概率大题题型总结高三精华.docx
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概率大题题型总结高三精华
高考统计与概率理科大题类型总结
3、（2012湖南卷）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该
读表类型
1、（2012湖北卷）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：
mm对工期的影响如下
表：
降水量X
X<300
300兰X£700
700兰X£900
X臭900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量
X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：
（1）工期延误天数丫的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.
超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%
（1）确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算
前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：
将频率视为概率）
2、（2012陕西卷）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望
4、（2012咼考真题北京理17）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
5、（2013年咼考北京卷）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于
100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
2
其中a>0，abc=600。
当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证
明），并求此时s2的值。
（I）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（n）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（山）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
（结论不要求证明）
1
（注：
s2［（^-x）2（x2-X）2出…卷（Xn-X）2］，其中x为数据X1，X2，…，Xn的平均
n
数）
独立重复试验一一二项分布
1、（2012天津卷）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷岀点数为1或2
的人去参加甲游戏，掷岀点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记©=|X—Y，求随机变量匕的分布
列与数学期望E■.
2、（2012四川卷）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B
1
在任意时刻发生故障的概率分别为和P。
10
49
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求P的值；
50
（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量•，求的概率分布列及
数学期望E。
3、（2013-福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲.乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
4、（2009北京卷理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立
1
的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
3
（i）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（H）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间'的分布列及期望
22
中将可以获得2分;方案乙的中奖率为，中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只
35
有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，Y，求X<3的
概率；
（2）若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：
他们选择何种方案抽奖，累计的得
分的数学期望较大？
5、（2010全国卷1理数18）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用•设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评
审。
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望.
超几何分布
1、（2012.浙江卷））已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：
取出一个白球的2分，取出一
个黑球的1分•现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和.
（1）求X的分布列；
（2）求X的数学期望EX•
6、在一次知识竞赛初选活动中，共有AB两组题目，其中A组题共有甲乙丙3个题目，B组题只有1个题目，每位选手都要先从A组题目中等可能地选择2个题目进行回答，再回答B组的1个题目，3个题目均回答正确者才能进入复选，若每位选手在回答A组题目时，正确回答甲乙两题的
32Q
概率为三，正确回答丙题的概率为；B组题目回答正确的概率为，且每位选手回答每个题
4325
目时互相独立。
（1）在回答A组题目时，已知某选手选到其中一个题目为甲题，求选手选到另一题为乙题的概率
P。
（2）若有3位选手进行初选，记进入复选的人数为X，求X的分布列及期望。
2、（2009四川卷理）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。
某旅游
3
公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。
4
12
在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰
33
有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量■，求的分布列及数学期望E。
3、（2011年江西16）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。
公
司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料,
公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。
若4杯都选对，则月工资定位3500
2、（2008-北京-17）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B,C，D四个不同的岁位服务,
每上岗位至少有一名志愿者.
（I）
（n）
（山）
求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
设随机变量E为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求E的分布列
元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮
料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。
（1）求X的分布列;
（2）求此员工月工资的期望。
X
排列组合类型
1、（重庆2010-17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6）,求：
（I）甲、乙两单位的演岀序号至少有一个为奇数的概率；
2012
江西卷）如图，从A（1,0,0），A（2,0,0）,B1（0,2,0）,B（0,2,0），
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数'的分布列与期望。
G（0,0,1）
，C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一
记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时
个“立体”，
"立体”的体积V=0）。
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望。
.游戏规则为：
以O为
4、1（2013西卷）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队
起点，再从A,,A2,A3,A4,A5,As,A7,A8,（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个
向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
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相互独立事件同时发生
1、（2012重庆卷）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球。
约定甲先投且先投中者获胜，一直到有
1
人获胜或每人都已投球3次时投篮结束。
设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率
3
1
为丄，且各次投篮互不影响。
2
（1）求甲获胜的概率
（2）求投篮结束时甲的投球次数'的分布列与期望
5、（2008年北京17）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岁位服务,
每上岗位至少有一名志愿者.
（I）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（H）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（山）设随机变量E为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求E的分布列.
2、（育才月考）某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分
4、（2012高考真题重庆理17）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,
的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，依此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中
一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖。
一位顾客一次
直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为」，乙每次投篮投中的
3
购物消费298元
（I）求该顾客中一等奖的概率;
（n）记.为该顾客所得的奖金数，求其分布列及数学期望E
1
概率为一，且各次投篮互不影响.
2
（I）求甲获胜的概率；
（n）求投篮结束时甲的投篮次数'的分布列与期望
3、有A、BC三所高校举行自主招生考试，已知某同学通过高校
且彼此之间相互独立
（1）如果该同学三所高校的考试都参加，求恰有2所通过的概率;
AB、C考试的概率分别为-、
4
（2）假设该同学按A、B、C的顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的
5、（2011山东18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为o.6,o.5,o.5，假设各盘比赛结果相互独立.
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（n）用'表示红队队员获胜的总盘数，求'的分布列和数学期望E.
考试，求该同学参加考试的次数的分布列及数学期望E
（山）'表示Ti,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数，求'的期望.
1
时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为-各局比赛的结果相互独立，第
2，
局甲当裁判.
⑴求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.
计数原理一一分类与分步
1、（2009浙江卷理）在1,2,3，"|，9这9个自然数中，任取3个数.
（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
（II）设■为这3个数中两数相邻的组数（例如：
若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数
1,2和2,3，此时匕的值是2）.求随机变量匚的分布列及其数学期望E：
.
3、（2012高考真题安徽理17）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。
试题库中现共有n•m道试题，其中有n道A
类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量。
（I）求x=n•2的概率；
（u）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）。
2、（2010全国卷2理数20）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T。
，电流能通过「，T2，壬的概
率都是p,电流能通过的概率是0.9•电流能否通过各元件相互独立•已知T1,T2，T3中至少有
（I）求p；
一个能通过电流的概率为0.999.
4、（2013新课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4件作检验，这
4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则
这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过
检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质
品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验
所需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望.
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