1、相交线与平行线提高题【例题】如图,直线AB与CD相交于点0 , 0M丄AB ,且0M平分ZNOC .若/B0C=4 /NOB,求/MON 的度数.(目的为了计算和书写方便,也为了更好理解,是常法一一强烈建议),则有/CON = 6x,再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到/ MON=0.5 /CON=3x,ZBOM= ZMON+ /NOB=3x+2x=9O 。,求出 x 的值,进一步即可得ZMON的度数.【解】设/NOB=2x,/BOC=8x, 贝U/CON= /COB - /BON=8x - 2x=6x.vOM 平分/CON,/ION=O.5 ZCON=3x,vOM 丄 AB,zAOM=
2、9O ,zBOM= ZMON+ /NOB=3x+2x=90 ,即/MON的度数为54 .【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,同时务必要注意解题规范,几何书写入门必须严格掌握【练习】如图,已知AB、CD相交于点O, OB平分/COE, OF丄AB于O,(1)若/EOF=12O。,求/OD 的度数;(2)若/BOE=1/4 ZEOF,求/DOE 的度数解 (1) OF 丄 AB ,二/ BOF=9O又/ EOF=12O/ BOE= / EOF -/ BOF=3Ov OB 平分/ COE/ BOC= / BOE=3Ov/ AOD=
3、 / BOC/ BOC=3O ;(2)设 ZBOE = x,则 ZEOF=4xv/3OF= ZEOF-ZBOE3x=90 ,解得x=30 OB 平分/COE,zCOE=2 /BOE=2x=60 zDOE=180 -/OE=120 .【例题】如图,直线EF, CD相交于点O, OA丄OB,且OC平分/AOF ,若/AOE=40。,求启OD的度数;若/AOE= a,求ZBOD的度数(用含a的式子表示);从(2)的结果中能看出/ AOE和ZBOD有何关系?(邻补角的定义),zAOF=180 /OE,=180 400 = 140 ;又VOC平分/AOF,zFOC=0.5 ZAOF=70 ,zEOD=
4、ZFOC=70 (对顶角相等);而/BOE= ZAOB ZAOE=50 zBOD= ZEOD -ZBOE=20 ;(2)v/AOE+ ZAOF=180 ,(邻补角的定义)zAOF=180。AOE=180 -a;又vOC平分ZAOF ,zFOC=0.5 ZAOF=90 -0.5 a,zEOD= ZFOC=90 -0.5 a(对顶角相等);而/BOE= ZAOB -ZAOE=90 -a,zBOD= ZEOD -ZBOE=0.5 a;(3)从(1)( 2)的结果中不难观察出:Z AOE=2 /BOD .【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、 角平分线的定义是解题的关
5、键,注意领会解题思路和解题过程和格式 几何入门 书写必须严格规范【练习】O为直线DA上一点,OB丄OF , EO 是ZAOB的平分线.(2)若 ZAOB= a, 90 a180。,求 ZOF 的度数;(3)若ZAOB= a,0 a90。,请在图(2)中画出射线OF,使得(2)中/EOF的结果仍然成立.【解答过程】(1)vEO是ZAOB的平分线,zSAOB=130 ,zAOE = 0.5 ZAOB = 65.OB 丄 OF, aZBOF=90 ,ZOF= ZAOB -ZBOF=130 -0 =40 ,ZEOF= ZAOE -ZAOF=65 -0 25 ;(2)VZAOB= a, 90 a80EO
6、 是ZAOB的平分线,ZOE=0.5 ZAOB = 0.5 a, vZ3OF=90 ,aZOF= a-90 ZEOF= ZAOE -ZAOF=0.5 a-(a90 )=90 0-0.5 a;(3)如下图示, ZOB= a, 0 a0 ,v/BOF=90 ,zEOF= /BOF-/BOE=90 0 0.5 a.ZCFE= ZE. 求【试题】 如图,AB /CD , AE平分/BAD , CD与AE相交于F,证:AD /BC.AD /BC的条ZCEF= ZF. 求【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于 件:内错角/2和/E相等.证明:TAE平分/BAD ,/= Z2,AB /CD
7、 ,/= ZCFEvzCFE=ZE,/= ZE,AD /BC.【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用.【拓展】 如图,AB /CD , AE平分/BAD , CD与AE相交于F, 证:AD /BC.【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于 AD /BC的条件:内错角/2和/E相等.证明:YAE平分/BAD ,/= / ,AB /CD ,/= ZCFEv/CEF=ZF,/= ZE,AD /BC.【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系,再结合图形 思考,展开想象,探寻动与静的规律与联系【例题】已知:如图,点B在直线AC 上, BE和AD交于
