小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx

1、小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:D Si：S2 S4：S3 或者 3 S3 S2 S4 AO:OC S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面

2、积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得 aod 3 1 2 1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：三角形 BGC的面积；4个三角形，其中三个三角形的面积已知, AG:GC ?【解析】根据蝴蝶定理,SVBGC 1 2 3，那么 SV BGC 6 ；根据蝴蝶定理,AG : GC12:36 1:3 （？）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1

3、,且A0 2，D0 3，那么CO的长度是DO的长度的 倍。3【解析】在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件SvaBD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老

4、师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： AO:OC S ABD : S BDC 1:3 ,OC 2 3 6 ,OC:OD 6:32:1 解法二：作AH1SS BCD ,3】CG ,3S DOC ,31CO ,32 3 6 ,BD 于 H , CG BD 于 G S ABD-S AOD AOOCOC:OD 6:32:1 【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点，ACEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是2、4、4和6。求：求 AOCF的面积；求 AGCE的面积。【解析】根据题意可知， BCD的面积为2 4 4 6 16，

5、那么 BCO和 CDO的面积都是16 2 8 ,所以 OCF的面积为8 4 4;由于 BCO的面积为8, BOE的面积为6,所以 AOCE的面积为8 6 2 ,根据蝴蝶定理， EG:FG S COE : S COF 2:4 1:2，所以 S gce :S gcf EG: FG 1:2 ,1 1 2那E么 S GCE S CEF 2 _ 1 2 3 3【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?67【解析】CED，所以 VABE , VCDE 的面积比为(AE EB) :(CE

6、DE)。同 理有 VADE , VBCE 的面积比为(AE DE):(BE EC)。所以有 SVabe xSVCde = SVAde xSVbce，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2条对角线，有图形分成上、下、左、右 4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SVAbe 6= SVAde 7 ,所以有VABE与VADE的面积21 公顷，SVAde = - 39 18 公顷。比为7:6, 5沧=二39显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例5】(2008年清华附中入学测试题 为 。)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积【解析】连接 AD、CD、BC。

7、则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为:ACD的面积为:3 1 3.5 ,26 74ABD的面积为：2 12所以BO : OD S ABC : S acd2:3.54:7，所以 SaboS ABD4111211【解析】【巩固】1，求三角形 ABC的面积。因为 BD:CE 2:5，且 BD /CE，所以 DA: AC 2:5 ,S ABCS DBC【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形 ABCD中，BE 2EC , CF FD，求三角形 AEG 的面积.【解析】连接EF 因为BE 2EC , CF FD所以 s def(2 3因为S AED11Swabcd，根据蝴蝶定理，

8、 AG : GF21 1)Swabcd Swabcd 2 12丄2:i26:1 ,所以S AGD6S gdf6Sadf7所以S AGES AEDS AGDSwabcd Saai7 4 14Swabcd Swabcd Swabcd2 14 7BCD即三角形AEG的面积是 7【例7】如图，长方形 ABCD中, 方形ABCD的面积.BE:EC 2:3， DF : FC 1:2三角形DFG的面积为2平方厘米，求长【解析】连接AE，FE 因为 BE: EC 2:3 , DF : FC1:2 ,所以 svdef(51 1)S长方形ABCD S长方形ABCD 2 10、 1因为 S/AED S长方形 ABC

9、D , AG : GF212101丄5:1 ,所以S/AGD 5 SvGDF 10平方厘米，所以 S AFD 12平ABCD的面积是72平方厘米.【例8】如图，已知正方形 ABC D的边长为10厘米, 形B D G的面积.E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角【解析】 设BD与CE的交点为0 ,连接BE、DF 1Swabcd ,2由蝴蝶定理可知 EO ： OC S/BED : S/BCD，而 S/BED SwXBCD , S/BCD41所以 EO :0C S/bed : Svbcd 1:2，故 EO EC 31由于 F 为 CE 中点，所以 EF EC，故 EO:EF 2:3 , F

10、O :E0 1:2 .21 1由蝴蝶定理可知 S/BFD : S/BED FO ： EO 1： 2，所以 SvBFD S/BED SaABCD ,2 811 1 、那么 S/bgd S/bfd Swabcd 10 10 6.25 （平方厘米）.2 16 16【例9】如图，在 ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若 AOM、 ABO和BON的面积分别是3、2、1，贝U MNC的面积是 .C【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得 Smon g沖S AOB【例10】设 S MONS ANMS MNCx，根据共边定理我们可以得S ABM

