高斯与正十七边形尺规作图法.docx

1、高斯与正十七边形尺规作图法高斯与正十七边形尺规作图法【作图原理】首先要给出一条定理。定理1：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程的实根。上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。设则有即 是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。令则有同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。再由这样，是方程较大的实根。显然也可以做出来。 证毕1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=(170.5-1)/16，5、A1A

2、=(17-170.5)/16，6、DA1=(34-2*170.5)0.57、O O1=(170.5+1)*(34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1，9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)，11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5，17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，O

3、J=OL2，18、LA=(1+OL2)0.5，设正17边形中心角为,则17=360度,即16=2-故sin16=-sin,又sin16 =2sin8cos8=22sin4cos4cos8=2 4 sincoscos2cos4cos8因sin不等于0,两边同除有:16coscos2cos4cos8=-1又由2coscos2=cos+cos3等,有 2(cos+cos2+cos8)=-1注意到 cos15=cos2,cos12=cos5,令 x=cos+cos2+cos4+cos8y=cos3+cos5+cos6+cos7有:x+y=-1/2又xy=(cos+cos2+cos4+cos8)(cos

4、3+cos5+cos6+cos7)=1/2(cos2+cos4+cos4+cos6+cos+cos15)经计算知xy=-1又有 x=(-1+17)/4,y=(-1-17)/4其次再设:x1=cos+cos4, x2=cos2+cos8y1=cos3+cos5,y2=cos6+cos7=cos6+cos10故有x1+x2=(-1+17)/4y1+y2=(-1-17)/4注意到:x2=cos2+cos8可用倍角公式将x1+x2=(-1+17)/4注意到:x2=cos2+cos8可用倍角公式将x1+x2=(-1+17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：y1+y2=(-1-17)/4=y1+2y

5、12-2x2-2=(-1-17)/4,联立可求出x1,y1y1=2O O1=（根号17+1）根号（34-2根号17-4）/32又cos+cos4=x1,coscos4=(y1)/2可求cos之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。文洁的正十七边形尺规作图单步详细教程高斯的正十七边形尺规作图法不过像如何做垂直，如何做平分，我就不详细介绍了z转帖请注明出处哦下面开始（总共只需要实质性的八大步）：首先画圆OA如下图接着做垂直的另一条直径OB，如图过B点以以OB为半径画弧 如下图连接两交点，做出OB中点C 如下图同样的做出OC中点D 如下图（第一大步：作出1/4长的线段）连

6、接DA,如下图（DA=根号17/4）（第二大步：）过D点，以差不多的长度画弧（画长点）交E点作角ADE的平分线DF（第三大步：），交AO于A1（O A1=（-1+根号17）/16,=0.25x=0.25(cos+cos2+cos4+cos8)；D A1=（根号（34-2根号17）/16），下图：同样的方法，做角FDE的平分线DG（第四大步：），交AO于O1（0.5y1=O O1=（根号17+1）根号（34-2根号17-4）/64，并反向延长一些到刚才那个画长些的弧过D点作垂线交刚才那个长弧于H点做角GDH的平分线 DJ交 OA延长线于J点（第五大步：得JDO1角等于45度）做线段AJ的垂直平分

7、线 交AO于K点（第六大步：）以K点为圆心，KJ为半径画弧，交OB于L点（第七大步：）以DG和AO的交点为圆心（忘了编号了），以那点到L点的距离为半径 画弧，交AO于M点（不要和K点看重叠了）（第八大步：已得到OM等于COS3a的长度）过M点做垂线，交圆O于N,P两点（第九大步：开始在圆周上不间断地切割顶点，一直到作图结束）以N点为圆心，NA距离为半径画弧，在另一半交圆O于Q点半径保持不变，同样的，以P点为圆心，画弧交圆O于R点半径依然保持NA距离不变，以Q点为圆心画弧，交圆O于S点半径还是那，以R点为圆心，截出T点以S点为圆心，截U点（以TS为量度单位，在圆周上画完17个分割点，依次连接这17个点，正17边形就作出来了。）以T点为圆心，截V点以U点为圆心，截W点以V点为圆心，截X点以W为圆心，截Y点以X点为圆心，截Z点以Y点为圆心，截点（不好意思，英文字母不够用了）以Z点为圆心，截#点以点为圆心，截$点以#点为圆心，截&点大功告成依次连接 NXYAZWP#UR&ST$QV 点擦掉辅助线 正十七边形，出现