2.
已知复数Z满足2=-l+√3i（Jt中i为虚数单位）,则亩=
3.
“∀∕W[l∙2]"2+l≤0"为真命题的充分必要条件是
4.已知向满足IaI=ItIfrl=2Λa~b）∙（α+3方）=—13,贝IJa与b的夹角为
5.已知2“=3∙2^∖c-^=log±（^+2,r÷3）,则实数a.b.c的大小关系是
A.aAb>cB.b↑>a^>cC.c^>fλ>aD.α>e>∕）
6.中国有十二生肖，又叫十二属相•每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种,现冇十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,则让三位同学选取的礼物都满意的概率是
7•双Illl线召一君=I（QO”>0）的右焦点为F1（2√2,0）,点人的坐标为（0,1）,点P为双∣ll∣线左支上的动点,且ZMPFl周长的最小值为8,则双曲线的离心率为
A,√2B,√3C.2D.2√2
8•对于数列｛an｝,规定｛｝为数列S｝的一阶差分数列,其中S=d”+i—為（w∈N*）,对自然数,规定｛△%”｝为数列｛©｝的k阶差分数列,其中&久=&一匕+1—&一匕.若5=1,且Z^”一4vh+",,=-2"SGN∙）,则数列｛%｝的通项公式为
A.a„=Ji2×2,,^lB.Un=Jl×2rt~,
C.如=（“+1）X2"-2D.如=（2"—I）X2"T
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.已知点A是直线lixΛ-y-j2=0上一定点,点P,Q是圆ix2+j2=l上的动点,若ZPAQ的最大值为90°.则点A的坐标可以是
A.（0,√2）B.（1,√2-1）C.（√2,0）D.（√2-l,l）
10.已知为定义在R上的奇函数,当工$0时,冇∕α+l）=-∕（jr）,且当工€[0,1）时，/（Jr）=IOg2Cr+1）,下列命题正确的是
Λ./（2019）÷∕（-2020）=O
B.函数/Cr）在定义域上是周期为2的函数
C.直线y=rr与函数/Cr）的图象有2个交点
D.函数/Cr）的值域为L-M]
11•针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调査•其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的£,女生喜欢抖音的人数占女生人数∙∣,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有（）人
P（K2≥⅞）
0.050
0.010
k
3.841
6.635
附K2=
PlJ∙ω+6）（<∙+J）（α+d（6+√）
A.25B45C.60D.75
12.已知抛物线C：
y=2Ar（p>0）的焦点为F∙直线的斜率为招且经过点F,直线I与抛物
线C交于点人J3两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D,若IAFl=8,则以
下结论正确的是
A.〃=4B.DF=FAC.IBDl=2∣BFlD.IBFl=4
第H卷（共90分）
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.随机变⅞⅛X的取值为0,1,2.P（X=O）=O.2,DX=O・4,则EX=.
14•已知函数∕α）=Asin（^÷v7）（A>0.ω>0,的最大值为尽其相邻两个零点之
间的距离为于,且/G的图象关于直线工=一专对称,则当疋［一青,青］时,函数/（工）
的最小值为
15.（2√+丄）6的展开式中,常数项为;系数最大的项是
16.
中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底而为长方形且有一条侧棱与底而垂直的四棱锥称之为阳马,将卩U个而都为直角三角形的三棱锥称之为鳖嚅,如图为一个阳马与一个鳖Iffi的组合体，已知PA丄平面ABCE,四边形ABCD为正方形,/ID=√5,ED=√3,若鳖嚅PADE的外接球的体积为9√2π•则阳马P-ABCD的外接球的
表而积等于.
四、解答题:
本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知数列Sj的前“项和为S”，且弘>0,4S”=公+2%
（1）求数列⑺“｝的通项公式；
⑵若几=寮令'求数列仏｝的前”项和T"・
18.（12分）已知a.b9c分別为ZMBC内角A.B,C的对边,若ZVWC同时满足下列四个条
件中的三个:
①牛M=$赍胯黑;②cos2A+2cos2今=1；③α=阿@尸2血・
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在
（1）所有组合中任选一组,并求对应ΛΛBC的而积.
（若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分）
19.（12分）如图
（1）,边长为2的正方形ABEF中，D,C分别为EF,AF上的点•且ED=CF,现沿DC把ACDF剪切、拼接成如图
（2）的图形•再将Z∖BECλΔCDF・ΔA∕3D沿BC.CD,BD折起,使E、F、A三点重合于点A',如图（3）.
∑U-w）z
i-1
12
∑（Hi—“心~y^i∙l
∑（u-5）t
1—1
】2
工（Ti—31250
215
3∙08
14
（1）请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好？
⑵（i）根据⑴的选择及表中数据,建立，关于Z的回归方程；
（ii）若下一年销售额y需达到90亿元•预测下一年的研发资金投入鼠是多少亿元?
〉:
（I—Xy）（^yi—Jr）
冋归宜线y=aΛ-bx中公式分别为M=上J広=y—bx；
£（Xi—Xy
J=I
②参考数据：
308=4×77,/90^9.4868,CL快8¾90.
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
LD2.B3.A4.C5.A6.C7.D&B
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.AC10.AB11.BC12.ABC
三、填空題:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.114•一噜15.6024Ot616.20π四、解答题:
本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17•解：
（1）当"=1时,4αι=α5+2αι,αι=21分
当w≥2时①
4S,l1=CIn-i+2«,I-I②
①一②化简得
（an÷α,1-ι）（an~an^∖—2）=0
因为心＞0
所以山一5-1=23分
从而仏”｝是以2为首项,公差为2的等差数列
所以an=2n4分
（2）ItI（I）知Srl=Ms+1）,5分
Tn=Zzι+⅛+∙∙∙÷⅛
=（I-I）^⅜+（U）^⅜+
”+・・・+（+
11
10分
1&
（1）解：
由①宁=皤需得,3U2+c2→2）=-2√6αc,1分
所以=一亨，2分
由②cos2A÷2cos2=1得,2COSA2÷cosA-1=03分
解得CoSA=*或COsA=—1（舍）,所以A=于，4分
因为COSB=-^且BG（O,兀）,所以B>-∣-π.
