电动力学习题解答.docx
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电动力学习题解答
电动力学习题解答
若干运算公式的证明
（利用公式
得）
第一章电磁现象的普遍规律
1.根据算符
的微分性与向量性，推导下列公式：
解：
（1）
（2）在
（1）中令
得：
，
所以
即
2.设
是空间坐标
的函数，证明：
，
，
证明：
（1）
（2）
（3）
3.设
为源点
到场点
的距离，
的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
；
；
；
，
。
（2）求
，
，
，
，
及
，其中
、
及
均为常向量。
（1）证明：
可见
可见
，
（2）解：
因为，
为常向量，所以，
，
，
又
，
为常向量，
，而
，
所以
4.应用高斯定理证明
，应用斯托克斯（Stokes）定理证明
证明：
（I）设
为任意非零常矢量，则
根据矢量分析公式
，
令其中
，
，便得
所以
因为
是任意非零常向量，所以
（II）设
为任意非零常向量，令
，代入斯托克斯公式，得
（1）
（1）式左边为：
（2）
（1）式右边为：
（3）
所以
（4）
因为
为任意非零常向量，所以
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
，利用电荷守恒定律
证明p的变化率为：
证明：
方法（I）
因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故
，
同理
，
所以
方法（II）
根据并矢的散度公式
得：
6.若m是常向量，证明除
点以外，向量
的旋度等于标量
的梯度的负值，即
，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证明：
其中
，（
）
，（
）
又
所以，当
时，
7.有一内外半径分别为
和
的空心介质球，介质的电容率为
，使介质球内均匀带静止自由电荷
，求：
（1）空间各点的电场；
（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解：
（1）设场点到球心距离为
。
以球心为中心，以
为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同
处场强大小相同。
当
时，
，
。
当
时，
，
，
向量式为
当
时，
向量式为
（2）当
时，
当
时，
当
时，
8.内外半径分别为
和
的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流
，导体的磁导率为
，求磁感应强度和磁化电流。
解：
（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为
。
由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。
当
时，由安培环路定理得：
当
时，由环路定理得：
所以
，
向量式为
当
时，
所以
，
向量式为
（2）当
时，磁化强度为
所以
在
处，磁化面电流密度为
在
处，磁化面电流密度为
向量式为
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度
总是等于体自由电荷密度
的
倍。
证明：
在均匀介质中
所以
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反（但两个电流元之间
的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）
证明:
线圈1在线圈2的磁场中受的力:
而
，
（1）
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：
（2）
（1）式中：
同理
（2）式中：
11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为
和
，电容率为
和
，今在两板接上电动势为E的电池，求：
（1）电容器两极板上的自由电荷面密度
和
；
（2）介质分界面上的自由电荷面密度
。
（若介质是漏电的，电导率分别为
和
当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？
）
解：
忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为
和
，电位移分别设为
和
，其方向均由正极板指向负极板。
当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
所以有
，
由于E
所以
E
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
，
，
介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定，
，
再由E
得
E
E
E
E
E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
其中
和
分别为两种介质的介电常数，
和
分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足
其中
和
分别为两种介质的电导率。
证明：
（1）由
的切向分量连续，得
（1）
交界面处无自由电荷，所以
的法向分量连续，即
（2）
（1）、
（2）式相除，得
（2）当两种电介质内流有恒定电流时
由
的法向分量连续，得
（3）
（1）、（3）式相除，即得
13.试用边值关系证明：
在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
证明：
（1）设导体外表面处电场强度为
，其方向与法线之间夹角为
，则其切向分量为
。
在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上
的切向分量连续，所以
因此
即
只有法向分量，电场线与导体表面垂直。
（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为
，则电流密度
与导体表面夹角也是
。
导体外的电流密度
，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
因此
即
只有切向分量，从而
只有切向分量，电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为
，板间填充电导率为
的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求
随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为
的地方的能量耗散功率密度。
（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
解：
（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，其中
则由高斯定理得：
（1）
所以
，
（2）
再由电流连续性方程得：
（3）
所以
（4）
即
与
严格抵消，因此内部无磁场。
（2）由
得：
（5）
联立
（2）（4）（5）得
（6）
所以
（7）
设初始条件为
，则由（7）式得
所以，
（8）
（3）
（9）
（4）将上式在长度为l的一段介质内积分，得
（10）
由
得：
所以
（11）
由（6）（10）（11）得：
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
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