带电粒子在磁场复合场中得运动.docx

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带电粒子在磁场复合场中得运动

带电粒子在复合场中运动

【例】如图所示，在虚线左右两侧均有磁感应强度相同的垂直纸面向外的匀强磁场和场强大小相等方向不同的匀强电场，虚线左侧电场方向水平向右，虚线右侧电场方向竖直向上。

左侧电场中有一根足够长的固定绝缘细杆MN，N端位于两电场的交界线上。

a、b是两个质量相同的小环（环的半径略大于杆的半径），a环带电，b环不带电，b环套在杆上的N端且处于静止，将a环套在杆上的M端由静止释放，a环先加速后匀速运动到N端，a环与b环在N端碰撞并粘在一起，随即进入右侧场区做半径为r=0.10m的匀速圆周运动，然后两环由虚线上的P点

进入左侧场区。

已知a环与细杆MN的动摩擦因数μ=0.20，取g=10m/s2。

求：

（1）P点的位置；

（2）a环在杆上运动的最大速率。

【例】如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，水平轨道AB和斜面BC均光滑且绝缘，AB和BC的长度均为L，斜面BC与水平地面间的夹角θ=600ׁ，有一质量为m、电量为+q的带电小球（可看成质点）被放在A点。

已知在第一象限分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小

，磁场为水平方向（图中垂直纸面向外），磁感应强度大小为B；在第二象限分布着沿x轴正向的水平匀强电场，场强大小

。

现将放在A点的带电小球由静止释放（运动过程中小球所带的电量不变），则

（1）小球到B点的速度大小？

（2）从A点开始，小球需经多少时间才能落到地面？

【例】如图所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度B1=0.40T，方向垂直纸面向里，电场强度E=2.0×105V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2=0.25T，磁场边界AO和y轴的夹角∠AOy=45°．一束带电量q=8.0×10-19C的同位素正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0，0.2m）的Q点垂直y轴射入磁场区，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在45°~90°之间，不计离子重力，求：

（1）离子运动的速度为多大？

（2）x轴上被离子打中的区间范围？

（3）离子从Q运动到x轴的最长时间？

（4）若只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B2´应满足什么条件？

【例】如图所示，两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R..以O为圆心、R为半径的圆形区域内同时存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场.D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直

M、N板。

质量为m、电荷量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入电磁场区域，然后沿直线打到光屏P上的s3点.粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计.求：

（1）M、N两板间的电压为R；

（2）撤去圆形区域内的电场后，当M、N间的电压改为U1时，粒子恰好垂直打在收集板D的中点上，求电压U1的值及粒子在磁场中的运动时间t；

（3）撤去圆形区域内的电场后，改变M、N间的电压时，粒子从s2运动到D板经历的时间t会不同，求t的最小值。

【例】如图所示，在一底边长为2L，θ＝45°的等腰三角形区域内（O为底边中点）有垂直纸面向外的匀强磁场.现有一质量为m，电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从O点垂直于AB进入磁场，不计重力与空气阻力的影响.

（1）粒子经电场加速射入磁场时的速度？

（2）磁感应强度B为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板？

（3）增加磁感应强度的大小，可以再延长粒子在磁场中的运动时间，求粒子在磁场中运动的极限时间.（不计粒子与AB板碰撞的作用时间，设粒子与AB板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹）

【例】如图所示，一质量为m、电荷量为q、重力不计的微粒，从倾斜放置的平行电容器I的A板处由静止释放，A、B间电压为U1。

微粒经加速后，从D板左边缘进入一水平放置的平行板电容器II，由C板右边缘且平行于极板方向射出，已知电容器II的板长为板间距离的2倍。

电容器右侧竖直面MN与PQ之间的足够大空间中存在着水平向右的匀强磁场（图中未画出），MN与PQ之间的距离为L，磁感应强度大小为B。

在微粒的运动路径上有一厚度不计的窄塑料板（垂直纸面方向的宽度很小），斜放在MN与PQ之间，

=45°。

求：

（1）微粒从电容器I加速后的速度大小；

（2）电容器IICD间的电压；

（3）假设粒子与塑料板碰撞后，电量和速度大小不变、方向变化遵循光的反射定律，碰撞时间极短忽略不计，

微粒在MN与PQ之间运动的时间和路程。

【例】如图所示，带电平行金属板PQ和MN之间的距离为d；两板之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