所以A÷β>π,矛盾.
所以ΔABC不能同时满足①,②.6分
故ΔABC满足①,③,④或②,③,④.8分
⑵若ZvWC满足①,③,④
因为b2=a2+c2-ZaccosB・
所以8=6+c2÷2×√6×c×y,即c2÷4c-2=0.
解得C=√6-2.10分
所以AABC的面积S=⅛sinB=√3-√2.12分
若AABC满足②,③,④
孟T岛哩=編解得SinB=I
~2
所以c=√∑10分
所以ZVlBC的面积S=^bCSinA=J3.12分
19•解：
（1）证明:
折叠前,BE±EC,BA±AD,1分
折叠后BA'丄AzC,βA,±A,D2分
XA,C∩A,D=Az.所以BA'丄平面ArCD・3分
因此BA'丄CD.4分
（2）由⑴及题意知A'C丄A'D,因此以A为原点.Λ,C,ΛλD,Λ,B分別
为令∕VC=α,AzD=Λ,α÷Z>=2/⅛∖D
所以C（So.0）.D（O,儿0）,B（0∙0,2）5分
高三数学试题答案第2页（共6页）
设平面13CD法向昴为M=QQY）
=0（aχ-2z=0少Q
则丿_卜所以丿，令N=I则m=<-,fJ）
7∏-BIJ=OIbX-2z=0aI）
乂平面AtD法向fit为∕m=（0,0U）
设二而角1>CD-Λz的大小为&
又4+⅛÷1=（-÷-γ）2+2（-÷tL）+l=（-+⅛-÷l）2≥9
CrZraoabab
当且仅当α="=l取等号10分
所以cos^≤-∣-
20.解：
（1）由题意可得
fx2αX2b=4√^
V22分
α2+62=7
解得∙m=2,"=√^^,
故椭恻C的方程为手+¥=1.4分
⑵显然］!
线I斜率存在且不为0∙设直线小=&+八联立丿•
3+4"=12
得（3+诚2）/+8Mr+4尸一12=0,
⅛Δ=64后产―4（3+4后）（4严一12）=0.得”=4炉+3，6分
所以心=
则丽=E・∣Y⅛⅛=E・∣=⅞諾护=卅醫
10分
所以Sd曲=*∣AMl∙IoMl
=丄∙I创・⑴
2∣d√F+T√F+T
=丄・JAL
2以+1
11分
12分
=丄.1≤丄，
2I八亠］4，
l^l⅛
故ΔΛBM面积最大值为+,当且仅当Λ=÷l时成立.
21.解:
⑴由题意x>0,
Fer）=吕十加一（卄2）=他二皆二卫2分
/J（I）=G-I
所以Q-I=3α=43分
<2）α>0,w∣>0,
①若OGV2时
当OO十时,”Cr）>O,*所以/V〉在（0,*）和（+，+*）单调递増,在（寺丄）单调递减，4分
2若α=2时,丄==寺,对QOJJ）2O恒成立Jcr）在（0,+∞）单调递増；……5分
ClW
3若">2时,丄•
aL
当OV.TV丄或T>∙∣时,（丁）>0,丄VX令时,（T）<0,
所以/（刃在（0,丄）和（∙∣,÷oo）单调递增,在（丄,舟）单调递减.6分
ClUCl乙
（3）因为α为正整数
若OVaV2.则α=l∙∕（j-）=Iar+.r2—3^+2
由⑵知/3在（0,-∣）和（1,+oq）单调递増•在（∙∣.1）单调递减
又/（l）=0,所以y∙3在区间（∣,÷∞）内仅有I实根.7分
/（寺）>∕（l）>0,
又/（e^2）=e^,-3e-2=e-2（e~2-3X0所以TCr）在区间（0,*）内仅有1实根.
此时,/Cr）在区间（0,+oo）内恰有2实根.8分
若α=2JCr）在（0,+oo）单调递増,至多有1实根.9分
若α>2√⅛）=I吩+（抄_（卄2）（却+2=1详记+1
令（=+，则Oy=—1>0
10分
所以y由
（2）知yCτ）在（丄，*）单调递减•在（0•丄）和（I*+00）单调递增,
ClWα乙
所以丄）JCI
所以/Cr）在（0,+oo）至多有1实根・11分
综上卫=1∙12分
22•解：
（1）设"｝和｛y∙｝的相关系数为r1,U∙｝和｛“｝的相关系数为厂2•由题意,
则丨r1|<|r2|,因此从相关系数的角度,模型=的拟合程度更好；5分
（2）（i）先建立卍关于H的线性回归方程,
由丿=0知’得In^=∕÷Aλ>即C=r+λτ;6分
12工（*—x）（3-Vy）
由于入==召~0∙182,8分
∑⅛一Z=I
——9
t=V—Xjc=4.20——X20Q0.56,9分
所以卍关于丁的线性回归方程为i=0.18^+0.56,
所以lnj=O.18λ*÷0.56,则^=e0∙lar+0∙5δ；10分
（ii）下一年销售额歹需达到90亿元•即y=90,
代入J=e°"+α56,得go=CO•皿+o∙56,
又j∙4998=90,所以4.4998~0.Iar+0.56,
所以鬻8E）∙56~2i.89,
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元12分
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