11、S MBC-，解得xx 22.5.（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.B5B2B3B6A3OB5B2B3B6A3【解析】如图，设B6A2与Bl A3的交点为O,则图中空白部分由6个与 A2OA3 一样大小的三角形组成， 只要求出了 A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接氏 A、B6B1、B6A3 .设 A1B1B6的面积为” 1 “，则B1A2B6面积为” 1“， AA2B6面积为” 2 “，那么 A6A3B6面积为 AA2B

12、6的2倍，为”面积为2 .4 “，梯形 A1A2A3A6的面积为2 2 4 2 12, A2B6A3的面积为” 6 “， B1A2A的根据蝴蝶定理,6 12BO A30 S B1A2B6 : S A3A2B6 1: 6，故 S A,OA3 , S B a，A3 ,1 6 712 1所以SgjS弟形AA2AA 号：12：1： 7，即 AOA3的面积 为梯形 AAAA面积的寸,故为六 边形1 1 3A1A2A3A4A5A6面积的 丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的 丄 6 -，所以阴影部分面积为14 14 732009 1 1148（平方厘米）7板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定

13、理”）:1S1:S3 a2: b22 22Si: S3: S? : S4 a : b : ab: ab ；3S的对应份数为 a b .梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果. （具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 ）【例11】 如图，S2 2 , S3 4，求梯形的面积.【解析】设0为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理， S3 4 b2，所以b 2 ;又因为S2 2 a b，所以a 1 ;那么S a2 1, S4 a b 2，所以梯形面积S Si S2S3S4 12429，或者

14、根2 2据梯形蝴蝶定理，Sab 1 2 9 .【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形 ABCD的AB平行于CD，对角线AC , BD交于O,已知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理，Svaob : Svboc a2：ab 25:35 ,可得a:b 5:7 ,再根据梯形蝴蝶定理，Svaob : Svdoc a2:b2 52 :72 25: 49 ,所以S/DOC 49 （平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为25 35 35 49 144（平方厘米）.【例12】 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O

15、 ,已知梯形上底为 2,且三角形 ABO的面积等于三角2形BOC面积的-，求三角形 AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，Svaob :Svboc ab:b2 2:3，可以求出a: b 2:3 ,2 2 2 2再根据梯形蝴蝶定理， Svaod : Svboc a : b 2 : 3 4: 9 .通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13】（第十届华杯赛 ）如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于0点，已知 AO 1，并且三角形ABD的面积三角形CBD的面

16、积3，那么0C的长是多少?5C【解析】根据蝴蝶定理，三角形cbd的面积A0，所以ACO CO3 5，又AO 1，所以CO -.5 3【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2，问三角形 AOD的面积是多少?【解析】【巩固】【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b 1:1.5 所以 S AOD 4 cm2 .如图，梯形 ABCD中,AOB、根据梯形蝴蝶定理，SVAOB : SVACOD2Svaod : Svaob ab : a b : a 3: 2 ,2.3 , S AOD : S BOCCOD的面积分别为a2 :b2 22 :32 4:9 ,1.2和2.7，求梯形ABCD的面积

17、.2 2a :b 4:9，所以 a:b 2:3 ,3 -1.8 ,2Svaod Svcob 1.2S梯形abcd 1-2 1.8 1.8 2.7 7.5 .【例15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块， 已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积.【解析】如图，连结EF，显然四边形 ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是 11 23 34.【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形 1的面积与三角形 3的面积比为

18、4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为 1和三角形3,所以1的面积就是3616 , 3的面积就是3620 .【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2分成左右两边，其面积正好等于三角形【例16】如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以 AM :BC 1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道amg : abg : mcg : Sbcg 1 ： C1 2）： C1 2） ： 2 1： 2:2:4，设 agm 1 份，则 mcd 1 2 3 份,所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，S阴影2 2 4份，

19、所以 S阴影：S正方形1: 3 , 所以 S阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平 方厘米，那么正方形 ABCD面积是 平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝴蝶定理得S梯形（1 2）2 9 （平方厘米），S ECD 3 （平 方厘米），那么Swabcd 12（平方厘米）.【例17】如图面积为12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【解析】【例18】【解析】因为E,F是DC边上的三等分点，所以 EF : ABS AOEOFB3 份，aob9 份，

20、S ADEBCF1：3，设Soef 1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道2（1 3）份，因此正方形的面积为 4 4 （1 3） 24份，S阴影6，所以S阴影：S正方形6:24 1:4，所以S阴影3平方厘米.ABCD中，AB 6厘米，AD 2厘米，AE如图，在长方形EF FB，求阴影部分的面积.方法一：如图，连接 DE , DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2 6 3 2 2平方厘米.由于EF : DC 1:3 ,根据梯形蝴蝶定理，Svdeo : Svefo 3:1 ,所以SvdeoSvDEF ,而 S DEF4SVADE 2平方厘米，所以 SvDEO方法二：如图，连接份，S阴

