v/BOF=90°,
•••zEOF=/BOF-/BOE
=900—0.5a.
ZCFE=ZE.求
【试题】如图，AB//CD,AE平分/BAD,CD与AE相交于F,
证：
AD//BC.
AD//BC的条
ZCEF=ZF.求
【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于件：
内错角/2和/E相等.
证明：
TAE平分/BAD,
•••/=Z2,
••AB//CD,
•••/=ZCFE
vzCFE=ZE,
•••/=ZE,
•••AD//BC.
【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用.
【拓展】如图，AB//CD,AE平分/BAD,CD与AE相交于F,证：
AD//BC.
【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD//BC的条
件：
内错角/2和/E相等.
证明：
YAE平分/BAD,
•••/=/,
••AB//CD,
•••/=ZCFE
v/CEF=ZF,
•••/=ZE,
•••AD//BC.
【反思】注意体会拓展与原题（试题内容和解答过程）的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系•
【例题】已知：
如图，点B在直线AC上,BE和AD交于F点，ZA=ZADE,Z
C=ZE.
（1）若ZEDC=3/C,求ZC的度数.
（2）求证：
BE//CD.
（1）v/A=ZADE,
••AC//DE,
•••ZEDC+/C=180°,
又v/EDC=3ZC,
••4ZC=180°,
即/C=45°;
（2）：
AC//DE,
•ZE=ZABE,
又vZC=ZE,
•zC=ZABE,
•••BE//CD.
【反思】
（1）要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序•
（2）本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性
质的区别，不可用错.
【拓展】
已知：
如图，点B在直线AC上,BE和AD交于F点，ZA=ZADE,ZDCB=
/DEB.
（1）若ZDCB=3/EDC，求ZDCB的度数.
（2）求证：
BE//CD.
【例题】如图，D、E在△ABC的边AB上，F点在边BC上，已知ZAGD=ZACB,
Z1=Z2.求证：
CD//EF.
CFB
【拓展1】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线
上，已知ZAGD=ZACB，/仁Z2.求证：
CD//EF.
FCB
【拓展2】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线
上，已知ZAGD=ZACB，Z1=Z.求证：
CD//EF.
B
C
【拓展1】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已
知ZA=ZAFD，/C=ZD，求证BD//CE.
【拓展3】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线
【例题】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知Z
A=ZF，ZC=ZD，求证BD//CE.
上，已知ZAGD=ZACB，Z1=Z2.求证：
CD//EF
【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、
E、F也在同一直线上，已
E、F也在同一直线上，已
【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、
知/CAF=ZAFD，/C=ZD，求证BD//CE.
求Z的度数.
【例题】如图，直线a//b，AC丄BC,Z2=55
【分析】Z1与/2均不是“三线八角”的角，因此通过a//b，想方设法构造“三线八角”，建立/1、/2及ZACB之间的联系，从而求出/2的度数.
法一：
如下图示，
【反思与拓展】
角形内角和定理”）
BF与AC的位置关系，并说明理由.
理由：
v^AGF=ZJABC,
•••BC//GF
又V/1+72=180°，
•••22+/3=180°,
•••BF//DE;
•zAFB=ZAED
••DE丄AC,
•zAED=90°
•zAFB=90°
•••BF丄AC.
【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键.解题时要
注意几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系•
【拓展1】已知，如图，DE丄AC于E,ZAGF=2ABC,21=/2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由.
【拓展2】已知，如图，DE丄AC于E，ZAGF=ZABC，21=/2，试判断BF与
AC的位置关系，并说明理由.
【拓展3】已知，如图，DE丄AC于E,ZAGF=/ABC,/BDE=/BFC，试判断
BF与AC的位置关系，并说明理由.
（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？
并加以证明;
（2）若/CEF=70。
，求/CB的度数.
o
QBF=20
£FB=130
（1）
问直线EF与AB有怎样的位置关系？
并加以证明;
（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？
并加以证明;
（2）若ZCEF=70。
，求ACB的度数.
【试题】如图，已知/1+72=180°,B=Z3，求证：
DE//BC.
【拓展1】如图，已知71=72,7DBF=7DEF，求证：
DE//BC.
【拓展2】如图，已知71=Z2,/4+ZDEF=180°，求证：
DE//BC.