如图建立坐标系，x轴平行于金属板，与金属板中心线重合，y轴垂直于金属板。

区域I的左边界为y轴，右边界与区域II的左边界重合，且与y轴平行；区域II的左、右边界平行。

在区域I和区域II内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B，区域I内的磁场垂直于Oxy平面向外，区域II内的磁场垂直于Oxy平面向里。

一电子沿着x轴正向以速度v0射入平行板之间，在平行板间恰好沿着x轴正向做直线运动，并先后通过区域I和II。

已知电子电量为e，质量为m，区域I和区域II沿x轴方向宽度均为

。

不计电子重力。

（1）求两金属板之间电势差U；

（2）求电子从区域II右边界射出时，射出点的纵坐标y；

（3）撤除区域I中的磁场而在其中加上沿x轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域II的右边界飞出。

求电子两次经过y轴的时间间隔t。

【例】如图所示,xoy为空间直角坐标系，PQ与y轴正方向成θ=30°角。

在第四象限和第一象限的xoQ区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，在Poy区域存在足够大的匀强电场，电场方向与PQ平行，一个带电荷量为+q，质量为m的带电粒子从-y轴上的A（0,-L）点，平行于x轴方向射入匀强磁场，离开磁场时速度方向恰与PQ垂直，粒子在匀强电场中经时间

后再次经过x轴,粒子重力忽略不计。

求：

（1）从粒子开始进入磁场到刚进入电场的时间

；

（2）匀强电场的电场强度E的大小。

【例】如图甲所示，在真空中，有一半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距为R，板长为2R，板间的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子以速度v0从圆周上的a点沿垂直于半径OO1并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点水平飞出磁场时，给M、N两板加上如图乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板的边缘飞出．（不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计），求：

（1）磁场的磁感应强度B；

（2）求交变电压的周期T和电压U0的值；

（3）当t＝

时，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速度v0射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到a点的距离。

【例】如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场；在y≥0的区域内还存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

半径为R的光滑绝缘空心半圆细管ADO固定在竖直平面内，半圆管的一半处于电场中，圆心O1为MN的中点，直径AO垂直于水平虚线MN。

一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）从半圆管的A点由静止滑入管内，从O点穿出后恰好通过O点正下方的C点。

已知重力加速度为g，电场强度的大小

。

求：

⑴小球到达O点时，半圆管对它作用力的大小；

⑵矩形区域MNPQ的高度H和宽度L应满足的条件；

⑶从O点开始计时，经过多长时间小球的动能最小？

【例】扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。

其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距为L,磁场方向相反且垂直干扰面。

一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U,粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角

（1）当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30o，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0

（2）若Ⅱ区宽度L2=L1=L磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h

（3）若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件

【例】如图甲所示，两块相同的平行金属板M、N正对着放置，相距为

，板M、N上的小孔s1、s2与O三点共线，s2O=R，连线s1O垂直于板M、N。

以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。

收集屏PQ上各点到O点的距离都为2R，两端点P、Q关于连线s1O对称，屏PQ所对的圆心角θ=120°。

质量为m、电荷量为e的质子连续不断地经s1进入M、N间的电场，接着通过s2进入磁场。

质子重力及质子间的相互作用均不计，质子在s1处的速度看作零。

⑴若M、N间的电压UMN=+U时，求质子进入磁场时速度的大小

。

⑵若M、N间接入如图乙所示的随时间t变化的电压

（式中

，周期T已知），且在质子通过板间电场区域的极短时间内板间电场视

为恒定，则质子在哪些时刻自s1处进入板间，穿出磁场后均能打到收集屏PQ上？

⑶在上述⑵问的情形下，当M、N间的电压不同时，质子从s1处到打在收集屏PQ上经历的时间t会不同，求t的最大值。

【例】如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l1=0.1m和l2=0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B2=0.1T，B1随时间变化的图象如图乙所示。

