第五章一次函数.docx

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第五章一次函数

第五章一次函数

５．１　函数

（1）

[教学目标]

1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．

2．通过实例，了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例．

3．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．

4．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

情境一：

在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念。

如果学生没有乘坐火车的经历，可改用汽车或创设其他类似情境．

情境二：

分别用表格、关系式和语言等方式给出不同的实际问题，让学生从这些情境中，发现在各种变化过程中，往往存在着两个相互联系的变量，从而引入函数的概念．

2．探索活动

活动一：

展示一幅列车行驶或车厢内的图片．用下列问题引导学生加入小明、小丽、小亮和小华的讨论，感受常量与变量的意义：

（1）列车在行驶，位置在改变，因此与位置有关的数量在改变，这里有不变的数量吗?

（2）除了小丽、小明所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗?

（3）除了小亮、小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗?

活动二：

可以用下列问题引导学生展开活动，体会函数的意义：

（1）你从水库工作人员制作的表格里获得哪些信息?

水位高低与水库容量有什么关系?

（2）小鱼的条数n与所需火柴棒的根数S的关系为S＝8＋6（n—1），说说你从中获得的信息；

（3）变化中的圆面积与半径的大小密切相关，你能大致描述它们之间的关系吗?

（4）上述问题有共同之处吗?

说说你的看法．

５．１　函数

[教学目标]

1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．

2．通过实例，了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例．

3．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．

4．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

情境一：

在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念。

如果学生没有乘坐火车的经历，可改用汽车或创设其他类似情境．

情境二：

分别用表格、关系式和语言等方式给出不同的实际问题，让学生从这些情境中，发现在各种变化过程中，往往存在着两个相互联系的变量，从而引入函数的概念．

2．探索活动

活动一：

展示一幅列车行驶或车厢内的图片．用下列问题引导学生加入小明、小丽、小亮和小华的讨论，感受常量与变量的意义：

（1）列车在行驶，位置在改变，因此与位置有关的数量在改变，这里有不变的数量吗?

（2）除了小丽、小明所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗?

（3）除了小亮、小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗?

活动二：

可以用下列问题引导学生展开活动，体会函数的意义：

（1）你从水库工作人员制作的表格里获得哪些信息?

水位高低与水库容量有什么关系?

（2）小鱼的条数n与所需火柴棒的根数S的关系为S＝8＋6（n—1），说说你从中获得的信息；

（3）变化中的圆面积与半径的大小密切相关，你能大致描述它们之间的关系吗?

（4）上述问题有共同之处吗?

说说你的看法．

５．２　一次函数

[教学目标]

1．能用适当的表示法刻画实际问题中的函数关系．

2．能结合具体情境理解一次函数和正比例函数的意义．

3．能根据已知条件确定一次函数关系式．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

通过研究加油收费和估计加油过程中油箱里的油量的问题，引入正比例函数和一次函数的表达形式．

出示一份当地电信部门的宣传材料，通过对电信收费问题的探索，再次出现一次函数的表达形式，从而发现生活中存在一类可以表示为y=kx+b（k≠0）的函数．

除上述情境外，教学时还可以根据学生的具体情况另设情境，也可以让学生先回顾函数的概念，然后列举函数的实例，引导学生将列举出来的函数进行分类，归纳出一次函数．

2．探索活动

通过问题引导学生活动，例如：

问题1

（1）你见过汽车在加油站里的情境吗?

加油后，付多少款与什么有关?

你会算吗?

（2）在加油过程中，流入油箱的油量与什么有关?

你能随时说出油箱中的油量吗?

（3）你会估算大约需要多少时间才能把油箱加满吗?

问题2

（1）你家有电话吗?

计算电话费与什么有关?

（2）应交话费是通话时间的函数吗?

你能写出这个函数关系式吗?

（3）电话交费问题中的函数关系式与加油问题中的函数关系式的有共同之处吗?

（4）你还能说出一些具有这种特点的函数关系的实际例子吗?

