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奥数

香港保良局主办98香港小学数学精英选拔赛试题

  (1998年2月27日) 

一试(考试时间:

90分钟)

  

  3.计算53.3÷0.23÷0.91×16.1÷0.82=

  

  化简后的整数部分.

  6.27个连续自然数的和是1998,其中最小的自然数是多少?

  7.下面的除法中,不同的汉字代表不同数字.问“明天更美好”代表的五位数是什么?

  8.盈盈有1,2,5,10元面值的邮票四种,有一天她寄了12封信,每封信贴的邮票金额各不相同,且每封信贴的邮票张数要尽可能少.共贴了80元邮票,问她共贴了几张邮票?

  9.一张长方形ABCD的纸折成如右图,E恰好是AD边的中点,三角形AEF

  少?

  10.算式

  

  11.圆珠笔5支包装售51元,8支包装售72元,张老师教的班有49位小朋友,张老师要给每位小朋友1支笔,张老师至少要花多少钱?

  12.博爱小学举行数学竞赛,把成绩排列名次后,前五名平均分比前三名平均分少1分.前七名平均分比前五名平均分少2分.问第四、五名两人得分之和比第六、七名两人得分之和多了几分?

  13.有一类数,每一个数都能被11整除,并且各位数字之和是20.问这类数中,最小的数是多少?

  14.快乐幼儿园大班和小班的小朋友共43人.如果大班每人给7块糖,小班每人给5块糖,就多余15块糖.如果大班每人给10块,小班每人给7块,就有13位小班的小朋友分不到糖.问小班有多少位小朋友?

  15.从1到1998的自然数中,有多少个数乘以72后是平方数?

二试(考试时间:

90分钟)

  1.有一种挂历上面只印有月、日及星期,为了节约起见,可将此挂历留作日后使用.问公元1998年使用过的挂历,最早能在公元哪一年再使用?

(注公元2000年闰年)

  2.哥哥有漫画书是弟弟的5倍,每人再得到18本漫画书后,哥哥的漫画书是弟弟的2倍.问哥哥原有多少本漫画书?

  3.有两个边长为8cm的正方体盒子.A盒中放入直径为8cm、高为8cm的圆柱体铁块一个,B盒中放入直径为4cm、高为8cm的圆柱体铁块四个.现在A盒注满水,把A盒的水倒入B盒,使B盒也注满水.问A盒余下的水是多少

 

  4.右面这个图形是一个立体图形,叫四面体,它有四个面都是三角形,有六条棱(边),把每条棱染成白色、蓝色或红色.为了使每一个三角形都至少有一条红色的边,那么最少有几条棱要染成红色?

  5.由甲地到乙地有一条线路的巴士,全程行驶时间为42分钟,到达总站后,司机至少休息10分钟,巴士就调头行驶.如果这条线路甲、乙两边总站每隔8分钟都发一辆(不必是同一时间),则这条线路至少需多少辆巴士?

  6.春华要买一些圣诞卡,由于圣诞卡减价20%,用同样多的钱她可以多买6张.问春华原来要买多少张圣诞卡?

  7.在下面乘法算式中,每一方框要填一个数字,若一个汉字代表一个数字,不同汉字代表不同的数字.请问最后的积(五位数)是多少?

  8.A,B,C,D四个数的和为59,问

  A2+B2+C2+D2

  A3+B3+C3+D3

  A4+B4+C4+D4

  A5+B5+C5+D5

  四个数中共有几个奇数?

  9.如右图,边长为10和12的两个正方形并放在一起,求三角形ABC(阴影部分)的面积.

 

  

  11.四个队进行四项体育比赛,每项比赛的第一、二、三、四名依次分别得5,3,2,1分.每队四项比赛的得分之和算作总分.如已知各队总分不相同,并且A队得了三项第一.问总分最少的队最多得多少分?

  12.在右图的9个格子中填入正整数,使得相邻的两数(只有顶点相交的两个格子不算相邻)之差不大于2.问最多可以填入多少个不同的数?

  13.有1,2,3,4,5共五个自然数,任意选出四个数字组成一个能被11整除的四位数.问这些四位数共有多少个?

  14.甲、乙、丙三队要完成A,B两项工程,B工程的工作量是A工程工

  0天,24天,30天.现在让甲队做A工程,乙队做B工程,为了同时完成这两项工程,丙队先与乙队合做B工程若干天,然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天?

  15.如下图,有一条三角形的环路,A至B是上坡路.B至C是下坡路,A至C是平路,A至B、B至C、A至C三段距离的比是3∶4∶5.心怡和爱琼同时从A出发,心怡按顺时针方向行走,爱琼按逆时针方向行走,2小时半后在BC上D点相遇.已知两人上坡速度是4千米/小时,下坡速度是6千米/小时,在平路上速度是5千米/小时.求C至D是多少千米.

 

[答案]

  

  试卷一

  

 

  3.5000.

  4.4.

  1994×1995-1=(1993+1)×1995-1=1993×1995+1994

  因此,每一分式都等于1.

  5.14.

  

  

  6.最小自然数是61.

  把这些数从小往大排,1998÷74是最中间的数,也就是第十四个数.因此最小数是74-13=61.

  7.“明天更美好”代表的五位数是71928.

  世界×8<300,世界<38.世界×9>299,世界>33.

  34×1998=67932,数字3重复;35×1998=69930,3,9都重复;36×1998=71928符合题意;37×1998=73926,3,7都重复.

  8.共贴了23张邮票.

  1,2,5,10各1张:

3=1+2,4=2+2,6=1+5,7=2+5,11=1+10各2张;8=1+2+5,9=2+2+5,14=2+2+10各3张.(也可以12=2+10,13=1+2+10来代替和14)因为1+2+…+12=78.80比78多2,所以只能是12+2=14,或者11+1=12,12+1=13,

  9.长方形ABCD的面积是42cm2.