21、影2S梯形EFCD4 3 7份，而3 -2 1.5平方厘米，阴影部分的面积为4DE , FC，由于16 份，S ADES长方形ABCD 6 22 1.53.5平方厘米.EF : DC 1:3S BCF 1 312平方厘米,设 SOEF4份，因此所以S阴影1份，根据梯形蝴蝶定理，16 4 24 份,S长方形ABCD 43.5平方厘米S OED 3【例19】 （2008年”奥数网杯”六年级试题 ）已知ABCD是平行四边形,面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米.BC:CE 3: 2，三角形 ODE的【解析】连接AC .由于 ABCD是平行四边形， BC:CE 3:2，所以CE : AD 2:

22、3 ,根据梯形蝴蝶定理， Svcoe : Svaoc : Svdoe : Svaod 2 :2 3: 2 3: 3 4:6:6:9，所以 Svaoc 6（平方厘 米），Svaod 9（平方厘米），又Svabc Svacd 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘米）.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S ocd S oae . 根据蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S

23、 OCD 36 ,所以 S OCD 6（平方厘米）【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE 由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S ocd S oae 根据蝴蝶定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16，故 S OCD 16，所以 S OCD 4（平方厘米）1 1另解：在平行四边形 ABED中，S ade - Syabed - 16 8 12（平方厘米），2 2所以 S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米）

24、，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4（平方厘米）【例20】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米， CED的面积是10平方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【分析】连接BF ,根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是 10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10 10 520（平方厘米），所以长方形的面积为20 1060（平方厘米）四边形 ABEF的面积为60 510 20 25（平方厘米）.【巩固】如图所示， BD、CF将长方形ABCD分成4块， DEF的面积是4平方厘米， CED的面积是

25、6平方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【解析】（法1）连接BF ,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 BEF的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6 6 49（平方厘米）,所以长方形的面积为962 30 （平方厘米）四边形ABEF的面积为30 4 69 11（平方厘米）（法2）由题意可知，EF42，根据相似三角形性质，ED EF 2 ,所以三角形BCE的面积为:EC63EB EC 326 - 9（平方厘米）则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为 15 2 30（平方厘米）四3边形ABEF的面积为30 4 6

26、9 11（平方厘米）【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 54 , OD的长是16 , OB的长是9.那么四边形 OECD的面积是多少？DC【解析】因为连接ED知道 ABO和厶EDO的面积相等即为54，又因为OD：OB=16：9,所以 AOD的面积为54 9 16 96，根据四边形的对角线性质知道： BEO的面积为：54 54 96 30.375,所以四边形OECD的面积为：54 96 30.375 119.625（平方厘米）.【例21】 （2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8

27、平方厘米，那么余下的四边形 OFBC的面积为 平方厘米.【解析】 连接DE、CF 四边形EDCF为梯形，所以S EOD Svfoc，又根据蝴蝶定理，S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16，所以S EOD 4（平方厘米），S ecd 4 8 12（平方厘米）那么长方形 ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形 OFBC的面 积为24 5 2 8 9（平方厘米）【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形 ABCD中，AOB是直角三角形且面积为 54, OD的长是16 , OB的长是9.那么四边形 OECD的面积是

28、【解析】解法一：连接DE ,依题意SVAOB-BO AO - 9 AO2 254，所以 AO 12 ,则 Svaod 1 DO A0 丄 16 12 96.2 2【例23】又因为Sv aobSvDOE 54116OE，所以OE6 ,得 SvBOE1BO EO -26?30 3 ,492248303119-所以SOECDSvBDC SvBOESvABDSvboe 54 9688解法：由于 Svaod : Svaob OD : OB 16:9，所以 Svaod 54 -96，而 Sv doeSvboeSvaodSvaobSvdoe ,所以Svboe5454 9630-,8SvbdcSvboeSv ABDSvboe54963085119 .89蝴蝶定理，所以SoECDDEFG是正方形，线段如图， ABC是等腰直角三角形,SvAOB54，根据AB与CD相交于K点已知正方形BKD的面积是多少?DEFG 的面积 48, AK:KB 1:3，则【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和1 1ACK的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以 ACK的面积是 ABC面积的 ，那么 BDK1 3 41的面积也是 ABC面积的-.4由于 ABC是等腰直角三角形，如