相交线与平行线提高题.docx

1、相交线与平行线提高题【例题】如图，直线AB与CD相交于点0 , 0M丄AB ,且0M平分ZNOC .若/B0C=4 /NOB，求/MON 的度数.（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法一一强烈建议），则有/CON = 6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到/ MON=0.5 /CON=3x，ZBOM= ZMON+ /NOB=3x+2x=9O 。，求出 x 的值，进一步即可得ZMON的度数.【解】设/NOB=2x，/BOC=8x， 贝U/CON= /COB - /BON=8x - 2x=6x.vOM 平分/CON，/ION=O.5 ZCON=3x，vOM 丄 AB，zAOM=

2、9O ，zBOM= ZMON+ /NOB=3x+2x=90 ，即/MON的度数为54 .【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握【练习】如图，已知AB、CD相交于点O, OB平分/COE, OF丄AB于O,(1)若/EOF=12O。，求/OD 的度数；(2)若/BOE=1/4 ZEOF,求/DOE 的度数解 (1) OF 丄 AB ,二/ BOF=9O又/ EOF=12O/ BOE= / EOF -/ BOF=3Ov OB 平分/ COE/ BOC= / BOE=3Ov/ AOD=

3、 / BOC/ BOC=3O ;(2)设 ZBOE = x,则 ZEOF=4xv/3OF= ZEOF-ZBOE3x=90 ，解得x=30 OB 平分/COE,zCOE=2 /BOE=2x=60 zDOE=180 -/OE=120 .【例题】如图，直线EF, CD相交于点O, OA丄OB，且OC平分/AOF ,若/AOE=40。，求启OD的度数；若/AOE= a,求ZBOD的度数（用含a的式子表示）;从（2）的结果中能看出/ AOE和ZBOD有何关系？（邻补角的定义），zAOF=180 /OE，=180 400 = 140 ;又VOC平分/AOF，zFOC=0.5 ZAOF=70 ，zEOD=

4、ZFOC=70 （对顶角相等）；而/BOE= ZAOB ZAOE=50 zBOD= ZEOD -ZBOE=20 ;(2)v/AOE+ ZAOF=180 ,(邻补角的定义)zAOF=180。AOE=180 -a;又vOC平分ZAOF ,zFOC=0.5 ZAOF=90 -0.5 a,zEOD= ZFOC=90 -0.5 a(对顶角相等)；而/BOE= ZAOB -ZAOE=90 -a,zBOD= ZEOD -ZBOE=0.5 a;(3)从(1)( 2)的结果中不难观察出：Z AOE=2 /BOD .【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、 角平分线的定义是解题的关

5、键，注意领会解题思路和解题过程和格式 几何入门 书写必须严格规范【练习】O为直线DA上一点，OB丄OF , EO 是ZAOB的平分线.(2)若 ZAOB= a, 90 a180。，求 ZOF 的度数;（3）若ZAOB= a,0 a90。，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中/EOF的结果仍然成立.【解答过程】(1)vEO是ZAOB的平分线，zSAOB=130 ,zAOE = 0.5 ZAOB = 65.OB 丄 OF, aZBOF=90 ,ZOF= ZAOB -ZBOF=130 -0 =40 ,ZEOF= ZAOE -ZAOF=65 -0 25 ;(2)VZAOB= a, 90 a80EO

6、 是ZAOB的平分线，ZOE=0.5 ZAOB = 0.5 a, vZ3OF=90 ,aZOF= a-90 ZEOF= ZAOE -ZAOF=0.5 a-(a90 )=90 0-0.5 a；(3)如下图示， ZOB= a, 0 a0 ,v/BOF=90 ,zEOF= /BOF-/BOE=90 0 0.5 a.ZCFE= ZE. 求【试题】 如图，AB /CD , AE平分/BAD , CD与AE相交于F,证：AD /BC.AD /BC的条ZCEF= ZF. 求【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于 件：内错角/2和/E相等.证明：TAE平分/BAD ,/= Z2,AB /CD

