高中数学必修二21空间点直线平面之间的位置关系课堂练习及详细答案汇编.docx

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高中数学必修二21空间点直线平面之间的位置关系课堂练习及详细答案汇编

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1平面

●知识梳理

1平面含义：

平面是无限延展的

2三个公理：

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示为

A∈

B∈

=>

A∈

B∈

【公理1作用】判断直线是否在平面内.

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：

A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：

P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L

【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据.

●知能训练

一．选择题

1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：

①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；  ②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；

③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；   ④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．

其中真命题的序号是（　　）

A．①②

B．③④

C．①④

D．②③

2．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

4．下面四个说法中，正确的个数为（　　）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

（2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．

A．1

B．2

C．3

D．4

5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（　　）

A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（　　）

A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线

B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线

C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥β

D．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直

7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（　　）

A．若l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线

B．若l∥α，l∥m，则m∥α

C．若l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥β

D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α

8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则 α∥β；

③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（　　）

A．①③

B．②④

C．①④

D．③④

二．填空题

9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）

①0       ②1/2     ③1        ④2      ⑤3．

10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．

三．解答题

1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：

E，F，G，H四点必定共线．

2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：

FC=2：

3．DH：

HA=2：

3．

（1）证明：

点G、E、F、H四点共面；

（2）证明：

EF、GH、BD交于一点．

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：

设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

●知能训练

一．选择题

1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

2．如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，则异面直线D1B和AC所成角的余弦值为（　　）

A．1

B．/3

C．1/2

D．/5

众上所述，我们认为：

我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。

在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B1上，点Q在线段B1C1上，且B1P=B1Q，给出下列结论：

①A、C、P、Q四点共面；

②直线PQ与 AB1所成的角为60°；

③PQ⊥CD1；

④VP-ABCD=VQ-AA1D．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．如图，正四面体A-BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，则在下列命题中，错误的为（　　）

A．O-ABC是正三棱锥

B．直线AD与OB成45°角

服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□C．直线AB与CD互相垂直

夏日的街头，吊带装、露背装、一步裙、迷你裙五彩缤纷、争妍斗艳。

爱美的女孩们不仅在服饰搭配上费尽心机，饰品的选择也十分讲究。

可惜在商店里买的项链、手链、手机挂坠等往往样式平淡无奇，还容易出现雷同现象。

D．直线AD与OC成60°角

（二）创业优势分析6．已知不同平面α，β，γ，不同直线m，n，则下列命题正确的是（　　）

A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

B．若m∥α，n∥β，则α∥β

（二）上海的人口环境对饰品消费的影响C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

送人□有实用价值□装饰□D．若m∥γ，n∥γ，则m∥n

7．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（　　）

合计50100%A．只有一条，不在平面α内

二、资料网址：

B．有无数条，一定在平面α内

为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。

这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。

C．只有一条，且在平面α内

（二）DIY手工艺品的“热卖化”D．有无数条，不一定在平面α内

8．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

9．将正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（　　）

A．B.C.D.

10．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（　　）

A．0

B．3

C．4

D．6

二．填空题

11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是 。

12．已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC=BD=4，CD=3，则AD与BC所成角的余弦值为．

13．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．

三．解答题

14．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：

PB∥平面EFG；

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

●知能训练

一．选择题（共8小题）

1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α．则m∥n

B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

2．已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（　　）

A．若a∥b，b⊂β，则a∥β

B．若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交

C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

D．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥b

3．下列命题中，是假命题的为（　　）

A．平行于同一直线的两个平面平行

B．平行于同一平面的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两条直线平行

D．垂直于同一直线的两个平面平行

4．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；

③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．

其中正确命题的个数有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（　　）

A．0条

B．1条

C．2条

D．无数条

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，则下列判断正确的是（　　）

A．MN∥BD1B．MN⊥AB1

C．MN∥平面BDD1D．MN⊥平面AB1C

7．已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点，则直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是（　　）

A.B.C.D.

8．△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（　　）

A.1B.C.D.1或

二．解答题（共3小题）

9．在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别为DD1，BB1的中点，G为线段D1F上一点．请判断直线AG与平面BEC1之间的位置关系，并给出证明．

【参考答案】

2.1.1

1.D2.A3.B4.A5.D6.B7.D8.A9.①③④10.26

11.解：

∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵AB∩α=E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

12.证明：

（1）∵E、G分别为BC、AB的中点，∴EG∥AC

又∵DF：

FC=2：

3．DH：

HA=2：

3，∴FH∥AC．

∴EG∥FH

所以，E、F、G、H四点共面．

（2）由

（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点P

∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，

∴由公理3知P∈BD．

所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．

2.2.2

1.B2.C3.D4.B5.D6.C7.C8.B9.D10.B11.[，1]12.13.

14. 

（1）证明：

取AB的中点M，连接EM，MG．

∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．

∴四点E，F，G，M共面．

而在三角形PAB中，PB∥EM，

又PB⊄平面EFGM，EM⊂平面EFGM．

∴PB∥平面EFGM．

即得PB∥平面EFG．

2.1.3

1.B2.D3.A4.B5.D6.C7.B8.D

9.AG∥平面BEC1．

证明：

连结AF，AD1．

∵E，F为DD1，BB1的中点，

∴ED1与BF平行且相等，

∴四边形BED1F为平行四边形，

∴D1F∥BE，

∴D1F∥平面BEC1．

∵四边形ABC1D1为平行四边形，

∴A1D∥BC1，

∴AD1∥平面BEC1．

∵AD1∩D1F=D1，

∴平面AFD1∥平面BEC1．

∵AG⊂平面AFD1，

∴AG∥平面BEC1