５．２　一次函数

（2）

[教学目标]

1．能用适当的表示法刻画实际问题中的函数关系．

2．能结合具体情境理解一次函数和正比例函数的意义．

3．能根据已知条件确定一次函数关系式．

[教学过程（第二课时）]

]．情境创设

展示—盘蚊香，让学生测算蚊香的长度，然后根据说明书上的说明，告诉学生该盘蚊香可以连续使用多少时间，让：

学生算出该蚊香平均每小时缩短多长．—方面帮助学生理解例1题意，另一方面让学生感受学生如何从现实生活问题中提炼数学问题．

展示一根弹簧（如自行车上用的旧弹簧等），让一名学生用—定的力量将它逐渐拉伸，感受弹簧的长度随着拉力的增大而增大、拉力消失弹簧即恢复原状；让另—名学生持续用力拉伸弹簧，直至弹簧不能恢复原状，感受弹簧的弹性范围有一定的限度．帮助学生理解例2题意．

2．例题教学

例1先分析问题中的变量及变量间的关系，将用语言描述的函数关系表示为一次函数，然后根据函数值，求与之对应的自变量的值．

例2是一道与“章头活动”相呼应、探索弹簧长度与力的大小关系的问题，是一次函数的一个物理模型．要求通过实验及记录的数据确定一次函数的解析式，求解过程示范了待定系数法的应用．

５．３　一次函数的图象

[教学目标]

1．知道一次函数的图象是一条直线．

2．会选取两个适当的点画一次函数的图象．

3．能根据一次函数的图象和函数关系式，探索并理解一次函数的性质．

4．进一步理解正比例函数与一次函数的关系．

此外，通过画函数图象，培养学生的画图技能；通过由图象揭示函数的性质的探索活动，培养学生观察、比较、抽象和概括能力，培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力，培养学生的应用意识和创新意识．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

点燃一枝香，感受它的长度随着燃烧时间的变化而变化，帮助学生理解课本图片提供的信息，然后让学生观察课本上的图片，探索一次函数的图象．

2．探索活动

观察图片，按下列问题展开探索活动，例如：

（1）图中共有几枝香?

（2）图片怎样表示时间的变化?

（时钟指示；移动香的位置，如每隔5min移动1次．）

（3）这枝香点燃5min后缩短了多少?

10min呢?

请将你的观察结果填在书中的表格内．

（4）用y（cm）表示香的长度、x（min）表示香燃烧的时间，你能写出y与x之间的函数关系式吗?

（5）依次连接图片中香的顶端，你有什么发现?

（6）你能用平面直角坐标系，将图片所揭示的信息及你的发现告诉大家吗?

通过探索活动，帮助学生深入理解图片隐含的丰富内容，引导学生学会用运动变化的观点观察分析静态的图片，让静态的图片“动”起来．例如，将同一枝香同时显示在不同位置，表示随着时间的流逝香的长度在缩短，直观感受一次函数的图象是一条直线，为学生最终通过创造性的思维活动，用平面直角坐标系将实际问题数学化作好铺垫．

3．画图教学

一次函数的图象是什么?

怎样画一次函数的图象?

课本通过一个具体的一次函数，讲解画函数图象的基本方法：

列表、描点、连线．为让学生理解这个重要画图方法的基本思想和操作过程，教学时要先让学生回顾什么是函数图象?

函数图象由哪些点组成?

这些点的横坐标如何确定?

纵坐标如何确定?

在此基础上，要让学生明确：

（1）如何“列表”?

表中x的值如何选取?

表中丁的值如何确定?

（2）怎样“描点”?

描多少个点?

点的坐标如何确定?

（3）为什么要“连线”?

怎样连线?

在学会和理解画函数图象的基本方法后，要让学生自己动手练习，并进行交流．这样做的目的一是为了让学生掌握画图象的基本方法与技能；二是让学生再次感知一次函数的图象是一条直线．在此基础上给出一般性结论，并根据一次函数特征得到画一次函数的简便方法．教学时不要省略学生自己画图象这一环节，过早揭示画一次函数的简便画法，这样将影响学生对函数图象画法的认识，不利于今后学习反比例函数、二次函数及其他函数图象画法的教学．

用两点法画一次函数图象时，要通过讨论让学生明确通常选取哪两点比较方便．这里课本中的例题做了示范。

教学时可以增加一道画正比例函数图象的例题或练习题，让学生感知正比例函数图象的特征及画图的简便方法．

５．３　一次函数的图象

（2）

[教学目标]

1．知道一次函数的图象是一条直线．

2．会选取两个适当的点画一次函数的图象．

3．能根据一次函数的图象和函数关系式，探索并理解一次函数的性质．

4．进一步理解正比例函数与一次函数的关系．

此外，通过画函数图象，培养学生的画图技能；通过由图象揭示函数的性质的探索活动，培养学生观察、比较、抽象和概括能力，培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力，培养学生的应用意识和创新意识．

[教学过程（第二课时）]

1．情境创设

以山的图片为情境，将上山、下山的道路与一次函数的图象特征相联系，帮助学生从“形”上领会函数图象上升与下降的意义．

2．探索活动

探索活动一：

探索一次函数关系式中k的值对一次函数图象的影响．

（1）观察图5—12和图5—13，你同意小丽和小明的说法吗?

