圆锥曲线高考大题.docx

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圆锥曲线高考大题

圆锥曲线

1•已知椭圆C:

9x2y2=m2（m.0）,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A,B，线段AB的中

点为M.

（I）证明：

直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；

（n）若I过点（m,m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？

若能，求此时I的斜率，若

不能，说明理由.

为3.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线I和AB于

点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

（I）求椭圆E的方程；

（n）设直线x=my-1,（m?

R）交椭圆E于A,B两点，判断点G（-,0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说

明理由.

，左、右焦点分别是，以F1错误！

未找到引用源。

为圆心以3为半

径的圆与以F2错误！

未找到引用源。

为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程；

（n）设椭圆e：

——2M'——2=1,P错误！

未找到引用源。

为椭圆C错误！

未找到引用源。

上任意一点，过点P的直4a24b2

线y=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线P0错误！

未找到引用源。

交椭圆E于点Q.（i）求错误！

未

在线段AB上，满足

BM|=2MA，直线OM的斜率为—.

（I）求E的离心率e;

（II）设点C的坐标为（0,-b）,N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为-，求

E的方程.

22b4-3

x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=^.

（I）求直线FM的斜率；（II）求椭圆的方程；

（III）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围

（1）求椭圆E的方程;

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

10.一种作图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=0N=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕0转动一

周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C•以0为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

（I）求曲线C的方程；

（H）设动直线I与两定直线h：

x_2y=：

0和l2：

x・2y=：

0分别交于P,Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共

点，试探究：

0QP的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小

值；若不存在，说明理由.

13.已知椭圆C:

x2y2=1ab0的离心率为

12.在直角坐标系xoy中，曲线C：

y=一与直线y=kx，a（a>0）交与M,N两点,

（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（H）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/OPM=/OPN?

说明理由.

2，点P0,1和点Am,nm工0都在椭圆C上，直线PA交x轴

（I）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m,n表示）;

（H）设0为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N•问：

y轴上是否存在点Q，使得

.OQM=/ONQ?

若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

14.已知抛物线G：

x2=：

4y的焦点F也是椭圆C2:

y2X2-1（ab-0）的一个焦点，G与C?

的公共弦的长为26.

（1）求C2的方程；

⑵过点F的直线l与G相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且AC与BD同向

（i）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率

（ii）设G在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：

直线I绕点F旋转时，■MFD总是钝角三角形

15.已知椭圆x2y-1，过原点的两条直线h和I?

分别于椭圆交于二、m和C、D，记得到的平行四边形CD的

面积为S.

（1）设A（x,,%）,C（X2,y2），用直、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2x$1—屜％；

（2）设h与I2的斜率之积为…，求面积S的值.

1.【答案】（I）详见解析；（n）能，4-7或4，7.

【解析】（I）设直线l:

y=kxb（k=O,b=O）,A（X1,yJ,,M（Xm』m）.

1-0

予.于是直线曲的斜率也弋=〒郦砌直线皿硏率

与/的斜率的乘积为定值”

（II）四边形OAPB^l为平行四边形.

因为直线/过点（?

册）1所以？

不过原点且与C有两个交点的充要条件是盘>0,k^-3.

±k?

.捋点（2」叭的坐标代入直线/的方程得b=}^3~k］,因此工r

设直线二£■的方程为y=kx“，丄Xi，%,Bx,,y2，将厶三的方程代入椭圆方程，得

12k2x2-4k2x2k2-1=0,

从而天kO,故喜纯PU的肴程沃1亠+_■z—.

1—H亠A„

厂八r、、

n亠+2贝UP点的坐标沁—2,—二—.

丘］1+\託*1I

鼻・-■/

R3A-+1IJ1+P因沖PU=：

_VB,所⑵、一,,——:

—、

|>t||1—1

此时首绫-AB君程沏厘=X-1或工

若k=0，则线段上三的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.

3.【答案】（I）x+y=1；（n）G（-9,0）在以AB为直径的圆外.

424

【解析】解法一：

（I）由已知得

，则|AB|=t21

42321

-2t+2t+—t+—

2，且O到直线AB的距离为d2，设.AOB的面积为S（t）,

t21t21

•-S（t）=；lAB|d

1-2（t2-\2•2乞2，当且仅当t2二1时，等号成立，故AOB面积的最大值为

2222

5.【答案】（I）一：

计-1;（II）

c43

（i）2；（ii）6（3.（I）由题意知2a=4，则a=2,又-,a2

_c2=b2可

得b=1,所以椭圆C的标准方程为

x2x2v2

4八1.（11）由（知椭圆E的方程为164=1,

（i）设pxo,yo,

22Xn2（—'-X。

）（—丸V。

）

由题意知Q因为0^0=1,又——=1，即

4164

J2、

x^+Vo=1,所以人=2,

4丿

即!

