小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx
《小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
任意四边形、梯形与相似模型
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:
D
①Si：
S2S4：
S3或者3S3S2S4
②AO:
OCSS2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得aod3121.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平
方千米，所以人工湖的面积是
7.56.920.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
求：
⑴三角形BGC的面积；⑵
4个三角形，其中三个三角形的面积已知,AG:
GC?
【解析】⑴根据蝴蝶定理,
SVBGC123，那么SVBGC6；
⑵根据蝴蝶定理,
AG:
GC
12:
361:
3・（？
？
？
）
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的1,且A02，D03，那么CO的长度是DO的长度的倍。
3
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：
⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件SvaBD:
S/BCD1:
3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。
再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。
请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：
•••AO:
OCSABD:
SBDC1:
3,
•••OC236,
•••OC:
OD6:
3
2:
1•
解法二：
作AH
1S
SBCD,
3
】CG,
3
—SDOC,
3
1CO,
3
236,
BD于H,CGBD于G•
■SABD
--SAOD
•AO
•OC
•OC:
OD6:
3
2:
1•
【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。
求：
⑴求AOCF的面积；⑵求AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628,
所以△OCF的面积为844;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以AOCE的面积为862,
根据蝴蝶定理，EG:
FGSCOE:
SCOF2:
41:
2，所以Sgce:
SgcfEG:
FG1:
2,
112
那E么SGCESCEF—2_•
1233
【例4】图中的四边形土地的总面积是
52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
6
7
【解析】
CED，所以VABE,VCDE的面积比为（AEEB）:
（CEDE）。
同理有VADE,VBCE的面积比为（AEDE）:
（BEEC）。
所以有SVabexSVCde=SVAdexSVbce，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：
上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SVAbe6=SVAde7,所以有VABE与VADE的面积
21公顷，SVAde=-3918公顷。
比为7:
6,5沧=二39
显然，最大的三角形的面积为
21公顷。
【例5】
（2008年清华附中入学测试题为。
）如图相邻两个格点间的距离是
1，则图中阴影三角形的面积
【解析】
连接AD、CD、BC。
则可根据格点面积公式，可以得到
ABC的面积为:
ACD的面积为:
313.5,
2
67
4
ABD的面积为：
2—1
2
所以
BO:
ODSABC:
Sacd
2:
3.5
4:
7，所以Sabo
SABD
4
11
12
11
【解析】
【巩固】
1，求三角形ABC的面积。
因为BD:
CE2:
5，且BD//CE，所以DA:
AC2:
5,
SABC
SDBC
【例6】（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形ABCD中，BE2EC,CFFD，求三角形AEG的面积.
【解析】
连接
EF•
因为
BE2EC,CFFD
所以sdef（23
因为
SAED
1
1Swabcd，根据蝴蝶定理，AG:
GF
2
11
）SwabcdSwabcd•
212
—丄
2:
i2
6:
1,
所以
SAGD
6Sgdf
6Sadf
7
所以
SAGE
SAED
SAGD
SwabcdSaai
7414
SwabcdSwabcdSwabcd
2147
BCD・
即三角形AEG的面积是
7
【例7】
如图，长方形ABCD中,方形ABCD的面积.
BE:
EC2:
3，DF:
FC1:
2
三角形DFG的面积为2平方厘米，求长
【解析】
连接AE，FE•
因为BE:
EC2:
3,DF:
FC
1:
2,
所以svdef（5
11
）S长方形ABCDS长方形ABCD•
210
、1
因为S/AEDS长方形ABCD,AG:
GF
2
1
210
1
丄5:
1,所以
S/AGD5SvGDF10平方厘米，所以SAFD12平
ABCD的面积是72平方厘米.
【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米,形BDG的面积.
E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角
【解析】设BD与CE的交点为0,连接BE、DF•
1
—Swabcd,
2
由蝴蝶定理可知EO：
OCS/BED:
S/BCD，而S/BED—SwXBCD,S/BCD
4
1
所以EO:
0CS/bed:
Svbcd1:
2，故EOEC•
3
1
由于F为CE中点，所以EF—EC，故EO:
EF2:
3,FO:
E01:
2.
2
11
由蝴蝶定理可知S/BFD:
S/BEDFO：
EO1：
2，所以SvBFDS/BEDSaABCD,
28
111、
那么S/bgdS/bfdSwabcd10106.25（平方厘米）.
21616
【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1，贝UMNC的面积是.
