反三角函数知识点总结多篇.docx

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反三角函数知识点总结多篇

反三角函数知识点总结多篇

反三角函数知识点总结9篇

反三角函数知识点总结

（1）

三角函数

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．任意角

（1）角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

（2）终边与角α相同的角可写成α＋k·360°（k∈Z）．终边与角相同的角的集合为

（3）弧度制

①1弧度的角：

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②弧度与角度的换算：

360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是

④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：

sinα＝，cosα＝，tanα＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：

一全正、二正弦、三正切、四余弦）

3．特殊角的三角函数值

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）

（2）商数关系：

＝tanα.（3）倒数关系：

2．诱导公式

公式一：

sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cos_α，其中k∈Z.

公式二：

sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan（π＋α）＝tanα.

公式三：

sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cos_α，．

公式四：

sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α，.

公式五：

sin＝cos_α，cos＝sinα.

公式六：

sin＝cos_α，cos＝－sin_α.

诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：

奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变（正弦变余弦，余弦变正弦）；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：

把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．

B.方法与要点

一个口诀

1、诱导公式的记忆口诀为：

奇变偶不变，符号看象限．

2、四种方法

在求值与化简时，常用方法有：

（1）弦切互化法：

主要利用公式tanα＝化成正、余弦．

（2）和积转换法：

利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．

（、、三个式子知一可求二）

（3）巧用“1”的变换：

1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝tan

（4）齐次式化切法：

已知，则

三、三角函数的图像与性质

学习目标：

1会求三角函数的定义域、值域

2会求三角函数的周期：

定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。

3会判断三角函数奇偶性

4会求三角函数单调区间

5知道三角函数图像的对称中心，对称轴

6知道，，的简单性质

（一）知识要点梳理

1、正弦函数和余弦函数的图象：

正弦函数和余弦函数图象的作图方法：

五点法：

先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数、余弦函数的性质：

（1）定义域：

都是R。

（2）值域：

都是，

对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；

对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。

（3）周期性：

，的最小正周期都是2；

（4）奇偶性与对称性：

①正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；

②余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。

（5）单调性：

上单调递增，在单调递减；

在上单调递增,在上单调递减。

特别提醒，别忘了！

3、正切函数的图象和性质：

（1）定义域：

。

（2）值域是R，无最大值也无最小值；

（3）奇偶性与对称性：

是奇函数，对称中心是，特别提醒：

正（余）切型函数的对称中心有两类：

一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（4）单调性：

正切函数在开区间内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

5、研究函数性质的方法：

类比于研究的性质，只需将中的看成中的。

函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。

（1）定义域：

R

（2）值域：

[-A,A]

（3）周期性：

①和的最小正周期都是。

②的最小正周期都是。

（4）单调性：

函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的

单调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；

单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。

在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

如函数的递减区间是______

（答：

解析：

y=，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得

，所以y的递减区间是

四、函数的图像和三角函数模型的简单应用

一、知识要点

1、几个物理量：

振幅：

；周期：

；频率：

；相位：

；初相：

．

2、函数表达式的确定：

A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.

函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．

3、函数图象的画法：

①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

这是作函数简图常用方法。

4、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象

5、函数的图象与图象间的关系：

①函数的图象向左（0）或向右（

反三角函数知识点总结

（2）

基本三角函数

1、重要知识点

1、已知角α为第一象限，求α/2,α/3,α/4为第几象限

2、弧度与角度的转变

特别是一弧度大约等于57度要知道，便于三角函数比较大小和判断正负，举个例子sin（cos30°）与cos（cos30°）大小

3、弧长公式以及弧长公式的公式的推导

，扇形面积公式：

4、基本三角函数的定义

此章节的基础，比如能理解为什么sinX在一二象限为正？

为什么正弦和余弦平方和等于一？

为什么正切余切在一三象限为正，为何正切等于正弦除余弦

重点掌握正弦、余弦和正切余切，正割余割不用掌握

5、诱导公式，奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：

这个是此章节的重点，只要理解这个定理，就不必记书上繁琐的公式

6、三角函数的两角和与差公式的推导过程，并逐渐推导二倍角公式，半角公式，万能公式，辅助角公式

四川去年高考题就是余弦两角和的公式推导

7、三角函数的定义域、值域，周期性、奇偶性、单调性、对称中心和对称轴、图像以及三角函数的变换

？

振幅变化：

左右伸缩变化：

左右平移变化

上下平移变化

补充知识点

1．常见三角不等式：

（1）若，则.