现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v=2×106m/s不断沿y轴正方向射入磁场，已知带电粒子的电量q=-2×10-8C，质量m=4×10-16kg,不考虑磁场变化产生的电场及带电粒子的重力。

求：

（1）在图乙中0～1s内，哪段时间从O发射的粒子能进入磁感应强度B2的磁场？

（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是多少？

（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是多少？

【例】如图所示，在xoy坐标系中分布着四个有界场区，在第三象限的AC左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B1=0.5T，AC是直线y=－x－0.425（单位：

m）。

在第三象限的部分，另一沿y轴负向的匀强电场左下边界也为线段AC的一部分，右边界为y轴，上边界是满足y=－10x2－x－0.025（单位：

m）的抛物线的一部分，电场强度E=2.5N/C。

在第二象限有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B2=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为D、F，在第一象限的整个空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B3=1T，另有一厚度不计的挡板PQ垂直纸面放置，其下端坐标P（0.1m,0.1m），上端Q在y轴上，且

∠PQF=30°现有大量m=1×10-6kg，q=－2×10-4C的粒子（重力不计）同时从A点沿x轴负向以v0射入，且v0取0

并假设任一速度的粒子数占入射粒子总数的比例相同。

（1）求所有粒子从第三象限穿越x轴时的速度；

（2）设从A点发出的粒子总数为N，求最终打在挡板PQ右侧的粒子数N

【例】如图的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成．以水平线MN和PQ为界，空间分为三个区域，区域Ⅰ和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，区域Ⅰ和Ⅱ有竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0<μ<1），而轨道的圆弧形部分均光滑．将小环在较长的直轨道CD下端的C点无初速释放（已知区域Ⅰ和Ⅱ的匀强电场场强大小为

，重力加速度为g），求：

（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小；

（2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力？

（3）若从C点释放小环的同时，在区域Ⅱ再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为

，

则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？

【例】为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：

水平线QC以下是水平向左的匀强电场，区域I（梯形PQCD）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；区域II（三角形APD）内的磁场方向与I内相同，但是大小可以不同，区域Ⅲ（虚线PD之上、三角形APD以外）的磁场与Ⅱ内大小相等、方向相反。

已知等边三角形AQC的边长为2L，P、D分别为AQ、AC的中点。

带正电的粒子从Q点正下方、距离Q点为L的0点以某一速度射出：

在电场力作用下从QC边中点N，以速度V0垂直QC射入区域Ⅰ，再从P点垂直AQ射入区域Ⅲ，又经历一系列运动后返回O点。

（粒子重力忽略不计）求：

（1）该粒子的比荷；

（2）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间。

【例】如图所示，磁感应强度为B的条形匀强磁场区域的宽度都是d1，相邻磁场区域的间距均为d2，x轴的正上方有一电场强度大小为E，方向与x轴和B均垂直的匀强电场区域，将质量为m、带正电量为q的粒子（重力忽略不计）从y轴上坐标为h处由静止释放。