C
【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得Smong沖
SAOB
【例10】
设SMON
SANM
SMNC
x，根据共边定理我们可以得
SABM
SMBC
-，解得
x
x22.5.
（2009年迎春杯初赛六年级
）正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
B5
B2
B3
B6
A3
O
B5
B2
B3
B6
A
3
【解析】如图，设B6A2与BlA3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3一样大小的三角形组成，只要求
出了A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.
连接氏A、B6B1、B6A3.
设A1B1B6的面积为”1“，则B1A2B6面积为”1“，AA2B6面积为”2“，那么A6A3B6面积为AA2B6
的2倍，为”
面积为2.
4“，梯形A1A2A3A6的面积为224212,A2B6A3的面积为”6“，B1A2A的
根据蝴蝶定理,
612
BOA30SB1A2B6:
SA3A2B61:
6，故SA,OA3,SBa，A3,
167
121
所以SgjS弟形AA2AA号：
12：
1：
7，即AOA3的面积为梯形AAAA面积的寸,故为六边形
113
A1A2A3A4A5A6面积的丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的丄6-，所以阴影部分面积为
14147
3
200911148（平方厘米）•
7
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:
1S1:
S3a2:
b2
22
2Si:
S3:
S?
:
S4a:
b:
ab:
ab；
3S的对应份数为ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）
【例11】如图，S22,S34，求梯形的面积.
【解析】设0为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S34b2，所以b2;又因为S22ab，所以
a1;那么Sa21,S4ab2，所以梯形面积SSiS2S3S412429，或者根
22
据梯形蝴蝶定理，Sab129.
【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC,BD交于O,已
知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是
平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理，Svaob:
Svboca2：
ab25:
35,可得a:
b5:
7,再根据梯形蝴蝶定理，
Svaob:
Svdoca2:
b252:
7225:
49,所以S/DOC49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为
25353549144（平方厘米）.
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
2
形BOC面积的-，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
3
【解析】根据梯形蝴蝶定理，Svaob:
Svbocab:
b22:
3，可以求出a:
b2:
3,
2222
再根据梯形蝴蝶定理，Svaod:
Svboca:
b2:
34:
9.
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形
ABCD中，对角线
AC和BD交于0点，已知AO1，并且
三角形ABD的面积
三角形CBD的面积
3，那么0C的长是多少?
5
C
【解析】根据蝴蝶定理，三角形cbd的面积
A0，所以A
COCO
35
，又AO1，所以CO-.
53
【例14】
梯形的下底是上底的1.5倍,
三角形OBC的面积是
9cm2，问三角形AOD的面积是多少?
【解析】
【巩固】
【解析】
根据梯形蝴蝶定理，a:
b1:
1.5所以SAOD4cm2.
如图，梯形ABCD中,
AOB、
根据梯形蝴蝶定理，SVAOB:
SVACOD
2
Svaod:
Svaobab:
ab:
a3:
2,
2.3,SAOD:
SBOC
COD的面积分别为
a2:
b222:
324:
9,
1.2和2.7，求梯形ABCD的面积.
22
a:
b4:
9，所以a:
b2:
3,
3-1.8,
2
SvaodSvcob1.2
S梯形abcd1-21.81.82.77.5.
【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH
的面积是23，求四边形EGFH的面积.
【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形
ADG的面积；三角形
BCH的面积等于三角形
EFH的面积，所以四边形EGFH的面积
是112334.
【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
的面积为36,则三角形1的面积为
1和三角
形3,所以1的面积就是36
16,3的面积就是36
20.
【解析】做辅助线如下：
利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形
【例16】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.
【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:
BC1:
2，根据梯形蝴蝶定理可以知道
amg:
abg:
mcg:
S^bcg1：
C12）：
C12）：
21：
2:
2:
4，设agm1份，则mcd123份,
所以正方形的面积为1224312份，S阴影224份，所以S阴影：
S正方形1:
3,所以S阴影1
平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝴蝶定理得S梯形（12）29（平方厘米），S^ECD3（平方厘米），那么Swabcd12（平方厘米）.
【例17】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.
【解析】
【例18】
【解析】
因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF:
AB
S^AOE
OFB
3份，aob
9份，S^ADE
BCF
1：
3，设S^oef1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道
2
（13）份，因此正方形的面积为44（13）24
份，S阴影
6，所以S阴影：
S正方形
6:
241:
4，所以S阴影3平方厘米.
ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AE
如图，在长方形
EFFB，求阴影部分的面积.
