高斯与正十七边形尺规作图法.docx

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高斯与正十七边形尺规作图法

高斯与正十七边形尺规作图法

【作图原理】

首先要给出一条定理。

定理1：

若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 

其中c是方程

的实根。

上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为

的线段。

而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是

 的线段。

设

则有

即

 是方程

 的根，由定理1可知，长为

和

的线段可以做出。

令

则有

同样由定理1可知，长度是

 的线段都可以做出来的。

再由

这样，

 是方程

 较大的实根。

显然也可以做出来。

证毕

1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=（170.5-1）/16，

5、A1A=（17-170.5）/16，6、DA1=（34-2*170.5）0.5

7、OO1=（170.5+1）*（（34-2*170.5）0.5-4）/64，8、O1A1=OA1-OO1，

9、DO1=（1/16+OO12）0.5，10、OJ=（1-4*OO1）/4（1+4*OO1），

11、DJ=（16+OJ2），12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，

14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，

16、O1L=O1M=（OL2+OO12）0.5，

17、OM=OM1+OO1=（OO12+OJ）0.5+OO1=COS3a，OJ=OL2，

18、LA=（1+OL2）0.5，

设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又

sin16α=2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=24sinαcosαcos2αcos4αcos8α

因sinα不等于0,两边同除有:

16cosαcos2αcos4αcos8α=-1

又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有

2（cosα+cos2α+…+cos8α）=-1

注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,

令

x=cosα+cos2α+cos4α+cos8α

y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α

有:

x+y=-1/2

又xy=（cosα+cos2α+cos4α+cos8α）（cos3α+cos5α+cos6α+cos7α）

=1/2（cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α）

经计算知xy=-1

又有

x=（-1+√17）/4,y=（-1-√17）/4

其次再设:

x1=cosα+cos4α,

             x2=cos2α+cos8α

y1=cos3α+cos5α,

y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α

故有x1+x2=（-1+√17）/4

y1+y2=（-1-√17）/4

注意到:

x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=（-1+√17）/4 

注意到:

x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=（-1+√17）/4=x1+2x12-2y1-2，同理：

y1+y2=（-1-√17）/4=y1+2y12-2x2-2=（-1-√17）/4,联立可求出x1,y1

y1=2×OO1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32

又cosα+cos4α=x1,cosαcos4α=（y1）/2

可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。

文洁的正十七边形尺规作图单步详细教程

高斯的正十七边形尺规作图法~

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不过像如何做垂直，如何做平分，我就不详细介绍了

z转帖请注明出处哦~

~

下面开始（总共只需要实质性的八大步）：

首先画圆OA……如下图

接着做垂直的另一条直径OB，如图

过B点以以OB为半径画弧如下图

连接两交点，做出OB中点C如下图

同样的做出OC中点D如下图（第一大步：

作出1/4长的线段）

连接DA,如下图（DA=根号17/4）（第二大步：

）

过D点，以差不多的长度画弧（画长点）交E点

作角ADE的平分线DF（第三大步：

），交AO于A1（OA1=（-1+根号17）/16,=0.25x=0.25（cosα+cos2α+cos4α+cos8α）；DA1=（根号（34-2×根号17））/16），下图：

同样的方法，做角FDE的平分线DG（第四大步：

）

，交AO于O1（0.5y1=OO1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/64，并反向延长一些到刚才那个画长些的弧…………

过D点作垂线交刚才那个长弧于H点

做角GDH的平分线DJ交OA延长线于J点（第五大步：

得JDO1角等于45度）

做线段AJ的垂直平分线交AO于K点（第六大步：

）

以K点为圆心，KJ为半径画弧，交OB于L点（第七大步：

）

以DG和AO的交点为圆心（忘了编号了），以那点到L点的距离为半径画弧，交AO于M点（不要和K点看重叠了）（第八大步：

已得到OM等于COS3a的长度）

过M点做垂线，交圆O于N,P两点（第九大步：

开始在圆周上不间断地切割顶点，一直到作图结束）

以N点为圆心，NA距离为半径画弧，在另一半交圆O于Q点

半径保持不变，同样的，以P点为圆心，画弧交圆O于R点

半径依然保持NA距离不变，以Q点为圆心画弧，交圆O于S点

半径还是那，以R点为圆心，截出T点

以S点为圆心，截U点（以TS为量度单位，在圆周上画完17个分割点，依次连接这17个点，正17边形就作出来了。

）

以T点为圆心，截V点

以U点为圆心，截W点

以V点为圆心，截X点

以W为圆心，截Y点

以X点为圆心，截Z点

以Y点为圆心，截@点（不好意思，英文字母不够用了……）

以Z点为圆心，截#点

以@点为圆心，截$点

以#点为圆心，截&点……大功告成

依次连接@NXYAZWP#UR&ST$QV点

擦掉辅助线~正十七边形，出现……