8、F点,ZA= ZADE, ZC= ZE.(1)若ZEDC=3 /C,求ZC的度数.(2)求证:BE/CD.(1)v/A= ZADE,AC /DE,ZEDC+ /C=180 ,又v/EDC=3 ZC,4 ZC=180 ,即/C=45 ;(2):AC/DE,ZE= ZABE,又vZC= ZE,zC= ZABE,BE/CD .【反思】(1)要能回答出上面每一步推理的根据,特别要注意逻辑顺序 (2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用,解题时应注意判定与性质的区别,不可用错.【拓展】已知:如图,点B在直线AC 上, BE和AD交于F点,ZA= ZADE , ZDCB=/DEB.(1)若 ZDCB
9、=3 /EDC,求 ZDCB 的度数.(2)求证:BE/CD.【例题】如图,D、E在ABC的边AB上,F点在边BC上,已知ZAGD= ZACB ,Z1= Z2 .求证:CD /EF.C F B【拓展1】如图,D、E在ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知ZAGD= ZACB,/仁 Z2 .求证:CD /EF.F C B【拓展2】如图,D、E在ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线上,已知ZAGD= ZACB,Z1= Z .求证:CD /EF.BC【拓展1】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知ZA= ZAFD,/C= ZD,求证 BD /C
10、E.【拓展3】如图,D、E在ABC的边AB所在的直线上,F点在边BC所在直线【例题】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已知ZA= ZF,ZC= ZD,求证 BD /CE.上,已知ZAGD= ZACB,Z1= Z2 .求证:CD /EF【拓展2】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、E、F也在同一直线上,已E、F也在同一直线上,已【拓展2】如图,A、B、C三点在同一直线上,D、知/CAF= ZAFD,/C= ZD,求证 BD /CE.求Z的度数.【例题】 如图,直线a /b, AC丄BC,Z2=55【分析】Z1与/2均不是“三线八角”的角,因此通过a/b,想方设法构造“
11、三 线八角”,建立/ 1、/2及ZACB之间的联系,从而求出/ 2的度数.法一:如下图示,【反思与拓展】角形内角和定理”)BF与AC的位置关系,并说明理由.理由: vAGF= ZJABC ,BC /GF又 V/1+ 72=180 ,22+ /3=180 ,BF/DE;zAFB = ZAEDDE丄 AC,zAED = 90 zAFB = 90 BF丄 AC.【点评】本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内 错角、同旁内角,并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键. 解题时要注意几何语言书写格式与过程,同时要注意思路与正确解答之间的关系 【拓展1】已知,如图,DE丄AC于
12、E,ZAGF= 2ABC ,21 =/2,试判断BF与 AC的位置关系,并说明理由.【拓展2】已知,如图,DE丄AC于E,ZAGF= ZABC,21 =/2,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.【拓展3】已知,如图,DE丄AC于E,ZAGF= /ABC ,/BDE = /BFC,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?并加以证明;(2)若/CEF=70。,求/CB 的度数.o,QBF=20FB=130(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?并加以证明;(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?并加以证明;(2)若ZCEF=70。,求ACB 的度数.【试
13、题】 如图,已知/ 1+ 72=180 , B= Z3,求证:DE /BC.【拓展1】如图,已知7 1 = 72 ,7DBF= 7DEF,求证:DE /BC.【拓展2】如图,已知7 1 = Z2 ,/4+ ZDEF= 180,求证:DE/BC.【例题】 如图,AB /CD ,7ABE=70 ,7CE=144。,求启EC的度数.【分析】图中虽有AB /CD,但无法直接得到“三线八角”,因此必须添加“辅 助线”,将已知和所求的角进行联系,想方设法构造出“三线八角”的基本图形, 然后根据平行线的性质和判定进行转化方法有多种:分别说明如下: 法一:过E点往右侧作EF/CD,如下图示:法三:过B点作BF
