届高三第二次模拟考试数学理试题 含答案.docx
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届高三第二次模拟考试数学理试题含答案
肇庆市中小学教学质量评估
2018届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设复数
满足
，
为虚数单位，则复数
的虚部是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，函数
的定义域为
，
，则下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知
满足约束条件
，则
的最小值为
（A）1（B）-1（C）3（D）-3
（4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的
，
则输出的
属于
（A）（B）（C）（D）
（6）下列说法中不正确的个数是
①“
”是“
”的必要不充分条件；
②命题“
”的否定是“
”；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
（A）3（B）2（C）1（D）0
（7）若
的展开式中含有常数项，则
的最小值等于
（A）3（B）4（C）5（D）6
（8）已知
，若将它的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则函数
图象的一条对称轴的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知
，
，
，若
点是
所在平面内一点，且
，当
变化时，
的最大值等于
（A）-2（B）0（C）2（D）4
（10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）体育课的排球发球项目考试的规则是：
每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为
，发球次数为
，若
的数学期望
，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知函数
，若对任意的
，总存在
，使得
，则实数
的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
（13）等比数列
的前
项和为
，已知
，则公比
=▲.
（14）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为▲.
（15）已知
，
分别是
的两个实数根，则
▲.
（16）若定义域为
的偶函数
满足
，且当
时，
，则方程
在
内的根的个数是▲.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
的周长．
（18）（本小题满分12分）
设数列{
}的前
项和为
，且
.
（Ⅰ）求{
}的通项公式；
（Ⅱ）若
，且数列
的前
项和为
，求
.
（19）（本小题满分12分）
某市高中男生身高统计调查数据显示：
全市100000名男生的身高服从正态分布
.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：
第1组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（
）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.
参考数据：
若
，则
，
，
.
（20）（本小题满分12分）
在四棱锥
中，底面是边长为2的菱形，
，
，
.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若
是
的中点，且
与平面
所成的角的正切值为
，求二面角
的余弦值.
（21）（本小题满分12分）
已知函数
有两个零点.
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）设
是
的两个零点，证明
.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.
（Ⅰ）直接写出
的普通方程和极坐标方程，直接写出
的普通方程；
（Ⅱ）点
在
上，点
在
上，求
的最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知
.
（Ⅰ）当
，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若对任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
2018届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
D
D
B
C
C
B
A
C
C
二、填空题
13．
或
（答1个得3分，答2个得5分）14．
15．
16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由已知以及正弦定理，得
，（2分）
即
.（3分）
所以
，（5分）
又
，所以
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
，（8分）
又
，所以
，（9分）
所以
，即
.（11分）
所以
周长为
.（12分）
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由已知，有
①，
当
时，
，即
.（1分）
当
时，
②，
①-②得
，即
.（3分）
所以
是2为公比，1为首项的等比数列，即
.（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，（6分）
所以
.（8分）
所以
（9分）
=
（10分）
=
（11分）
=
（12分）
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由频率分布直方图，可估计该校高三年级男生平均身高为：
.
（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，可得这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为：
（0.02+0.02+0.01）⨯4⨯50=10.（4分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥180）=
=0.0013，（5分）
0.0013×100000=130，∴全市前130名的身高在180cm以上.（6分）
这50人中180cm以上的人数为：
0.01⨯4⨯50=2，
因此随机变量ξ可取0，1，2.（7分）
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=1）=
，P（ξ=2）=
，（10分）
∴E（ξ）=0×
+1×
+2×
=
.（12分）
（20）（本小题满分12分）
证明：
（Ⅰ）因为底面是菱形，所以
.（1分）
又
，且
是
中点，所以
.（2分）
，所以
.（3分）
又
，所以
.（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
是
在面
上的射影，
所以
是
与面
所成的角.（5分）
在Rt△BOE中，
，
，所以
.
在Rt△PEO中，
，
，所以
.
所以
，又
，
所以
，所以
.（6分）
又
，所以
.（7分）
方法一：
过
做
于
，由（Ⅰ）知
，所以
，所以
，
，所以
是二面角
的平面角.（9分）
在△PAC中，
，所以
，即
.
所以
.（10分）
，得
，（11分）
，
，所以二面角
的余弦值为
.（12分）
方法二：
如图，以
建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
.（9分）
设面
的法向量为
，则
，即
，得方程的一组解为
，即
.（10分）
又面
的一个法向量为
，（11分）
所以
，所以二面角
的余弦值为
.（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
（1分）
（i）当
时，
函数
在
单调递减，在
单调递增．（2分）
∵
，
取实数
满足
且
，则
，
（3分）
所以
有两个零点．（4分）
（ii）若
，则
，故
只有一个零点．（5分）
（iii）若
，由（I）知，
当
，则
在
单调递增，又当
时，
，故
不存在两个零点；
当
，则函数在
单调递增；在
单调递减．又当
时，
，故不存在两个零点．（6分）
综上所述，
的取值范围是
．（7分）
（Ⅱ）不妨设
.
由（Ⅰ）知
，
，则
等价于
.
因为函数
在
单调递减，
所以
等价于
，即证明
.（8分）
由
，得
，
，（9分）
令
，
.（10分）
，
在
单调递减，又
，所以
，
所以
，即原命题成立.（12分）
（22）（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）
的普通方程是
，（2分）
的极坐标方程
，（4分）
的普通方程
.（6分）
（Ⅱ）方法一：
是以点
为圆心，半径为2的圆；
是直线.（7分）
圆心到直线
的距离为
，直线和圆相离.（8分）
所以
的最小值为
.（10分）
方法二：
设
，因为
是直线，（7分）
所以
的最小值即点
到直线的距离
的最小值，
，（9分）
所以最小值为
.（10分）
（23）（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）当
时，不等式
，即
.
可得
，或
或
（3分）
解得
，所以不等式的解集为
.（6分）
（Ⅱ）
，当且仅当
时等号成立.（8分）
由
，得
或
，即a的取值范围为
（10分）
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