（2）若，则.（3）.

2.三角形面积定理：

.

3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：

一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！

第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等），如

（1）已知，，那么的值是_____（答：

）；

（2）已知，且，，求的值（答：

）；（3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：

）

（2）三角函数名互化如

（1）求值（答：

1）；

（2）已知，求的值（答：

）

（3）公式变形使用（。

如

（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：

）；

（2）设中，，，则此三角形是____三角形（答：

等边）

（4）三角函数次数的降升（降幂公式：

，与升幂公式：

，）。

如

（1）若，化简为_____（答：

）；

4.辅助角公式中辅助角的确定：

（其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着重要作用。

如

（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：

[－2,2]）；

（2）当函数取得最大值时，的值是______（答：

）；（3）如果是奇函数，则=（答：

－2）；（4）求值：

________（答：

32）

5.函数的图象与图象间的关系：

①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（

反三角函数知识点总结（3）

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：

与角终边在同一条直线上的角的集合：

；

与角终边关于轴对称的角的集合：

；

与角终边关于轴对称的角的集合：

；

与角终边关于轴对称的角的集合：

；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合：

；

终边在一、三象限的平分线上角的集合：

；

终边在二、四象限的平分线上角的集合：

；

终边在四个象限的平分线上角的集合：

；

（3）区间角的表示：

①象限角：

第一象限角：

；第三象限角：

；

第一、三象限角：

；

②写出图中所表示的区间角：

（4）正确理解角：

要正确理解“间的角”=；

“第一象限的角”=；“锐角”=；

“小于的角”=；

（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限。

来判断所在的象限

（6）弧度制：

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：

；半径公式：

；

扇形面积公式：

；

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；；；；；；

如：

角的终边上一点，则。

注意r0

（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；

比较，，，的大小关系：

。

（3）特殊角的三角函数值：

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系

作用：

已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2）诱导公式：

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

：

，，；

诱导公式可用概括为：

2K±,-,±,±,±的三角函数奇变偶不变，符号看象限的三角函数

作用：

“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o）或[0o,180o）内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：

用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。

②求任意角的三角函数值。

步骤：

③已知三角函数值求角：

注意：

所得的解不是唯一的，而是有无数多个．

步骤：

①确定角所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应的锐角；

③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

如，则，；；_________。

注意：

巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：

（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

定义对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

y=tanxy=tan|x|y=|tanx|

例求函数f（x）=3sin（的周期。

并求最小的正整数k,使他的周期不大于1

注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f（x）＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．

结论：

如函数对于，那么函数f（x）的周期T=2k;如函数对于，那么函数f（x）的对称轴是

2．图像

3。

图像的平移

对函数y＝Asin（ωx＋）＋k（A＞0,ω＞0,≠0,k≠0）,其图象的基本变换有：

（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：

是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．

（2）周期变换（横向伸缩变换）：

是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．

（3）相位变换（横向平移变换）：

是由φ的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移．

（4）上下平移（纵向平移变换）:

是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

四、三角函数公式：

三倍角公式：

；；

五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：

在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。

②；问：

；；

③；④；

⑤；等等

（2）函数名称变换：

三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：

在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：

降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有：

；。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：

；；

（5）公式变形：

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：

；；

；；

；；

；；

；

=；

=；

（其中；）

；；

（6）三角函数式的化简运算通常从：

“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：

切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：

；；

；

；推广：

；推广：

反三角函数知识点总结（4）

函数变换

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。

它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数知识点总结（5）

三角函数、解三角形

一、任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.任意角的概念

（1）我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．

①正角：

按__逆时针__方向旋转形成的角．

②负角：

按__顺时针__方向旋转形成的角．

③零角：

如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．

（2）终边相同角：

与α终边相同的角可表示为：

{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

（3）象限角：

角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.