（2）你能补充两个例子支持或反驳小丽和小明的说法吗?

（3）函数图象上升时，随着自变量值的增大，函数值会发生怎样的变化?

（4）函数图象下降时，随着自变量值的增大，函数值会发生怎样的变化?

通过探索活动，明确一次函数的性质．

探索活动二：

探索一次函数关系式中6的值对一次函数图象的影响．

（1）从数量关系上看，对于同一个自变量的值：

一次函数y=2x+3的值与正比例函数y=2x的值有什么差异?

一次函数=2x—3的值与正比例函数y=2x的值有什么差异?

（2）从位置关系上看，一次函数y=2x+3的图象与正比例函数y=2x的图象有什么关系?

一次函数y=2x-3的图象与正比例函数y=2x的图象有什么关系?

（3）如果要画一次函数y=2x+3的图象，你打算怎样做?

（4）你能利用函数y=2x+3的图像画出函数y=2x-3的图象吗?

反过来呢?

通过探索活动，进一步明确正比例函数与一次函数的关系．

５．４　一次函数的应用

（1）

[教学目标]

1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式．

2．能将简单的实际问题转化为数学问题（建立．一次函数），从而解决实际问题．

3．在应用—一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性．

此外，通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，发展解决问题的能力，增强应用意识和创新意识．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

汽车在高速公路上匀速行驶，此前它已在普通公路上行驶了一段路程，由于路面复杂，行驶速度多变，所以我们在研究汽车的行程与速度、时间的关系时，不考虑这段行程与行驶时间的关系，而是将这段距离看作一个常数，把问题简化为，汽车在高速公路上行驶的时间越长，车内里程表上记录的里程数就越大，由此产生问题：

你能根据车上里程表上的读数，算出汽车在高速公路上行驶的时间吗?

也可以设计为汽车在弯道上行驶了一段路程后，进入直道匀速行驶的问题．

本课时编写的例题、习题，一般都设计为不含“函数”字样的实际问题，让学生在分析和解决问题的过程中，自主判断和选择教学方法和手段，例如函数的方法、方程的方法等．解决本章情境中提出的问题，需要先写出函数关系式，然后再解决具体问题．这类问题通常设计为：

已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值．

2．探索活动

探索活动一

通过以下问题，探索并解决情境中所提出的问题，例如：

（1）汽车在高速公路上行驶的路程与哪些量有关?

（2）车内里程表上记录的数据是汽车行驶在那一段公路上的路程?

（3）如果车内里程表上显示已行驶了175km，你能算出汽车在高速公路上行驶了多少时间吗?

通过探索活动，让学生在进一步明确“路程、时间、速度”关系的基础上，分析所面临的具体问题，寻求解决问题的思路与方法，体验在处理一个本源性实际问题面前，数学所具有价值和魅力，培养学生的应用意识和能力．

探索活动二

加印照片是学生所熟悉的问题，费用多少显然与加印照片的张数有关系，是正比例关系还是一次函数关系?

写出函数关系式后，便不难算出用结余的费用最多可以加印几张照片．这也是根据函数值，求与之对应的自变量的值的应用问题．可以在此基础上，让学生根据此背景，再创设一些问题，例如大批加印的优惠问题，两家冲印店的选择问题等，培养学生的创新意识。

５．４　一次函数的应用

（2）

[教学目标]

1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式．

2．能将简单的实际问题转化为数学问题（建立．一次函数），从而解决实际问题．

3．在应用—一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性．

此外，通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，发展解决问题的能力，增强应用意识和创新意识．

[教学过程（第二课时）l

1．情境创设

“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择通常与经济效益相联系．本课时的情境创设和例题、习题多与这种“选择”有关．由于学生尚未学习一元一次不等式的解法，所以处理这类问题时，我们采用了图象法，一方面“图上作业法”是解决许多实际问题的重要手段，另一方面也为5．5节的学习做铺垫．

为帮助学生学习和领会用函数图象解决现实问题的图上作业法，我们首先创设了一个已知函数图象，要求学生根图象给出答案的实际问题；然后又设计了一个需要学生自己先写出函数关系式，再画图，并由所画图象做出决策的交流活动，体验函数图象在解决实际问题时的应用。

2．探索活动

探索活动一

引导学生发现：

两条直线上升的速度存在差异（一条上升得快一些，一条上升得慢），它们有一个交叉点．可以设计问题引导学生“读图”，例如：

（1）这两条直线有共同之处吗?

