圆锥曲线高考大题.docx

1、圆锥曲线高考大题圆锥曲线1已知椭圆C:9x2 y2 =m2(m .0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A , B，线段AB的中点为M .(I )证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(n)若I过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 I的斜率，若3不能，说明理由.为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于 A, B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线 I和AB于点P, C,若PC=2AB,求直线 AB的方程.(I )求椭圆E的方程；9(n)设直线x=my- 1, (m? R)交椭圆E于A, B两点，判断点G

2、(- ,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系， 并说4明理由.3，左、右焦点分别是 ，以F1错误！未找到引用源。 为圆心以3为半2径的圆与以F2错误！未找到引用源。 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上.(I )求椭圆C的方程；2 2x y(n)设椭圆e：2M2=1 , P错误！未找到引用源。 为椭圆C错误！未找到引用源。 上任意一点，过点 P的直 4a2 4b2线y=kx+m交椭圆E 于A,B两点，射线P0错误！未找到引用源。 交椭圆E于点Q. ( i )求错误！未0P5在线段AB上，满足BM | =2 MA，直线OM的斜率为.10(I)求E的离心率e;(II )设点C的坐标为(0,

3、 -b ), N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为-，求2E的方程.22b 4 - 3x2 +y2 = 截得的线段的长为 c, |FM|=.4 3(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2，求直线OP( O为原点)的斜率的取值范围(1)求椭圆E的方程;若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由10.一种作图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN 上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN =0N =1， MN =3 .当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动 N绕0转动一周

4、(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为 C 以0为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的 平面直角坐标系.(I)求曲线C的方程；(H)设动直线I与两定直线h：x_2y=：0和l2：x2y=：0分别交于P, Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共点，试探究： 0QP的面积是否存在最小值？若存在， 求出该最小值；若不存在，说明理由.2 213.已知椭圆C : x2 y2 =1 a b 0的离心率为a b2x12.在直角坐标系xoy中，曲线C： y=一 与直线y=kx，a(a 0)交与M,N两点,4(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H) y轴上是否存在点 P,使得

5、当k变动时，总有/ OPM = / OPN ?说明理由.22，点P 0, 1和点A m, n m工0都在椭圆C上，直线PA交x轴(I)求椭圆C的方程，并求点 M的坐标(用m , n表示);(H)设 0为原点，点 B与点A关于x轴对称，直线 PB交x轴于点N 问：y轴上是否存在点 Q，使得.OQM =/ONQ ?若存在，求点 Q的坐标；若不存在，说明理由.2 214.已知抛物线 G：x2=：4y的焦点F也是椭圆C2: y2 X2 -1(a b - 0)的一个焦点，G与C?的公共弦的长为2 6.a b(1)求C2的方程；过点F的直线l与G相交于A , B两点，与C2相交于C , D两点，且AC与B

6、D同向(i)若|AC|=|BD |，求直线l的斜率(ii)设G在点A处的切线与x轴的交点为 M，证明：直线I绕点F旋转时， MFD总是钝角三角形2 215.已知椭圆x 2y -1，过原点的两条直线 h和I?分别于椭圆交于 二、m和C、D，记得到的平行四边形 CD的面积为S.(1) 设A (x,% ), C(X2,y2 )，用直、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S = 2 x$1 屜 ；1(2) 设h与I2的斜率之积为，求面积S的值.21.【答案】(I )详见解析；(n)能，4 - 7或4， 7 .【解析】（I ）设直线 l:y=kx b（k=O,b=O）, A（X1,yJ , , M（

7、Xmm）.1- 0予.于是直线曲的斜率也弋=郦砌直线皿硏率与/的斜率的乘积为定值”(II)四边形OAPBl为平行四边形.因为直线/过点(?,册)1所以？不过原点且与C有两个交点的充要条件是盘 0 , k-3.k?n.捋点(2叭的坐标代入直线/的方程得b = 3k,因此工r3 3设直线二的方程为y =k x “，丄Xi，% , B x,y2，将厶三的方程代入椭圆方程，得12k2 x2 -4k2x 2 k2 -1 =0 ,i-从而天kO, 故喜纯 PU的肴程沃1亠+ _z.1 H 亠 A厂 八r 、n 亠 + 2 贝UP点的坐标沁 2,二 .丘1 + 託 * 1 I鼻 - /R 3A- +1 I

8、J1 + P 因沖 PU=：_VB, 所、一,:、 |t| 1 1此时首绫-AB君程沏厘=X- 1或工若k=0，则线段上三的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.3.【答案】(I)x +y =1 ； ( n ) G(- 9,0)在以AB为直径的圆外.4 2 4【解析】解法一：(I )由已知得，则 | AB|= t2 14 2 3 2 1-2t +2t + t + 2，且O到直线AB的距离为d 2，设. AOB的面积为S(t),t2 1 t2 12- S(t) = ；l AB| d1-2（t2 - 2 2乞2，当且仅当t2二1时，等号成立，故 AOB面积的最大值为22 2 22x 25.【答