象限角

轴线角

2．弧度制

（1）1度的角：

__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.

（2）1弧度的角：

__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.

（3）角度与弧度的换算：

360°＝__2π__rad,1°＝__14caff1b__d__f015f__c.png__rad,1rad＝（__c46fe__a993a931b1a00a0559ab1.png__）≈57°18′.

（4）若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png|α|r2__＝__lr__.

3．任意角的三角函数定义

（1）设α是一个任意角，α的终边上任意一点（非顶点）P的坐标是（x，y），它与原点的距离为r，则sinα＝____db__a02b8bbb7fa3dd86b0.png__，cosα＝__95a4cf6f19bf6a8c05390d18e332d0e0.png__，tanα＝__7c63af__a0a1ffe86f3ca2043eb63.png__.

（2）三角函数在各象限的符号是：

记忆口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

（3）三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．

4．终边相同的角的三角函数

sin（α＋k·2π）＝__sinα__，

cos（α＋k·2π）＝__cosα__，

tan（α＋k·2π）＝__tanα__（其中k∈Z），

即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

重要结论

1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．

2．确定ba80ed37e__f112fd__e35.png（k∈N*）的终边位置的方法

（1）讨论法：

①用终边相同角的形式表示出角α的范围．

②写出ba80ed37e__f112fd__e35.png的范围．

③根据k的可能取值讨论确定ba80ed37e__f112fd__e35.png的终边所在位置．

（2）等分象限角的方法：

已知角α是第m（m＝1,2,3,4）象限角，求ba80ed37e__f112fd__e35.png是第几象限角．

①等分：

将每个象限分成k等份．

②标注：

从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．

③选答：

出现数字m的区域，即为ba80ed37e__f112fd__e35.png所在的象限．

如f5cd7f6b88a__eb1830ab0d85f6.png判断象限问题可采用等分象限法．

二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：

__sin2x＋cos2x＝1__.

（2）商数关系：

____e0ddaf0629d4eced9c873b34.png＝tanx__.

2．三角函数的诱导公式

重要结论

1．同角三角函数基本关系式的变形应用：

如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝f297b8d75f198cb3680c0602ec69d9d8.png，（sinx＋cosx）2＝1＋2sinxcosx等．

2．特殊角的三角函数值表

3.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·cf2f35d54ae__f3f2252ef__d.png＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·cf2f35d54ae__f3f2252ef__d.png＋α中，将α看成锐角时k·cf2f35d54ae__f3f2252ef__d.png＋α所在的象限．

＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系

sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为（sinx＋cosx）2＝1＋2sinxcosx，（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx，（sinx＋cosx）2＋（sinx－cosx）2＝2.

因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．　

三、两角和与差的三角函数　二倍角公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）sin2α＝__2sinαcosα__；

（2）cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；

（3）tan2α＝__c8c036a1f915ad6e1e__a__cf.png__（α≠9ee988c__1efb2d__b3e1.png＋6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png且α≠kπ＋cf2f35d54ae__f3f2252ef__d.png，k∈Z）．

3．半角公式（不要求记忆）

（1）sinf5cd7f6b88a__eb1830ab0d85f6.png＝±74d6118c__a7f6a4f4a4186dd62.png；

（2）cosf5cd7f6b88a__eb1830ab0d85f6.png＝±3e8a2c0__a62da324f30ffe__e.png；

（3）tanf5cd7f6b88a__eb1830ab0d85f6.png＝±c__a1cfa1e02096be8eb2febf202.png＝8afc40ef__c0eaa5c76d8dfb07a0.png＝f058ce5e4ed27da2bd4c93a3f8835acb.png.

重要结论

1．降幂公式：

cos2α＝__bf__56f856d7df32fa38.png，sin2α＝67b2cf5b8d9b4ff63c323b1f84bca8ce.png.

2．升幂公式：

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

3．公式变形：

tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanα·tanβ）．

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