7、 ,/= ZCFEvzCFE=ZE,/= ZE,AD /BC.【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用.【拓展】 如图，AB /CD , AE平分/BAD , CD与AE相交于F, 证：AD /BC.【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于 AD /BC的条件：内错角/2和/E相等.证明：YAE平分/BAD ,/= / ,AB /CD ,/= ZCFEv/CEF=ZF,/= ZE,AD /BC.【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形 思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系【例题】已知：如图，点B在直线AC 上, BE和AD交于

8、F点，ZA= ZADE, ZC= ZE.(1)若ZEDC=3 /C,求ZC的度数.(2)求证：BE/CD.(1)v/A= ZADE,AC /DE,ZEDC+ /C=180 ,又v/EDC=3 ZC,4 ZC=180 ,即/C=45 ;(2)：AC/DE,ZE= ZABE,又vZC= ZE,zC= ZABE,BE/CD .【反思】(1)要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序 (2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性质的区别，不可用错.【拓展】已知：如图，点B在直线AC 上, BE和AD交于F点，ZA= ZADE , ZDCB=/DEB.(1)若 ZDCB

9、=3 /EDC，求 ZDCB 的度数.(2)求证：BE/CD.【例题】如图，D、E在ABC的边AB上，F点在边BC上，已知ZAGD= ZACB ,Z1= Z2 .求证：CD /EF.C F B【拓展1】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知ZAGD= ZACB，/仁 Z2 .求证：CD /EF.F C B【拓展2】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知ZAGD= ZACB，Z1= Z .求证：CD /EF.BC【拓展1】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知ZA= ZAFD，/C= ZD，求证 BD /C

10、E.【拓展3】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线【例题】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知ZA= ZF，ZC= ZD，求证 BD /CE.上，已知ZAGD= ZACB，Z1= Z2 .求证：CD /EF【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已E、F也在同一直线上，已【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、知/CAF= ZAFD，/C= ZD，求证 BD /CE.求Z的度数.【例题】 如图，直线a /b， AC丄BC,Z2=55【分析】Z1与/2均不是“三线八角”的角，因此通过a/b，想方设法构造“

11、三 线八角”，建立/ 1、/2及ZACB之间的联系，从而求出/ 2的度数.法一：如下图示，【反思与拓展】角形内角和定理”)BF与AC的位置关系，并说明理由.理由： vAGF= ZJABC ,BC /GF又 V/1+ 72=180 ，22+ /3=180 ,BF/DE;zAFB = ZAEDDE丄 AC,zAED = 90 zAFB = 90 BF丄 AC.【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内 错角、同旁内角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键. 解题时要注意几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系 【拓展1】已知，如图，DE丄AC于

12、E,ZAGF= 2ABC ,21 =/2，试判断BF与 AC的位置关系，并说明理由.【拓展2】已知，如图，DE丄AC于E，ZAGF= ZABC，21 =/2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由.【拓展3】已知，如图，DE丄AC于E,ZAGF= /ABC ,/BDE = /BFC，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由.(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明;(2)若/CEF=70。，求/CB 的度数.o,QBF=20FB=130(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明;(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明;(2)若ZCEF=70。，求ACB 的度数.【试

13、题】 如图，已知/ 1+ 72=180 , B= Z3，求证：DE /BC.【拓展1】如图，已知7 1 = 72 ,7DBF= 7DEF，求证：DE /BC.【拓展2】如图，已知7 1 = Z2 ,/4+ ZDEF= 180，求证：DE/BC.【例题】 如图，AB /CD ,7ABE=70 ,7CE=144。，求启EC的度数.【分析】图中虽有AB /CD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅 助线”，将已知和所求的角进行联系，想方设法构造出“三线八角”的基本图形, 然后根据平行线的性质和判定进行转化方法有多种：分别说明如下： 法一：过E点往右侧作EF/CD，如下图示：法三：过B点作BF