（2）哪一条直线上升得更快一些?

（3）“上升得更快一些”的实际意义是什么?

（4）你觉得选择哪家租赁公司的费用较少?

探索活动二

用表格提供信息是人们常用的方式．由表格中的数据知道，汽车运输的装卸费用低，但途中损耗、管理等综合费用高，运输速度慢；火车运输的装卸费用高，

但途中损耗、管理等综合费用低，运输速度快．是否选择火车运输较好?

如何决策?

这是一个具有挑战性的问题．

通过学生的交流活动，使学生明确解决问题的基本思路与方法，是分别计算两种运输方式所需要的费用，然后对相同的运输里程比较费用的大小．这就要分别写出汽车与火车的运输总费用丁（元）与运输里程x（km）之间函数关系式，然后对同一自变量的两个函数值的大小进行比较．

学生可能有两种比较方法：

（1）在同一直角坐标系中，分别画出两个函数的图象，将问题转化为已经研讨过的“图上作业法”来决策；

（2）由于两条直线有一个公共点，表示对于某个运输距离，两种运输方式的费用相同．于是先用方程求出这个距离，再来选择．这种由“形”得到启发从而用“数”解决问题的方法也值得肯定，但教学时不应强求，如果学生没有提及这种方法，教师也不要补充．

５．５　二元一次方程组的图象解法

[教学目标]

1．知道一次函数与二元一次方程的关系．

2．会用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．

此外，通过用两个函数图象解二元一次方程组的探索活动，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内在联系，感受数学在数学内部的应用是推动数学自身发展的动力之一．

[教学过程]

1．情境创设

通过移项，实现二元一次方程与一次函数的相互转化，形式上的统一意味着实质上的统一吗?

课本设计了两个卡通人，一个试图从函数图象上点的坐标看是否是方程的解；一个试图观察以方程的解为坐标的点是否在函数的图象上．这样便可将二元一次方程组与一次函数的形式与内容完美统一．

在此基础上展开“两个一次函数与二元一次方程组的解”的讨论，得到二元一次方程组的图象解法．这既是一种解二元一次方程组的新方法，也是一次函数在数学内部的应用．

如果学生在第5．4节探索一次函数应用时，用解方程的方法讨论最优选择问题的话，那么本节课就可从学生的方法说起．

2．探索活动

活动一：

探索二元一次方程与一次函数的关系，可设计下列问题，例如：

（1）从形式上看，二元一次方程2x—y—3=0与一次函数有什么关系?

（2）点Ｐ在一次函数y=2x—3图象上，那么它的坐标（4，5），即

是方程2x－y－3＝０的解吗?

（3）

是二元一次方程2x—y—3=0的解，那么以此解为坐标的点，即点（2，1）在函数y=2x—3的图象上吗?

（4）你赞同小丽的说法吗?

小明的说法呢?

你认为应如何表述?

活动二：

问题1你准备怎样研究这个问题（例题）?

在明确研究方向后，让学生独立完成以下两问：

（1）在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的位置有什么关系?

有无交点?

若有，交点坐标是什么?

（2）你会解二元一次方程组吗?

它的解是什么?

问题2二元一次方程组的解与图象交点的坐标有关系吗?

问题3通过以上活动，你得到什么结论?

问题4你能说明你的结论正确吗?

探索活动的目标是形成两点共识：

（1）一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形式到内容它们都是统一的；

（2）将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标，就是这个二元一次方程组的解．

数学活动：

温度计上的一次函数

[教学目标]

1.探索摄氏温度与华氏温度的换算公式．

2．经历数学知识的应用过程，发展应用数学知识的意识和能力．

[操作过程]

（1）观察并填表：

有条件的学校，可以准备若干只标有两种温标刻度的温度计，让各小组的学生自己观察温度计上两种刻度的关系，采集数据并填表．

强调学生自主观察，一般不要求全班统一数据．观察是否认真仔细，数据采集是否准确、均匀，将直接影响判断和函数关系式的求解．

（2）描点：

（3）判断：

（4）求解：

在判断出这些点在一条直线上的情况下，在直线上选择两个点的坐标，用待定系数法求出一次函数的关系式．

（5）验证：

验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数关系式．若有误差，则应探索误差产生的原因．

（6）应用：

（7）拓展：

你能将华氏度表示为摄氏度的函数吗?

它还是一次函数吗?

（8）评价：

填写数学活动评价表．