=2.

（ii）设AN,%,BX2,y2将y=kx•m代入椭圆E的方程,

可得14k2x28kmx4m2-16=0由二0

228km4m-16

14k2

可得m2:

4-16k2…①则有x-!

x22,x1x2二

1+4k2

所以为7|=4山6於号一亦因为直线

14k2

y=kx■m与轴交点的坐标为0,m所以=OAB

s=2mx2-X2卜

2j16k2匚4-m2m

2#（16k2+4m2）m2

14k2

2、m

1+4k2』

14k2

人m

令2-=t

14k

将y=kx■m代入椭圆C的方程可得1-4k2x28kmx■4m2-4=0由厶_0

可得

m-14k

…②由①②可知0：

：

t乞1因此S=24-tt=2-t24t，故S乞23当且仅当t=1

m2=14k2

时取得最大值23由（i）知，AABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为63.

a—y/5b.c—J□:

_护—故e—-=丁"

⑴由题设条件和（I）的计算结果可得,直Z的方程为焉w=b曲詢坐标沟（爭弓）,

设点Y关于直线肿的对称点&的坐标次（耳）贝懷段XS的中樣丁册坐标利』L-：

；_匕亠厶又

*~~I*4■

融的程为京+計.

设直线OP的斜率为m，得m=丫，即y=mx（x式0），与椭圆方程联立，整理可得m2=$

xx3

故所求椭圆的标准方程为——+y2=1.

（2）解法一：

如图（21）图，设点P（x0,y0）在椭圆上，且PF丄PF2,则

=PQ=PEI*QE,有QFl=4^-2P片

PE=PQI^QE】PF「因此Aa-1PJ-=7：

PF：

PF】=2（2-a/?

）<7而PF:

=2a-

TJT"■*■j

一=7（2-72）;+（7：

-1）;=<9-6V?

=^-

x2y2一、

9.【答案】

（1）1；

（2）存在，Q点的坐标为Q（0,2）.

【解析】

（1）由已知，点（2,1）在椭圆E上.

21彳

~2+疋=1,

ab22

因此,

y2—b2=c2,解得a=2,b=^2.所以椭圆的方程为—+-L=1.学优高考网

_42

cv2

a2,

（2）当直线I与x轴平行时，设直线I与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则|QCL|PCLl，即

|QD||PD|

|QC|=|QD|.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为

点的坐标只可能为Q（0,2）.下面证明：

对任意的直线

1，均有鵠=翳当直线1的斜率不存在时，由上可知，结论

成立•当直线I的斜率存在时，可设直线I的方程为y=kx+1,A、B的坐标分别为（x「^）,（X2,y2）•

-22

xy,

12222

联立42,得（2k2・1）x2•4kx-2=0.其判别式厶=16k28（2k21）0，所以,

y=kx1

xX2…：

k,X1X2-2.因此11/x2=2k.

2k212k21x,x2x,x2

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为B^x?

y2）.

所以咯=咯，目卩2屯用三点共绽

故存在与疗同慨点如亠使得备=書恒成立

10.【答

妙-

©刃_丨和_l氏il

1的

餌丨£1丨丹

案】（I）Xy=1；（n）存在最小值8.（I）设点D（t,0）（|t「E2）,

164

-22

（x^-t）y°=1,

=22

~D=2DN，，且|dN旧0^|=1，所以（t—x,—y）=2（Xo—t,y°），且!

K+y2=1.

即t—xJxo—Zt,且迩_2小0.y2y°.

由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,

于是t，2x0，故沟=4,y0，代入x0y0，可得：

6•4「，即所求的曲线

C的方程为

xy‘

164

（n）

（1）当直线I的斜率不存在时，直线

I为x=4或x=—4，都有S闿pq=1汉4汉4=8.

（2）当直线I的斜率存在时，

、、1

设直线l:

y=kxm（k=二），

I总与椭圆C有且只有一个公共点,

即m2=16k24.

222

（14k）x8kmx4m_16=0.因为直线

2222

所以.：

-64km-4（14k）（4m—16）=0,

y=kxm,2m

又由『可得P（

lx_2y=0,1_2k

1_2k）'

同理可得ifk）.由原点O到直线PQ的距离为黑和

|PQ|=1•k2|Xp-XqI，可得

当打钗詁时,

兀“=S（i^l）=8（-l——二

f1-4A-1-4丁

K0<.r<1-5JiJO

41-4^'・1-4L

当且仅当彳=0时取等号.

