高中数学三角函数的周期性.docx

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高中数学三角函数的周期性

三角函数的周期性、创新题型研究

【内容提要】1．函数的周期性；2.三角函数的周期性的判定；3.三角函数周期性的应用；【2．三角函数的周期性的判定】

【例2】函数

的最小正周期为．

【解析】

，所以函数的最小正周期为

。

【变式1】函数

的最小正周期为

【解析】由公式可得函数的最小正周期为

【变式2】（2012年高考（上海春））函数

的最小正周期为_______.

【解析】由公式可得函数的最小正周期为

【变式3】（2010浙江文数）函数

的最小正周期是

【解析】

函数的最小正周期为

【变式4】求函数

的最小正周期．

【解析】

（

），∴函数

的最小正周期为

（函数

的图象如右图所示）。

【变式5】函数

的最小正周期为

【解析】

，根据正切函数定义域，

，即每

单位的区间上，函数图像要去掉一个点

，函数图像是每两个

单位，重复出现一次完全相同的图像，所以周期是

。

【变式6】函数

的最小正周期为（）

A

B

C

D

B【解析】将函数解析式化为

，由定义域的限制可得。

【3．三角函数周期性的应用】

【例3】设函数

，若对任意x∈R，都有，f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1—x2|的最小值为（）（A）4（B）2（C）1（D）

B【解析】对任意x∈R，都有，f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明f（x1）是函数的最小值，最低点横坐标是x1，f（x2）是函数的最大值，最高点横坐标是x2，求|x1—x2|的最小值即求两个最高点与最低点最近距离，也就是半个函数的最小正周期T。

【变式1】已知函数

为偶函数

＜

＜

，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为

，

，

的最小值为

，则（　）

　A.

　　B.

　C.

　D.

A【解析】函数

为偶函数

＜

＜

，则

；图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为

，

，即函数图像两个最高点的横坐标，

的最小值为

，说明函数图像两个最高点最近距离是

，从而得到函数的最小正周期T=

，

。

【变式2】已知函数

，

的图像与直线

的两个相邻交点的距离等于

，则

的单调递增区间是

【解析】

，由题设

的周期为

，∴

，由

得，

，故选C

【变式3】已知函数

的图像与直线

的交点间的最小距离是

，则

=______。

【解析】函数

的图像与直线

的交点间的最小距离是一个周期

，所以函数

最小正周期

，

的值

。

【变式4】（2012年高考（陕西理））函数

（

）的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

若

且

则

的值是.

【解析】函数

的解析式为

即

∵

∴

∴

故

【变式5】为了使函数y＝sinωx（ω>0）在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（　　）A．98πB.

πC.

πD．100π

B【解析】由题意至少出现50次最大值即至少需用49

个周期，∴49

·T＝

·

≤1，∴ω≥

π，故选B.

【4．数列的周期性】

【例4】已知数列

中，

（

），

（

），能使

的

可以等于（）A．

　　　　B．

　　　　C．

　　　D．

【解析】∵

；

；

∴

，接着

，

，

是周期为

的周期数列；

∴

当且仅当

为周期的整数倍，即

，符合条件的只有C项．

【变式1】【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式

，其前n项和为Sn，则S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0

A．【解析】因为函数

的周期是4，所以数列

的每相邻四项之和是一个常数2，所以

.故选A

【变式2】（2001上海春16）若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为（）

A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}

B【解析】∵k∈N*，∴当k=0，1，2，…7时，利用an+8=an，数列{a3k+1}可以取遍数列{an}的前8项．

【变式3】已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1（n≥2），x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是（）

A.x100=-a，S100=2b-aB.x100=-b，S100=2b-aC.x100=-b，S100=b-aD.x100=-a，S100=b-a

A.【解析】x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．

【变式4】已知f（n）＝sin

（n∈N*），则f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2013）＝________.

【解析】由题意知f

（1）＝sin

＝

，f

（2）＝sin

＝

，f（3）＝sinπ＝0，f（4）＝sin

＝－

，f（5）＝sin

＝－

，f（6）＝sin2π＝0，f（7）＝sin

＝sin

＝

…由此可得函数f（n）的周期T＝6.所以f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2013）＝335×[f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）]＋f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＝f

（1）＋f

（2）＋f（3）＝

.

【变式5】已知数列

中，

是其前

项和，若

，且

，则

=，

．

6，4020【解析】易算出

，即

是周期为

的数列，故

，

．

【变式6】我们可以利用数列

的递推公式

求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则

；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第

个

是该数列的第项．

28，640【解析】

，同时

，因此

；

第

个

出现在第

项，因此第

个

是该数列的第

．

【变式7】（2009北京理）已知数列

满足：

则

________；

=_________.

