直线型旋转综合概要.docx

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直线型旋转综合概要

直线型旋转综合

2.如图，直线

与线段

相交于点

点

和点

在直线

上，且

.

（1）如图1所示，当点

与点

重合时，且

，请写出

与

的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的

绕点

顺时针旋转到如图2所示的位置，

，

（1）中的

与

的数量关系和位置关系是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，

请说明理由；

（3）将图2中的

拉长为

的

倍得到如图3，求

的值．

3.边长为2的正方形

的两顶点A、C分别在正方形EFGD的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N．

（1）求边

在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3，设

的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论．

4.如图1，在

中，

，

，

，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是________，

________．

（2）如图2，当

绕点C顺时针旋转

时

，连结AF，BE，

（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当

绕点C顺时针旋转

时

，延长FC交AB于点D，如果

，求旋转角

的度数．

6.在平面直角坐标系xOy中，已知

、

，直线

围绕△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P．探究解决下列问题：

（1）在图1中求△OAB的面积．

（2）如图1所示，当直线

旋转到与边OB相交时，试确定点P的位置，使顶点O、B到直线

的距离之和最大，并简要说明理由．

（3）当直线

旋转到与y轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P的位置，使顶点O、B到直线

的距离之和最大，画出图形并求出此时P点的坐标．（点P位置的确定只需作出图形，不用证明）．

7.已知等腰

和等腰

中，

，且

（1）发现：

如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是，MN与EC的数量关系是

（2）探究：

若把

（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？

若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°

得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，

8.将△ABC绕点A顺时针旋转

得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．

（1）如图1，若

，

，请直接写出AF与BF的数量关系；

（2）如图2，若

，

，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，若

，

，请直接写出

的值（用含

、

的式子表示）．

9.在△ABC中，

，

，将线段BC绕点B逆时针旋转

得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．

（1）如图1，直接写出

和

的度数；

（2）在图1中证明：

；

（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．

10.如图1，正方形

与正方形

的边

在一条直线上，正方形

以点

为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为

，在旋转过程中，两个正方形只有点

重合，其它顶点均不重合，连接

．

（1）当正方形

旋转至如图2所示的位置时，求证：

；

（2）当点

在直线

上时，连接

，直接写出

的度数；

（3）如图3，

如果

，求点

到

的距离．

11.在△ABC中，

，在△AED中，

，点D、E分别在CA、AB上．

（1）如图①，若

，则CD与BE的数量关系是；

（2）若

，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；

（3）若

，将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段C

D与BE的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．

12.在等边三角形

中，

于点

．

（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系：

；

（2）如图2，若

是线段

上一个动点（点

不与点

重合），联结

，将线段

绕点

逆时针旋转60°，得到线段

，联结

，猜想线段

之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，若点

是线段

延长线上一个动点，

（2）中的其他条件不变，按照

（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段

之间的数量关系．

13.如图1，已知

，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1，猜想

°；

（2）如图2，3，若当

是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想

的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若

，且

，求BQ的长．

14.在△ABC中，

，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为

，且

，连接AD、BD．

（1）如图1，当

，

时，

的大小为_________；

（2）如图2，当

，

时，求

的大小；

（3）已知∠BAC的大小为

，若

的大小与

（2）中的结果相同，请直接写出

的大小．

15.已知：

在△ABC中，

，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转

与过点A且平行于

边的直线交于点E．

（1）如图12-1，当

时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系．

（2）如图12-2，当

时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

（3）如图12-3，当

为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：

_______________________（用含

的式子表示，其中

）．

16.如图1所示，将一个边长为2的正方形

和一个长为2、宽为1的长方形

拼在一起，构成一个大的长方形

.现将小长方形

绕点

顺时针旋转至

，旋转角为

．

（1）当点

恰好落在

边上时，求旋转角

的值；

（2）如图2，

为

中点，且

，求证：

；

（3）小长方形

绕点

顺时针旋转一周的过程中，△

与△

能否全等？

若能，直接写

出旋转角

的值；若不能，说明理由．

17.

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，

，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：

．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足

，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中，

，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当

，

时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；

②如图3，当

，

时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________．【参考：

】

18.已知：

等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60º至

，连接

．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段

与MF的数量关系是__________；

（2）如图2，当点M在BC边上时，

（1）中的结论是否依然成立？

如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；

（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断

（1）中的结论是否依然成立？

不必给出证明或说明理由．

19.四边形

是正方形，

是等腰直角三角形，

，

．连接

，

为

的中点，连接

．

（1）如图1，若点

在

边的延长线上，直接写出

与

的位置关系及

的值；

（2）将图1中的

绕点

顺时针旋转至图2所示位置，请问

（1）中所得的结论是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）将图1中的

，绕点

顺时针旋转

，若

，

，当

、

、

三点共线时，求

的长及

的值．

20.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF．

（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时

（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若

，

，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

21.如图1，在△ABC中，

，

，

，将△ABC绕顶点C顺时针旋转

，得到△A′B′C．联结A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．

（1）直接写出

；

（2）如图2，当旋转角为

时，S△ACA′与S△BCB′的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含

的代数式表示）．

22.如图：

点O是等边△ABC内一点，

，

．将线段OC绕点

C按顺时针方向旋转

得到线段CD，连接OD、AD．

（1）求证：

．

（2）当

时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：

当

为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？

23.如图1，在等腰直角△ABC中，

，

，点E是BC边上一点，

且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．

（1）如图2，若点E为BC中点，将

绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：

在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

24.已知：

四边形ABCD中，AD∥BC，

，

，点E是射线CD

上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转

后，得到△ABE'，连接EE'．

（1）如图1，

；

（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转

后交直线BC于点F，过点E作

EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；

（3）如图3，在

（2）的条件下，如果

，

，求ME的长．

25.如图，四边形

、

是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形

可以绕中心

旋转,正方形

静止不动．

（1）如图1，当

共线时，四边形

的面积为__；

（2）如图2，当

三点共线时，请直接写

出

_________；

（3）在正方