所以当上=0时，5二珥的最小11为&

综合

（1）C2）可知，当直线i与衙圆C在四个顶点处相切时，AOPOffi面积取得最小值&

11.【答案】（I）；（II）xy1.（I）过点c,0,0,b的直线方程为bx+cy-bc二0,学优高考网

2123

则原点O到直线的距离d=r~b^=r="，由d=—c，得a=2b=2/a2-c2，解得离心率—二』3.

lb2+c2a2a2

（II）解法一：

由（I）知，椭圆；：

的方程为x2+4y2=4b2.

（1）依题意，圆心划-2,1是线段丄3■的中点，且|AB|=10.

易知，比不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入

（1）得

（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2-4b2=0设A（x1,y1）,B（x2,y2）,贝U

8k（2k+1）4（2k+1）-4b,,8k（2k+1）—曰，1

X|+x2=2—,x1x2=2.由x-!

+x2=-4，得2—=-4,解得k=-

1+4k21+4k21+4k22

由|AB|=10，得10（b2-2）=10，解得b2=3.故椭圆上的方程为x+y=1

123

M（2a,a）,N（-22,a），或

C在（22a,a）处的切线方程为

12.【答案】（I）ax-y-a=0或ax，y，a=0（n）存在（I）由题设可得

M（-22,a）,N（2a,a）.：

yJx,故y—在x=22a处的到数值为a,24

y_a=Ja（x-2Ja），即Pax-y_a=0.故y=—在x=-2勺2a处的到数值为-pa,C在（_2帯2a,a）处的切线方

程为y—a二-a（x2a），即axy0.故所求切线方程为ax-y-a=0或axy0.

（n）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0,b）为复合题意得点，M^,%）,N（x2,y2），直线PM,PN的斜率

分别为k1,k2.将y=kx•a代入C得方程整理得X2-4kx-4a二0.

•••X1X2"kg二-4a.Ak1k^y-by2化2kxx2（a—b）（x1X2）=k（ab）

x1x2X!

冷a

当b=-a时，有k1k2=0，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补,

故/OPM=/OPN，所以P（0,-a）符合题意•

13.【答案】⑴匚+y2=1,M^-m,0）,

（2）存在点Q（0，土J2）

21—n

【解析】（I）由于椭圆6=

&>OiiS点叽ii且离心率为伞

=l,bL=13^=-扩a

a'一A

7=?

八"軌的肓程为壬〜

（II）vAO,1）,号缶,-n）,直线丹的方程淘Iy=-

■/AO,1）,煎堀打，直线刊的方程为；y=£+1,令尸=0,用二尊（上0）;M1一刀1—J7

■4—打

——T+1,直线P弓与玄轴交于点Xi令

1+?

（1）由Ci:

x2=4y知其焦点F的坐标为（0,1），:

F也是椭圆C?

的一焦点,

⑵如图，A（M,yJ，B（X2,y2），。

化小），D^y），

■.*厶OQ英—ZiWj/.tan止QQ賈=tanZiW:

x・16kx-64=0，而x,x2是这个方程的两根,

（9+）jc：

64=Ch而,.r4是这个芳程的两根，丘+斗=—―r，疋花=——聖「r⑤,

9+8^*-g+g"

{9-軌丁9-盼[”加「

/.[9+SA?

）：

=16x9,解需Jt=±迺，即直线』的斜率次土逅.

（：

：

）由=4y得*」=斗…IG在点月处的切线方程为y—比=冷（工一对，即

■■

1=咼玄一生，令S得工=三，即北（¥"），代丙=（弓T），而fS=

ii-l）（于蹇

222

币页7二三一尸-1=艺+1〉。

*因此丄疔x是锐角，从而zj"d=1str-厶t鬥f是钝角.故直丄…4

线r绕点F旋转时，AVFZ）总是钝角三角形，

15.【答案】

（1）详见解析

（2）S=2

【解析】证明:

（1）直线li:

yix-%y=0，点C到li的距离d-

yiX2-为y2

AB|=2QA|=2「x：

+y；，

所以S=2S左申=2汇^|AEd=2x1y2—x2y1

解：

（2）设h：

y二kx，则l2:

yx.设

■--X1,%，CX2,y2.

y二kxx22y2-1

，得x；

12k2

同理x2=

12-1

I2k丿

2k2

2k21

由1,S=2xy-X2%|2

X1X2X2kX1

2k21

2k212k

k12k22k21

整理得S二2.

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