9、案】(I) 一：计 -1 ; (II)4c 43(i )2 ； (ii) 6(3 . (I)由题意知 2a = 4，则 a=2 ,又-,a2a 2_ c2 = b2 可得b=1 ,所以椭圆C的标准方程为x2 x2 v24八1. （ 11）由（知椭圆E的方程为16 4=1,(i)设 p xo,yo ,OQOP2 2 Xn 2 (-X。) (丸 V。),由题意知Q 因为0 0=1,又 =1 ，即4 16 4J 2 、x+Vo =1 ,所以人=2 ,4 丿即 !OQOP=2 .(ii)设A N, % ,B X2,y2 将y =kx m代入椭圆E的方程,可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2-16=

10、0 由二 0222 8km 4m -161 4k2,可得 m2 : 4 - 16k2 则有 x-! x2 2 ,x1x2 二1+4k2所以为7| = 4山6於号一亦因为直线1 4k2y = kx m与轴交点的坐标为0, m 所以=OAB1s = 2 m x2 -X2 卜2j16k2匚4-m2 m2#(16k2 +4 m2) m21 4k21 4k22 、 m1+4k22m1 4k22人 m令 2- =t1 4k,将y = kx m 代入椭圆 C的方程可得1 - 4k2 x2 8kmx 4m2 - 4 = 0 由厶_ 0可得2 2m -1 4k由可知0：t乞1因此S=2 4-tt=2 -t2 4

11、t ，故S乞2 3当且仅当t = 1m2 =1 4k2时取得最大值2 3由（i）知，AABQ面积为3S，所以 ABQ面积的最大值为6 3 .a y/5b.c J: _护故e - = 丁a 5由题设条件和（I）的计算结果可得,直Z的方程为焉w=b曲詢坐标沟（爭弓）,设点Y关于直线肿的对称点&的坐标次（耳）贝懷段XS的中樣丁册坐标利L-： ；_匕亠厶又* I * 4 融的程为京+計.设直线OP的斜率为m，得m = 丫，即y = mx（x式0），与椭圆方程联立，整理可得 m2 = $x x 32故所求椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)解法一：如图(21)图，设点P(x0,y0)在椭圆上，且 PF

12、丄PF2,则4= PQ = PE I* QE ,有 QFl =4-2 P片PE = PQIQE】PF因此Aa-1 PJ- =7： PF：PF】 =2(2-a/?)7 而 PF: =2a-TJ T * j 一 =7(2-72); + (7：-1); =9-6V? = -jx2 y2 一、9.【答案】(1) 1 ； (2)存在，Q点的坐标为Q(0,2).42【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.2 1彳2 +疋=1,! a b 2 2因此,y2 b2 =c2,解得a =2,b=2.所以椭圆的方程为 +-L=1 .学优高考网_ 4 2c v2 = a 2 ,(2)当直线I与x轴平行时，设直

13、线I与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则|QCL|PCLl，即|QD| |PD|QC|=|QD|.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为点的坐标只可能为Q(0,2).下面证明：对任意的直线1，均有鵠=翳当直线1的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线I的斜率存在时，可设直线I的方程为y = kx + 1, A、B的坐标分别为(x),(X2, y2) -2 2x y ,1 2 2 2 2联立 4 2 ,得(2k2 1)x2 4kx-2 = 0.其判别式厶=16k2 8(2k2 1) 0，所以,y = kx 1x X2 ：k ,X1X2 - 2 .因此 1 1 / x2 =2k.2k2

14、1 2k2 1 x, x2 x,x2易知，点B关于y轴对称的点的坐标为 B x?, y2).x所以咯=咯，目卩2屯用三点共绽故存在与疗同慨点如亠使得备=書恒成立OB10.【答妙-刃_丨和_l氏il1的餌丨1丨丹2 2案】(I)X y =1 ； ( n )存在最小值 8. ( I )设点 D(t, 0) (|tE2),16 4- 2 2(x -t) y =1,=2 2 D =2DN，且 |dN 旧0|=1，所以(t x, y) =2(Xo t, y)，且!K +y2 =1.即 txJxoZt,且迩_2小0. y 2y.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,2 2于是t，2x0，故沟=4

15、,y0 ，代入x0 y0 ，可得：6 4，即所求的曲线C的方程为2 2x y 1.16 4（n） （ 1）当直线I的斜率不存在时，直线I为x = 4或x = 4，都有S闿pq =1汉4汉4 = 8 .（2）当直线I的斜率存在时，、 、 1设直线 l:y=kx m（k =二），I总与椭圆C有且只有一个公共点,即 m2 =16k2 4 .2 2 2(1 4k )x 8kmx 4m _16 =0.因为直线2 2 2 2所以.：-64k m -4(1 4k )(4m 16) =0, y = kx m, 2m又由 可得P(lx _2y =0, 1 _2km1 _2k)同理可得ifk）.由原点O到直线PQ