14、/CD,交DC的延长线于F,如下图示:法四:过C点作CF/BE交AB的延长线于F,如下图示:【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定,利用已有的平行线,再构造“三 线八角”是解题的关键,当然如果学了三角形(或多边形)的内角和,则解法就 更多了:只要能得到“三线八角”均可得解.【拓展1】如图,AB /CD,/ABE=70 ,QCE=54 ,求启EC的度数【拓展2】如图,AB /CD,/ABE=35 ,QCE=110。,求启EC的度数.【拓展3】如图,AB /CD,ZABE=40 ,QCE=20。,求启EC的度数.【试题】已知AB /CD , ZABE与/CDE两个角的角平分线相交于点F.(1)如
15、图1,若ZE=80。,求启FD的度数.(2)如图 2 中,/ABM=1/3 ZABF,/CDM=1/3 ZCDF,写出/M 与/E之间 的数量关系并证明你的结论.(3)若ZABM=1/n ZABF,ZCDM=1/n ZCDF,设ZE=m ,直接用含有n, m的代数式表示写出/M= .【解析】(1)首先先求出Z ABE+ ZCDE的度数,方法均有4种,下面仅提供一种解法:如下图示,过E点作EG/CD,因AB /CD,所以AB/EG/CD,得至UZABE+ Z=180,ZCDE+ Z1 = 180 从而ZABE+( Z1+ /2)+ ZCDE = 360,而/BED= Z1+ Z2 = 80,所以
16、 ZABE+ ZCDE= 280.BA3BF;EB7ME8ZABE+ /CDE= 360/E,ZABF+ ZCDF = 0.5 ZABE+0.5 ZCDE=0.5 (ZABE+ ZCDE)= = 180 0.5 ZE,再求Z3+ Z4的度数,因BF和DF分别平分Z ABE 和 ZCDE,所以有Z3+ Z4 =0.5ZABE+0.5 ZCDE = 0.5 (ZABE+ ZCDE)= 140.类似上述思路,可求得Z BFD=Z5+ Z6 =Z3+ Z4 = 1400.如下图示:类似前面分析,可得到:(2)如下图示:进一步,得到:Z3+ Z4 = 1/3 ZABF+1/3 ZCDF=1/3( ZAB
17、F+ ZCDF)=1/3 (180 0.5 ZE)=60 1/6 ZE.得到 ZBMD =/7+ Z8=60 1/6 ZE.即 6 ZBMD+ /E= 360 0.(3)与(2)题类似,如下图示:类似前面分析,可得到:ZABE+ /CDE= 3600ZE,ZABF+ ZCDF = 0.5 ZABE+0.5 ZCDE=0.5 (ZABE+ ZCDE)=1800 0.5 ZE,进一步,得到:Z3+ Z4 = 1/n ZABF+1/ n ZCDF=1/n( ZABF+ ZCDF)=1/n ( 1800 0.5m0)=180 0/n m0/(2 n).得到 ZBMD =Z7+ Z8=180 0/n m
18、0/(2 n).即 ZBMD+ ZE= (360 0 m 0)/( 2 n).【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用, 关键在于“如何构造”三线八角“.【拓展】已知AB /CD , ZABE与ZCDE两个角的角平分线相交于点F若/ABM=1/n ZABF,/CDM=1/n /CDF,设ZE=m。,直接用含有n, m。的代数式 表示,写出/ M=【试题】已知:如图,直线a /b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点, 直线d与直线a、b分别相交于A、B两点,点P在直线AB上运动(不与A、 B两点重合).(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,总有:/ CPD= ZPCA+ ZPDB
19、,请说明理由;(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,/ CPD、/PCA、/PDB之间有怎样的数量关系,并说明理由;(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,/ CPD、/PCA、/PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)?【图文解析】前面已有文章分析,此类问题均有 4种解法,其各种情况的结论也类似下 面也仅用一种常用方法简析:每小题均过点P作a的平行线,根据平行线的性质进行求解.【拓展】已知:如图,直线a /b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点,点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合)当点P在如下图的平面各个区域内运动时, 试直接到写出/CPD、ZPCA、/PDB之间的数量关系.如图,/ 1 = Z BDC , CE 丄AE 于 E,/ 2+ / 3 = 180 ,求证:DA 丄AEAD/BE
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