方法一：
如图，连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形
AED
的面积为
26322平方厘米.
由于EF:
DC1:
3,根据梯形蝴蝶定理，Svdeo:
Svefo3:
1,所以Svdeo
SvDEF,而SDEF
4
SVADE2
平方厘米，所以SvDEO
方法二：
如图，连接
份，
S阴影
2
S梯形EFCD
437份，而
3
>-21.5平方厘米，阴影部分的面积为
4
DE,FC，由于
16份，S^ADE
S长方形ABCD62
21.5
3.5平方厘米.
EF:
DC1:
3
S^BCF13
12平方厘米,
设S^OEF
4份，因此
所以S阴影
1份，根据梯形蝴蝶定理，
16424份,
S长方形ABCD4
3.5平方厘米
S^OED3
【例19】（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形,
面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是平方厘米.
BC:
CE3:
2，三角形ODE的
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形，BC:
CE3:
2，所以CE:
AD2:
3,
根据梯形蝴蝶定理，Svcoe:
Svaoc:
Svdoe:
Svaod2:
23:
23:
34:
6:
6:
9，所以Svaoc6（平方厘米），Svaod9（平方厘米），又SvabcSvacd6915（平方厘米），阴影部分面积为61521（平
方厘米）.
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米），阴影部
分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.
由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae.根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD4936，故SOCD36,
所以SOCD6（平方厘米）•
【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单
位：
平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE•
由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae•
根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD2816，故SOCD16，所以SOCD4（平方厘米）•
11
另解：
在平行四边形ABED中，Sade-Syabed-16812（平方厘米），
22
所以SAOESADESAOD1284（平方厘米），
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）•
【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是
10平方厘米•问：
四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
【分析】连接BF,根据梯形模型，可知三角形
BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平
方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形
BCE的面积为10105
20（平方厘米），所以长方形的面积为
2010
60（平方厘米）•四边形ABEF的面积为605
102025（平方厘米）.
【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平
方厘米•问：
四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
【解析】（法1）连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等，即其面积也是
6平方厘米，再根据蝴蝶定理，
三角形
BCE的面积为664
9（平方厘米）,
所以长方形的面积为
9
6
230（平方厘米）•
四边形
ABEF的面积为3046
911（平方厘
米）•
（法2）由题意可知，
EF
4
2，根据相似三角形性质，
EDEF2,所以三角形
BCE的面积为:
EC
6
3
EBEC3
2
6-9（平方厘米）•则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15230（平方厘米）•四
3
边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）・
【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？
D
C
【解析】因为连接ED知道△ABO和厶EDO的面积相等即为54，又因为OD：
OB=16：
9,所以△AOD的面积
为5491696，根据四边形的对角线性质知道：
△BEO的面积为：
54549630.375,所以四
边形OECD的面积为：
549630.375119.625（平方厘米）.
【例21】（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.
【解析】连接DE、CF•四边形EDCF为梯形，所以SEODSvfoc，又根据蝴蝶定理，
SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816，所以SEOD4（平方厘米），
Secd4812（平方厘米）•那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289（平方厘米）•
【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的
长是9.那么四边形OECD的面积是•
【解析】解法一：
连接DE,依题意SVAOB
-BOAO-9AO
22
54，所以AO12,
则Svaod1DOA0丄161296.
22
【例23】
又因为Svaob
SvDOE54
1
16
OE，所以OE
6^,
得SvBOE
1
BOEO-
2
6?
303,
4
9
2
2
4
8
303
119-
所以SOECD
SvBDCSvBOE
Sv
ABD
Svboe5496
8
8
解法—：
由于Svaod:
SvaobOD:
OB16:
9，所以Svaod54-
96，而Svdoe
Svboe
Svaod
Svaob
Svdoe,
所以
Svboe
54
5496
30-,
8
Svbdc
Svboe
SvABD
Svboe
54
96
30
8
5
119.
8
9
蝴蝶定理，
所以SoECD
DEFG是正方形，线段
如图，ABC是等腰直角三角形,
SvAOB
54，根据
AB与CD相交于K点•已知正方形
BKD的面积是多少?
DEFG的面积48,AK:
KB1:
3，则
【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和
11
ACK的面积是相等的.而AK:
KB1:
3，所以ACK的面积是ABC面积的，那么BDK
134
1
的面积也是ABC面积的-.
4
由于ABC是等腰直角三角形，如
升级会员 