完整版高考导数题型归纳.docx

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完整版高考导数题型归纳

高考压轴题：

导数题型及解题方法

（自己总结供参考）

一．切线问题

题型1求曲线yf（x）在xxo处的切线方程。

方法：

f（Xo）为在xXo处的切线的斜率。

题型2过点（a,b）的直线与曲线yf（x）的相切问题。

方法：

设曲线yf（x）的切点（xo,f（xo）），由（xoa）f（xo）f（xo）b求出xo，进而解决相关问题。

注意：

曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

3

例已知函数f（x）=x3-3x.

（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：

9xy160）

（2）若过点AA（1,m）（m2）可作曲线yf（x）的三条切线，求实数m的取值范围、

（提示：

设曲线yf（x）上的切点（X。

，f（xo））；建立xo,f（xo）的等式关系。

将问题转化为关

于xo,m的方程有三个不同实数根问题。

（答案：

m的范围是3,2）

练习1.已知曲线yx33x

（3xyo或15x4y27o）

3x相切的直线方程。

答案:

x33x相切的直线有三条。

2.若直线e12xye2

1o与曲线y1aex相切，求a的值.

答案：

1）

题型3求两个曲线y

f（x）、yg（x）的公切线。

方法：

设曲线yf（x）、yg（x）的切点分别为（x1,f（x-i））o（x2,f（x2））；

建立Xi,X2的等式关系，（X2Xi）f（Xi）yyi,（X2Xi）f（X2）yyi;求出,

进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线yX2与曲线y2elnx的公切线方程。

（答案2.、exye0）

练习1.求曲线yx2与曲线y（x1）2的公切线方程。

（答案2xy10或y0）

12

2•设函数f（x）p（x）2lnx,g（x）X2，直线l与函数f（x）,g（x）的图象都相切，且与函数x

f（x）的图象相切于（1,0）,求实数p的值。

（答案p1或3）

2.单调性问题

题型1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：

（1）在求极值点的过程中，未知

数的系数与0的关系不定而引起的分类；

（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；（3）在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分

类；（4）在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

12

例已知函数f（x）alnx-x2（a1）x

2

（1）求函数f（x）的单调区间。

（利用极值点的大小关系分类）

（2）若x2,e，求函数f（x）的单调区间。

（利用极值点与区间的关系分类）

1

练习已知函数f（x）exx（k1）ex-x2kx1，若x1,2,求函数f（x）的单调区间。

（利

用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：

研究导函数讨论。

方法2：

转化为f'（x）0或f'（x）0在给定区间上恒成立问题，

方法3:

利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：

“函数f（x）在m,n上是减函数”与“函数f（x）的单调减区间是a,b”的区别是前者是后者的子集。

例已知函数f（x）x2alnx+?

在1,上是单调函数，求实数a的取值范围.

x

（答案0,）

练习已知函数f（x）1x3（k1）x2，且f（x）在区间（2,）上为增函数

32

（答案：

k1,3）

题型3已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：

正难则反，研究在某区间的不单调方法2:

研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:

直接研究不单调，分情况讨论。

1

例设函数f（x）x3ax2x1，aR在区间,1内不单调，求实数

2

（答案：

a2,,3））

3.

求实数k的取值范围。

a的取值范围。

极值、最值问题。

题型1求函数极值、最值。

基本思路：

定义域T疑似极值点T单调区间T极值T最值。

1

已知函数f（x）exx（k1）ex-x2kx1，求在x2

（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

1,2的极小值。

练习已知函数f（x）x3mx2nx2的图象过点（1,6），且函数g（x）f（x）6x的图象关于y轴对称.若a0,求函数yf（x）在区间（a1,a1）内的极值.