  三角形EDC面积10.5是三角形AEF面积3.5的3倍,就知DC是AF长的3倍,FB=AF×2.又BC=AE×2,三角形BFC面积是三角形AEF面积的4倍.三角形BFC与三角形EFC面积一样,长方形ABCD面积是三角形AEF面积的(l+3+4+4)倍,即3.5×12=42(cm2).

  10.个位数是6.

  19941994的个位数是6,19951995的个位数是5,19961996的个位数是6.按照7,9,3,1循环,1997÷4余数是1,19971997的个位数是7.按照8,4,2,6循环,1998÷4余数是2,19981998的个位数是4.因此,题中算式的个位数与(6+5+6)×7×4的个位数相同.

  11.要花462元.

  买5包8支和2包5支,虽多出1支,但花的钱比买3包8支和5包5支便宜.

  12.四、五名两人得分比六、七名两人得分多11分.

  从前五名平均分比前三名平均分少1分,得出四、五名平均分比前五名平均分少1.5分;从前七名平均分比前五名平均分少2分,得出六、七名平均分比前五名平均分少7分.因此

  (四、五名得分之和)-(六、七名得分之和)

  =(7-1.5)×2=11.

  13.最小数是1199.

  百位与个位数之和,必须与千位和十位数字之和相等,都是10,要最小数,千位、百位只能都是1.

  14.小班有23人.

  大班每人多发10-7=3(块),小班每人多发7-5=2(块).就需要多15+13×7=106(块).因此小班人数是

  (43×3-106)÷(3-2)=23.

  15.有31个数乘72后是完全平方数.

  72=23×32.只要乘的数是平方数的2倍,乘积就是完全平方数.1998÷2=999.312=961<999<322=1024,因此,小于999的平方数有12,22,…,312共31个.

  试卷二

  1.最早于2009年再使用.

  因为2000,2004,2008是闰年.

  2.哥哥原有漫画书30本.

  弟弟原有书的本数加18本,将是弟弟原有书的4倍.18本是3倍量.弟弟原有书6本,哥哥原有书是6×5=30(本).

  3.余下的水量是0.

  直径为8的圆面积,是直径为4的圆面积的4倍.高一样,1个大圆柱体积,与4个小圆柱体积相等,A盒与B盒空隙的容积相等.

  4.最少有2条棱要染成红色.

  把不在一个平面上的2条棱染成红色.

  5.至少需要13辆巴士.

  一辆车在一总站发车,到下一次在这个总站再发车,需要(42+10)×2=104(分钟),104÷8=13(辆).

  6.春华原来要买24张.

  用现价买是原价钱数的80%.20%可以买6张,原来要买6×(80%÷20%)=24张.

  7.乘积是39672.

  为了说明方便,关键方框用英文字母表示.很明显A=8.年是贺×A的个位,一定是偶数,从9+9+8,就知年是6,贺可以是2或7,验算后可知是7.由此,恭是2.

  积的十位没有进位,新<4.只能是B=4,C=2.

  228×174=39672.

  8.有4个奇数.

  四个数和为59,其中1个奇数或3个奇数,奇数乘奇数的积是奇数,这四个算式中,也都有1个奇数或3个奇数.因此和也是奇数.

  

 

  10.现在全校共有学生2196人.

  在未增加女生之前,女生与男生人数之比是181∶(547-181),增加

  因此全校人数是

  (8÷2)×(183+366)=2196(人).

  11.总分最少队最多得8分.

  四队总分和是(5+3+2+1)×4=44.A队至少得了5×3+1=16分,其他三队得分和不会超过28分.因为得分各不相同,所以得分最少队最多得8分.通过一个例子说明存在这样的得分.

  A(5,5,5,1),其他三队(3,3,3,2),(2,2,2,3),(1,1,1,5).

  12.最多可填入不同的7个数.

  考虑图(a)那样的四个方格.很明显,斜角两数相差最多是4.如果相差4,C,D两数与A、与B都相差2.C和D是同一数.只有相差3,这四个数才能都不相同.对九个方格来说,如果左上角一格填1,右下角一格最多填9.不论填9,或填8,填7,根据上面分析,最多只能填7个不同的数.具体例子见图(b).

  13.这些四位数共24个.

  四位数要被11整除,千位+十位=百位+个位.此要选出两对“和相等”的数.例如(1,4)和(2,3).可以组成八个数:

1243,1342,4213,4312,2134,2431,3124,3421.还可选出的有(1,5)和(2,4),以及(2,5)和(3,4).这两组数还能组成8×2=16(个)被11整除的四位数.

  14.丙队与乙队合做15天.

  设A工程的工作量为120(20,24,30的最小公倍数),B工程

  4.把两项工程都完成,三队都需做(120+150)÷(6+5+4)=18(天).

  丙队要帮乙队做

  (150-5×18)÷4=15(天).

  15.C至D2千米.

  不妨设这三段距离AB=3,BC=4,AC=5.

  当爱琼从A走至C(平路),心怡应走A至B(上坡).加上

  离是4-1.5=2.5.因为心怡走E至D是下坡,爱琼走C至D是上坡,同一时间走的距离之比是6∶4=1.5∶1.就知C至D的距离是1.

  爱琼走A至C,加上C至D,共用了2.5小时.A至C是平路,距离5,相当于上坡走距离4.也就是爱琼走上坡距离4+1=5,用了2.5小时.那么走CD这一段用的时间是2.5÷5=0.5(小时).

  CD的实际距离是4×0.5=2(千米).

 

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