16、的距离为黑和| PQ |= 1 k2 |Xp -Xq I，可得当打钗詁时,兀“ =S(il) = 8(-l二f 1-4A- 1-4丁K0.r 1 - 5JiJOl-4.r b 所SA.-4 1-4 1-4L当且仅当彳=0时取等号.所以当上=0时，5二珥的最小11为&综合（1） C2）可知，当直线i与衙圆C在四个顶点处相切时，AOPOffi面积取得最小值&2 211.【答案】（I） ；（ II） x y 1. （I）过点c,0 , 0,b的直线方程为bx + cy-bc二0,学优高考网2 12 3则原点O到直线的距离d = rb=r =，由d = c，得a = 2b = 2/a2 - c2，解得

17、离心率二3 .lb2 +c2 a 2 a 2（II）解法一：由（I）知，椭圆；：的方程为x2+4y2 =4b2. （1）依题意，圆心划-2,1是线段丄3的中点，且|AB |= 10 .易知，比 不与x轴垂直，设其直线方程为 y=k（x + 2）+1，代入（1）得(1 + 4k2)x2 +8k(2k+1)x + 4(2k+1)2- 4b2 =0设 A(x1,y1),B(x2,y2),贝U2 28k(2k+1) 4(2k+1) - 4b , , 8k(2k+1) 曰，1X| +x2 = 2, x1x2 = 2 .由 x-! +x2 = -4，得 2 = -4,解得 k =-1+4k2 1+4k2

18、1+4k2 2 2 2由|AB |= 10，得10(b2- 2) = 10，解得b2 = 3.故椭圆上的方程为x + y =112 3M (2 a, a) , N(-2 2, a)，或C在(2 2 a, a)处的切线方程为12.【答案】(I) ax-y-a=0或 ax，y，a=0 (n)存在(I)由题设可得/ 21M ( -2 2, a) , N(2 a,a).：yJ x,故 y 在 x=2 2a 处的到数值为 a , 2 42y _a = Ja(x-2 Ja)，即Pax-y_a=0.故y = 在x=-2勺2a处的到数值为-pa , C在(_2帯2a,a)处的切线方4程为y a二-a(x 2

19、a)，即 ax y 0.故所求切线方程为 ax-y-a=0或 ax y 0 .(n)存在符合题意的点，证明如下：设 P (0, b)为复合题意得点， M,%), N(x2, y2)，直线PM , PN的斜率分别为k1,k2 .将 y = kx a代入C得方程整理得X2 -4kx -4a二0. X1 X2 kg 二-4a. A k1 ky-b y2 化 2kxx2 (ab)(x1 X2)= k(a b)x1 x2 X!冷 a当b = -a时，有k1 k2=0，则直线pm的倾斜角与直线 pn的倾斜角互补,故/ OPM= / OPN，所以P(0, -a)符合题意213.【答案】 匚 + y2 = 1

20、,M-m ,0) ,(2)存在点 Q (0，土 J2)2 1 n【解析】（I ）由于椭圆6 =OiiS点叽ii且离心率为伞= l,bL =13 =- 扩 aa 一 Aa7 = ?八軌的肓程为壬（II） v AO, 1）,号缶,-n）,直线丹的方程淘I y =-/ AO, 1）,煎堀打，直线刊的方程为；y = + 1,令尸=0,用二尊（上0）; M 1 一刀 1 J74打 T + 1 ,直线P弓与玄轴交于点Xi令y-m1 + ?（1）由Ci : x2 =4y知其焦点F的坐标为（0,1），: F也是椭圆C?的一焦点, 如图，A（M,yJ，B（X2,y2），。化小），Dy），.* 厶OQ英ZiWj

21、/. tan 止QQ賈=tan ZiW :2x16kx -64 =0，而x , x2是这个方程的两根,（9 + ）jc： 64 = Ch而, .r4是这个芳程的两根，丘+斗=r，疋花=聖r,9+8* - g+g将带入，得16宀】） = 心 p+ 丽16仇二+ 】）=】&，咒十：D ,9-軌丁 9-盼 ”加/. 9 + SA?:）： = 16x9,解需Jt = 迺，即直线的斜率次土逅.4 4（：）由=4y得*=斗IG在点月处的切线方程为y 比=冷（工一对，即 1=咼玄一生，令S 得工=三，即北（），代丙=（弓T），而fS = vL：ii-l）（于蹇2 2 2币 页7二三一尸-1 =艺+1。*因此

22、丄疔x是锐角，从而zjd = 1 str-厶t鬥f是钝角.故直 丄 4线r绕点F旋转时，AVFZ）总是钝角三角形，15.【答案】（1）详见解析（2） S = 2【解析】证明:(1)直线li: yix -% y =0，点C到li的距离d -yiX2 -为y2AB| =2QA| =2x： +y；，1所以 S =2S左申=2 汇|AE d = 2 x1 y2x2y11解：(2)设 h ： y 二 kx，则 l2: y x.设2k- X1,% ，C X2,y2 .y 二 kx x2 2y2 -1，得x；11 2k2同理x2 =1 2 - 1I 2k丿2k22k2 1由 1 , S =2 xy -X2%| 2X1 X2 X2 kX12k2k2 1k2k2 1 2kk 1 2k2 2k2 1整理得S二2.