14、/CD，交DC的延长线于F,如下图示:法四：过C点作CF/BE交AB的延长线于F,如下图示:【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构造“三 线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的内角和，则解法就 更多了：只要能得到“三线八角”均可得解.【拓展1】如图，AB /CD，/ABE=70 ,QCE=54 ，求启EC的度数【拓展2】如图，AB /CD，/ABE=35 ,QCE=110。，求启EC的度数.【拓展3】如图，AB /CD，ZABE=40 ,QCE=20。，求启EC的度数.【试题】已知AB /CD , ZABE与/CDE两个角的角平分线相交于点F.(1)如

15、图1,若ZE=80。，求启FD的度数.(2)如图 2 中，/ABM=1/3 ZABF，/CDM=1/3 ZCDF，写出/M 与/E之间 的数量关系并证明你的结论.(3)若ZABM=1/n ZABF，ZCDM=1/n ZCDF，设ZE=m ，直接用含有n， m的代数式表示写出/M= .【解析】(1)首先先求出Z ABE+ ZCDE的度数，方法均有4种，下面仅提供一种解法：如下图示，过E点作EG/CD，因AB /CD，所以AB/EG/CD，得至UZABE+ Z=180,ZCDE+ Z1 = 180 从而ZABE+( Z1+ /2)+ ZCDE = 360，而/BED= Z1+ Z2 = 80,所以

16、 ZABE+ ZCDE= 280.BA3BF；EB7ME8ZABE+ /CDE= 360/E,ZABF+ ZCDF = 0.5 ZABE+0.5 ZCDE=0.5 (ZABE+ ZCDE)= = 180 0.5 ZE,再求Z3+ Z4的度数，因BF和DF分别平分Z ABE 和 ZCDE，所以有Z3+ Z4 =0.5ZABE+0.5 ZCDE = 0.5 (ZABE+ ZCDE)= 140.类似上述思路，可求得Z BFD=Z5+ Z6 =Z3+ Z4 = 1400.如下图示:类似前面分析，可得到:(2)如下图示:进一步，得到：Z3+ Z4 = 1/3 ZABF+1/3 ZCDF=1/3( ZAB

17、F+ ZCDF)=1/3 (180 0.5 ZE)=60 1/6 ZE.得到 ZBMD =/7+ Z8=60 1/6 ZE.即 6 ZBMD+ /E= 360 0.(3)与(2)题类似，如下图示：类似前面分析，可得到：ZABE+ /CDE= 3600ZE,ZABF+ ZCDF = 0.5 ZABE+0.5 ZCDE=0.5 (ZABE+ ZCDE)=1800 0.5 ZE,进一步，得到：Z3+ Z4 = 1/n ZABF+1/ n ZCDF=1/n( ZABF+ ZCDF)=1/n ( 1800 0.5m0)=180 0/n m0/(2 n).得到 ZBMD =Z7+ Z8=180 0/n m

18、0/(2 n).即 ZBMD+ ZE= (360 0 m 0)/( 2 n).【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用， 关键在于“如何构造”三线八角“.【拓展】已知AB /CD , ZABE与ZCDE两个角的角平分线相交于点F若/ABM=1/n ZABF，/CDM=1/n /CDF，设ZE=m。，直接用含有n, m。的代数式 表示，写出/ M=【试题】已知：如图，直线a /b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点, 直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动(不与A、 B两点重合).(1)如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：/ CPD= ZPCA+ ZPDB

19、，请说明理由；(2)如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，/ CPD、/PCA、/PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由;(3)如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，/ CPD、/PCA、/PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)？【图文解析】前面已有文章分析，此类问题均有 4种解法，其各种情况的结论也类似下 面也仅用一种常用方法简析：每小题均过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解.【拓展】已知：如图，直线a /b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）当点P在如下图的平面各个区域内运动时， 试直接到写出/CPD、ZPCA、/PDB之间的数量关系.如图，/ 1 = Z BDC , CE 丄AE 于 E，/ 2+ / 3 = 180 ，求证：DA 丄AEAD/BE