求：

（1）粒子在磁场区域做匀速圆周运动的轨道半径。

（2）若粒子经磁场区域I、II后回到x轴，则粒子从开始释放经磁场后第一次回到x轴需要的时间和位置坐标。

（3）若粒子从y轴上坐标为H处以初速度v0沿x轴正方向水平射出，此后运动中最远能到达第k个磁场区域的

下边缘，并再次返回到x轴，求d1、d2的值。

【例】电子感应加速器工作原理如图所示（上图为侧视图、下图为真空室的俯视图）它主要有上、下电磁铁磁极和环形真空室组成。

当电磁铁绕组通以交变电流时,产生交变磁场，穿过真空盒所包围的区域内的磁通量也随时间变化，这时真空盒空间内就产生感应涡旋电场。

电子将在涡旋电场作用下得到加速。

（1）设被加速的电子被“约束”在半径为

的圆周上运动，整个圆面区域内的平均磁感应强度为

，求电子所在圆周上的感生电场场强的大小与

的变化率满足什么关系。

（2）给电磁铁通入交变电流，一个周期内电子能被加速几次？

（3）在

（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，电子轨道处的磁场

应满足什么关系？

【例】如图所示，一U形绝缘导轨竖直放置，处在水平向右的匀强电场中，左边的半圆弧与水平杆ab、cd相切与a、c两点，两水平杆的高度差为h，杆长为4L，O为ad、bc连线的交点，虚线MN、M´N´的位置如图所示，其中aM=MM´=cN=NN´=L，M´b=N´d=2L，一质量为m电量为-q的小球穿在杆上，虚线MN左边的导轨光滑，虚线MN右边的导轨与小球之间的动摩擦因数为μ，已知在O处没有固定点电荷+Q的时候，将带电小球自N点由静止释放后，小球刚好能到a点，现在O处固定点电荷+Q，并将带电小球自d点以初速度v0向左瞬间推出，结果小球可沿杆运动到b点（静电力常量为k，重力加速度为g）求：

⑴匀强电场的电场强度E；

⑵运动过程中小球所受摩擦力的最大值fm和小球经过M´点时的加速度大小a；

⑶使小球能够运动到b点的初速度v0的最小值。

【例】在题图1所示的装置中，粒子源A产生的初速为零、比荷为

的正离子沿轴线进入一系列共轴且长度依次增加的金属圆筒，奇数和偶数筒分别连接在周期为T、最大值为U0的矩形波电源两端，电源波形如题25图2所示，离子在每个圆筒内做匀速直线运动的时间等于交变电源的半个周期，在相邻两筒之间受电场力作用被加速（加速时间不计）.离子离开最后一个圆筒后垂直于边OE进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后从OF边出射.（不计离子所受重力）

（1）求离子在第一个金属筒内的速率.

（2）求离子在第n个筒内的速率及第n个筒的长度.

（3）若有N个金属筒，求离子在磁场中做圆周运动的半径.

（4）若比荷为

的离子垂直于OF边出射，要使比荷为

的离子也能垂直于OF边出射，求电源电压最

大值的改变量

以及磁感应强度的改变量

.

【例】有一等腰直角三角形区域，直角边长为

。

在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为

的匀强磁场。

一束质量为

、电荷量为

，速度范围在

之间的带负电粒子从中点

垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图所示。

重力不计，求

（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑。

（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系。

（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系。

（4）荧光屏上光斑的分布区域。

【例】据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，   由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内。

现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为R1=a，外半径为R2=

a，环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B0，被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内有质量为m，电量为q的带电粒子，若带电粒子由反应区沿各个不同方向射人磁场区域，不计带电粒子重力和在运动过程中的相互作用，则

（1）要求所有带电粒子均不能穿越磁场外边界，允许带电粒子速度的最大值v。

多大?

（2）若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半径方向垂直射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t。

【例】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。

折线的顶角∠A＝90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L。

现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。

求：

（1）若在P、Q间加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？

（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求

初速度v应满足什么条件？

（3）求第

（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间。

【例】如图甲所示，竖直挡板MN的左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度的大小

，磁感应强度的大小B随时间

变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向，在

时刻，一质量

，带电荷

的微粒在O点具有竖直向下的速度

是挡板MN上一点，直线

与挡板MN垂直，取

。

求：

（1）微粒下一次经过直线

时到O点的距离。

（2）微粒在运动过程中离开直线

的最大距离。

（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间距离应满足的条件。

【例】如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个方向相下方的电场界匀强电场，其中PT上方的电场E1竖直向下，下方的电场E0竖直向上，PQ上连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子，依次以相同的初速度v0。

垂直射入E0中，PQ＝L。

若从Q点射入的粒子恰从M点水平射出，其轨迹如图，MT＝

。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

试求：

（1）E0与E1的大小；

（2）若从M点射出的粒子恰从中点S孔垂直射入边长为a的正方形容器中，容器中存在如　　图所示的匀强磁场，已知粒子运动的半径小于a。

欲使粒子与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出（粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失），求磁感应强度B应满足的条件？

（3）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能从CD边水平射出，这些入射点到P点的距离应满足的条件？

【例】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。

折线的顶角∠A＝90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L。

现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。

（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？

（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？

（3）求第

（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间。

【例】在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为450且斜向上方.现有一质量为m电量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为450.不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大.求：

（1）C点的坐标；

（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；                        

（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角。