【例题】如图，AB//CD,7ABE=70°,7CE=144。
，求启EC的度数.
【分析】图中虽有AB//CD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅助线”，将已知和所求的角进行联系，想方设法构造出“三线八角”的基本图形,然后根据平行线的性质和判定进行转化•方法有多种：
分别说明如下：
法一：
过E点往右侧作EF//CD，如下图示：
法三：
过B点作BF//CD，交DC的延长线于F,如下图示:
法四：
过C点作CF//BE交AB的延长线于F,如下图示:
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构造“三线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的内角和，则解法就更多了：
只要能得到“三线八角”均可得解.
【拓展1】如图，AB//CD，/ABE=70°,QCE=54°，求启EC的度数
【拓展2】如图，AB//CD，/ABE=35°,QCE=110。
，求启EC的度数.
【拓展3】如图，AB//CD，ZABE=40°,QCE=20。
，求启EC的度数.
【试题】已知AB//CD,ZABE与/CDE两个角的角平分线相交于点F.
（1）如图1,若ZE=80。
，求启FD的度数.
（2）如图2中，/ABM=1/3ZABF，/CDM=1/3ZCDF，写出/M与/E之间的数量关系并证明你的结论.
（3）若ZABM=1/nZABF，ZCDM=1/nZCDF，设ZE=m°，直接用含有n，m
的代数式表示写出/M=.
【解析】
（1）首先先求出ZABE+ZCDE的度数，方法均有4种，下面仅提供一种解法：
如下图示，过E点作EG//CD，因AB//CD，所以AB//EG//CD，得至UZABE+Z
=180°,ZCDE+Z1=180从而ZABE+（Z1+/2）+ZCDE=360°，而/BED
=Z1+Z2=80°,所以ZABE+ZCDE=280°.
B
A
3
B
F；
E
B
7
M
E
8
ZABE+/CDE=360°—/E,
ZABF+ZCDF=0.5ZABE+0.5ZCDE
=0.5（ZABE+ZCDE）
=•••=180°—0.5ZE,
再求Z3+Z4的度数，因BF和DF分别平分ZABE和ZCDE，所以有Z3+Z4=
0.5ZABE+0.5ZCDE=0.5（ZABE+ZCDE）=140°.
类似上述思路，可求得ZBFD=Z5+Z6=Z3+Z4=1400.如下图示:
类似前面分析，可得到:
（2）如下图示:
进一步，得到：
Z3+Z4=1/3ZABF+1/3ZCDF
=1/3（ZABF+ZCDF）
=1/3（180°—0.5ZE）
=60°—1/6ZE.
得到ZBMD=/7+Z8
=60°—1/6ZE.
即6ZBMD+/E=3600.
（3）与
（2）题类似，如下图示：
类似前面分析，可得到：
ZABE+/CDE=3600—ZE,
ZABF+ZCDF=0.5ZABE+0.5ZCDE
=0.5（ZABE+ZCDE）
=・=1800—0.5ZE,
进一步，得到：
Z3+Z4=1/nZABF+1/nZCDF
=1/n（ZABF+ZCDF）
=1/n（1800—0.5m0）
=1800/n—m0/（2n）.
得到ZBMD=Z7+Z8
=1800/n—m0/（2n）.
即ZBMD+ZE=（3600—m0）/（2n）.
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用，关键在于“如何构造”
三线八角“.
【拓展】已知AB//CD,ZABE与ZCDE两个角的角平分线相交于点F•若/
ABM=1/nZABF，/CDM=1/n/CDF，设ZE=m。
，直接用含有n,m。
的代数式表示，写出/M=
【试题】已知：
如图，直线a//b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）.
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：
/CPD=ZPCA+ZPDB，请说
明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，/CPD、/PCA、/PDB之
间有怎样的数量关系，并说明理由;
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，/CPD、/PCA、/PDB之
间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？
【图文解析】
前面已有文章分析，此类问题均有4种解法，其各种情况的结论也类似•下面也仅用一种常用方法简析：
每小题均过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解.
【拓展】已知：
如图，直线a//b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,
直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、
B两点重合）•当点P在如下图的平面各个区域内运动时，试直接到写出/CPD、
ZPCA、/PDB之间的数量关系.
如图，/1=ZBDC,CE丄AE于E，/2+/3=180°，求证：
DA丄AE
AD//BE
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