.
9.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)若a=3
,c=5,求b.
解析
(1)由a=2bsinA,得sinA=2sinBsinA,所以sinB=
.
由△ABC为锐角三角形,得B=
.
(2)根据余弦定理,得b2=a2+c2-2acosB=27+25-45=7,所以b=
.
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
解析
(1)由已知,根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.
故cosA=-
,又A∈(0,π),故A=120°.
(2)由
(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.
又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=
.
因为0°
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
11.在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解析 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得
cos∠ADC=
=
=-
.
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理,得
=
.
∴AB=
=
=
=5
.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=
(a2+b2-c2).
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sinB的最大值.
解析
(1)由题意可知
absinC=
·2abcosC,
所以tanC=
.因为0.
(2)由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)
=sinA+sin(
-A)=sinA+
cosA+
sinA
=
sin(A+
)≤
.
当△ABC为正三角形时取等号,
所以sinA+sinB的最大值是
.
13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.
解析
(1)由已知,根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.
故cosA=-
,A=120°.
(2)由
(1),得sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)
=
cosB+
sinB=sin(60°+B).
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1.
►重点班·选作题
14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-
.
(1)求sinC的值;
(2)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析
(1)因为cos2C=1-2sin2C=-
,及0.
(2)当a=2,2sinA=sinC时,
由正弦定理
=
,得c=4.
由cos2C=2cos2C-1=-
,及0.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2±
b-12=0,解得b=
或2
.
所以
或
1.(2013·辽宁)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=
b,且a>b,则∠B=( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据正弦定理,得asinBcosC+csinBcosA=
b等价于sinAcosC+sinCcosA=
,即sin(A+C)=
.
又a>b,∴∠A+∠C=
,∴∠B=
.故选A项.
2.(2012·北京)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-
,则b=________.
答案 4
解析 由余弦定理,得cosB=
=
=-
,解得b=4.
3.(2011·湖北)设△ABC的内角,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=________.
答案
解析 ∵由(a+b-c)(a+b+c)=ab,整理,可得a2+b2-c2=-ab.
∴cosC=
=
=-
,∴C=
.
4.(2013·北京)在△ABC中,a=3,b=2
,∠B=2∠A.
(1)求cosA的值;
(2)若c的值.
解析
(1)因为a=3,b=2
,∠B=2∠A,
所以在△ABC中,由正弦定理,得
=
.
所以
=
.故cosA=
.
(2)由
(1)知,cosA=
,所以sinA=
=
.
又因为∠B=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=
.
所以sinB=
=
.
在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
.
所以c=
=5.
5.(2013·江西)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-
sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解析
(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-
sinAcosB=0,即有sinAsinB-
sinAcosB=0.
因为sinA≠0,所以sinB-
cosB=0.
又cosB≠0,所以tanB=
,又0
.
(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB.
因为a+c=1,cosB=
,所以b2=3(a-
)2+
.
又0≤b2<1,即
≤b<1.
6.(2013·四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2
cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-
,
(1)求cosA的值;
(2)若a=4
,b=5,求向量
在
方向上的投影.
解析
(1)由2cos2
cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-
,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-
,
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-
.
则cos(A-B+B)=-
,即cosA=-
.
(2)由cosA=-
,0.
由正弦定理,有
=
,所以,sinB=
=
.
由题知a>b,则A>B,故B=
.
根据余弦定理,有(4
)2=52+c2-2×5c×(-
),解得c=1或c=-7(舍去).
故向量
在
方向上的投影为|
|cosB=
.
7.(2013·重庆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+
bc.
(1)求A;
(2)设a=
,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.
解析
(1)由余弦定理,得
cosA=
=
=-
.
又因0.
(2)由
(1)得sinA=
,又由正弦定理及a=
,得
S=
bcsinA=
·
·asinC=3sinBsinC.
因此,S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).
所以,当B=C,即B=
=
时,S+3cosBcosC取最大值3.
8.(2012·新课标全国)已知a,b