阵标准型的表示方法，和相互之间进行变换的方法有了更深入、更直观的了解。
之前的学习在没有实验之前总归是纸上谈兵，通过MATLAB仿真，对所学知识有了更加全面的理解。
在做实验的过程中，有时会出现错误，大部分是跟标点符号有关，也提醒自己时刻注意切换英文输入法。
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