1，0【解析】

，

.

【变式8】在数列

中，已知

，当

时，

是

的个位数，则

．

6【解析】∵由题设得

，

，

，∴由此可知数列

中的各项从第

项起是以

为周期反复出现的（反复出现

）.又注意到

，故所求

.

【5．迭代函数的周期性】

【例5】（2007年全国高中数学联赛江西省预赛）设

，又记

则

（）

A.

B.

C.

D.

B【解析】

，

，

是周期为4的迭代函数，

，故选B.

【变式1】设

，又记

，

，

，则

（）A．

B．

C．

D．

C【解析】

，

，

，一般地，

，

是以

为周期的数列．∴

，选C．

【变式2】设函数

（其中

），

是

的小数点后第

位数字

，则

的值为．

2【解析】

，

，

，

，

，

，开始出现循环，

，因此

=2.

【变式3】若

等于

的各位数字之和，如

，

，则

；记

，

，…，

，

，则

___．

11【解析】

，

，

，开始循环．2008÷3=669…1，因此

11.

【变式4】（上海交通大学2004年保送生考试）

，对于一切自然数n，都有

，且

，求

．

x【解析】由条件解得

，以是

是周期为2的迭代函数，从而

。

【变式5】（2005年复旦大学自主招生）定义在

上的函数

满足

，则

=_______

2005【解析】令

，得

①，令

，得

②。

由①②，得

。

【6．三角函数的轴对称性】

【例6】设函数

图象的一条对称轴方程为

则直线

的倾斜角为（）A.

　B.

C.

D.

【解析】

，所以

，直线

的斜率

，倾斜角为

。

故选B。

【变式1】如果函数

的图象关于直线

对称，则

【解析】代入对称轴方程到函数解析式，其值应为函数的最值，解方程可得a=-1.

【变式2】（2012年高考（福建文））函数

的图像的对称轴方程是

【解析】

.

【变式3】（2010福建理数）已知函数

和

的

图象的对称轴完全相同。

若

，则

的取值范围是。

【解析】

，因为

，所以

，由三角函数图象知：

的最小值为

，最大值为

，所以

的取值范围是

。

【变式4】（2012陕西理）函数

（

）的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

若

且

则

的值是.

【解析】函数

的解析式为

即

∵

∴

∴

故

【变式5】（2012年高考（课标文））已知

>0,

直线

=

和

=

是函数

图像的两条相邻的对称轴,则

=

【解析】由题设知,

=

∴

=1,∴

=

（

）,

∴

=

（

）,∵

∴

=

【变式6】若

对任意实数t，都有

．记

，则

．

【解析】由

知函数的对称轴为

【7．三角函数的点对称性】

【例7】函数f（x）=sin（2x+φ）+

cos（2x+φ）的图像关于原点对称的充要条件是（）

A．φ=2kπ-

，k∈ZB．φ=kπ-

，k∈Z

C．φ=2kπ-

，k∈ZD．φ=kπ-

，k∈Z

【解析】f（x）=sin（2x+φ）+

cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+

），

其对称中心是

，又图像关于原点对称，∴

，

∴φ=kπ-

，k∈Z。

故选D.

【变式1】函数

的图象的对称中心是

【解析】

所以对称中心为

。

【变式2】函数

（）

A．

B．

C．

D．

D【解析】函数

则

图象一个对称中心是原点，将

代入

，

，有

，得

。

答案：

D．

【变式3】设函数y＝2sin（2x＋

）的图象关于点P（x0,0）成中心对称，若x0∈[－

，0]，则x0＝___.

－

【解析】∵函数y＝2sin（2x＋

）的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin（2x0＋

）＝0，∵x0∈[－

，0]∴x0＝－

.

【变式4】函数

的图像关于点

中心对称，则

的最小值为

【解析】代入点

，易得

【变式5】函数

（x∈R）的图象为C,以下结论中:

①图象C关于直线

对称;②图象C关于点

对称;

③函数f（x）在区间

内是增函数;

④由

的图象向右平移

个单位长度可以得到图象C.

则正确的是.（写出所有正确结论的编号）

①②③【解析】当

时，

所以为最小值，所以图象C关于直线

对称，所以①正确。

当

时，

，所以图象C关于点

对称;所以②正确。

，当

时，

，所以

，即

，此时函数单调递增，所以③正确。

的图象向右平移

个单位长度，得到

，所

以④错误，所以正确的是①②③。

【8．周期性与对称性的综合应用】

【例8】已知定义在R上的函数

的图象关于点

对称，且满足

，又

，

，则