（答案：

当0a1时，f（x）有极大值2，无极小值；当1a3时，f（x）有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f（x）无极值.）

题型2已知函数极值，求系数值或范围。

方法：

1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

11

例函数f（x）^X4-（1

43

（答案：

1）

312

p）xpxp（1p）x1。

0是函数

2

f（x）的极值点。

求实数p值。

练习已知函数f（x）

2

axxInx,aR.若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大

5In1，求a的取值范围。

（答案：

4,）

2

题型3已知最值，求系数值或范围。

方法：

1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。

例设aR，函数f（x）ax33x2.若函数g（x）f（x）f（x）,x[0,2]，在x0处取得最大

4.不等式恒成立（或存在性）问题。

一些方法

1.若函数f（x）值域m,n,a>f（x）恒成立，，则an

2.对任意xim,n,x2m,n,f（Xi）g（X2）恒成立。

则f（xjming（X2）max

3.对xim,n,x2m,n,f（Xi）g（X2）成立。

则f（Xi）max9&2几山。

4.对xim,n,，恒成立f（xi）g（xi）。

转化f（xi）g（xi）0恒成立

4.对xim,n,x2m,n,f（Xi）g（X2）成立。

则f（Xi）ming&2）min。

5•对X1m,n,x2m,n,f（Xi）g（X2）成立。

则f（Xi）maxg（X2）max

6.对x1m,n,x2m,n,一f（X2）a成立。

则构造函数t（x）f（x）ax。

转化证明t（x）

XiX2

在m,n是增函数。

题型1已知不等式恒成立，求系数范围。

方法：

（1）分离法：

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

（2）讨论法：

有的需构造函数。

关键确定讨论标准。

分类的方法：

在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。

分类必

须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

（3）数形结合：

（4）变更主元

解题思路1•代特值缩小范围。

2.化简不等式。

3.选方法（用讨论法时，或构造新函数）。

方法一：

分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

例函数f（x）eX（x2inx）a。

在x1,ef（x）e恒成立，求实数a取值范围。

（方法：

分离法，多次求导答案：

0,）

练习设函数f（x）用罗比达法则答案：

x（eX1）ax2，若当x>0时f（x）>0,求a的取值范围。

（方法：

分离法,,1）

方法二：

讨论法。

有的需构造函数。

关键确定讨论标准。

分类的方法：

在求极值点的过程中，未知数的系数与0的

关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值

点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。

分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例设函数f（x）=ex1xax2.若当x>0时f（x）>0,求a的取值范围.

1

（答案：

a的取值范围为，丄）

2

练习1

.设函数f（x）1ex

x0时，f（x）

x

，求实数a的取值范围

ax1

（答案:

2.函数

i

f（x）alnx，当a

x

0.对x>0,ax（2

lnx）1，求实数a取值范围。

（多种方法求解。

（答案：

0,e

方法三：

变更主元例：

设函数y

0恒成立，则称函数yf（x）在区间

3o2

mx3x

f（x）在区间

D上的导数为f（X），

上，g（x）x4f（x）

f（x）在区间D上的导数为g（x），若在区间DD上为“凸函数”，已知实数m是常数，

数”，求b

，若对满足m2的任何一个实数m，函数f（x）在区间a,b上都为“凸函

62

a的最大值.（答案：

2）

练习设函数f（x）xlnx。

证明：

当a>3时，对任意x0,f（ax）f（a）ex成立。

5.函数零点问题

题型1：

判断函数零点的个数。

方法：

方程法；函数图象法；转化法；存在性定理

…一13

例•设aR,f（x）xax（1a）lnx.若函数yf（x）有零点，求a的取值范围.

3

一1

（提示：

当a1时，f

（1）0,f（■-3a）0，所以成立，答案，）

3

练习•求过点（1,0）作函数yxInx图象的切线的个数。

（答案：

两条）

题型2:

已知函数零点，求系数。

方法：

图象法（研究函数图象与x轴交点的个数）；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。

）

31例•函数f（x）Inxx1a（x1）在（1,3）有极值，求实数a的取值范围。

（答案,

18

12

练习：

1•证明：

函数f（x）Inx的图象与函数g（x）x的图象无公共点。

exex

6.不等式证明问题

方法1：

构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。

方法2:

讨论法。

方法2.研究两个函数的最值。

如证f（x）g（x），需证f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可。

方法一：

讨论法

例：

已知函数f（x）旦皿b，曲线yf（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为x2y30。

证明:

x1x

方法三：

构造函数，不等式放缩

2

例.已知函数f（x）Inxmx（mR）

（I）;若m=0A（a,f（a））、B（b,f（b））是函数f（x）图象上不同的两点.且a>b>0,f（x）为f（x）的

导函数，求证：

f（?

b）丄回型f（b）

2ab

2222111

（II）求证：

...ln（n1）1...（nN*）

3572n123n

1）求过点（1，-3）与曲线yx3

2）证明：

过点（-2,5）与曲线y