完整版极坐标系教学设计.docx
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完整版极坐标系教学设计
1.2极坐标系〔谷杨华〕
一、教学目标
〔一〕核心素养
通过这节课学习,熟悉极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置,会进行极坐标和直角坐标的互化,在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点.
〔二〕学习目标
1.通过实例,熟悉极坐标系,体会用极坐标表示点的特点.
2,了解用极坐标系表示点的不唯一性.
3.能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
〔三〕学习重点
1.熟悉极坐标系的重要性.
2.用极坐标刻画点的位置.
3.会进行极坐标与直角坐标的互化.
〔四〕学习难点
1.理解用极坐标刻画点的位置的根本思想.
2.熟悉点与极坐标之间的对应关系.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1.预习任务
〔1〕读一读：
阅读教材第8页至第11页,填空：
极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极他；再选定一个长度单位、一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕,这样就建立了一个极坐标系.
极坐标系内一点的极坐标的规定：
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极任,记为；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极鱼,记为.有序数对〔,〕叫做点M的极坐标,记为M〔,〕.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,
可取任意实数.
〔2〕想一想：
点与极坐标有什么关系
一般地,极坐标（,）与（,2k）（kZ）表示同一个点.特别地,极点O的坐标为
（0,）（R）•
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标（,）表示；同
时,极坐标（,）表示的点也是惟一确定的.
（3）写一写：
极坐标系与直角坐标系如何转化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度设M是平面内任意一点,它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（,）,那么：
xcos,ysin
2x2y2,tan-（x0）
x
2,预习自测
（1）在极坐标系中,以下各点中与（2,一）表示的不是同一个点的是（）
3
八5c7c513
A.（2,—）B.（2-）C.（2-）D.（2—）
3333
【知识点】极坐标系
【解题过程】由于极坐标（,）与（,2k）（kZ）表示同一个点,检验得,选项C不是同一
个点
【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得
【答案】C
（2）点A的直角坐标为（0,2）,那么点A的极坐标为（）
A.（2-）B-（2,0）C（-,2）D-（2,-）
222
【知识点】极坐标与直角坐标互化
【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：
02222,显然一
2
【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得
【答案】A
（3）点M的极坐标为（3,—）,那么点M的直角坐标为（）
4
A.（3,3）B.（运,善）C.（3,晅）D.G/3,3V3）
2222
【知识点】极坐标与直角坐标互化
【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：
xcos22,ysin3-2
22
【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得
【答案】B
2一
（4）A、B两点极坐标为A（4,-）,B（6,—）,那么线段AB中点的极坐标为.
33
【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式
【解题过程】将A,B两点化为直角坐标得A（2,2a/3）,B（3,373）,所以中点的直角坐标为（1,―）,化为极坐标得（1,—）
223
【思路点拨】先化为直角坐标,利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点,再化为极坐标
【答案】（1,4）3
（二）课堂设计
1.知识回忆
（1）平面直角坐标系中的点P与坐标（a◎是一一对应的.
2.问题探究探究一结合实例,熟悉极坐标系★・舌动①提出问题,创设情境如右图1是某校园教学平面示意图,假设某同学在教学楼处,请答复以下问题:
3
图1
（1）他向东偏北60方向走120m后到达什么位置该位置唯一
确定吗
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述
（学生答复）
（1）他向东偏北60方向走120m后到达是点C图书馆的位置,该位置唯一确定.
（2）如果去体育馆向正东方向走60m,去办公楼向北偏西
45走50m.
上面刻画位置是以A作为基点,并以射线AB为参照方向,然后利用与A距离和与AB所成角度来描述位置,例如东偏北60,距离120m〞,即利用距离〞和南度〞来刻画平面上点的位置.
在上一节中,我们用在信息中央的西偏北45方向,距离680Mmm处〞描述了巨响的位
置.即以信息中央为基点,以正西方向为参照,用与信息中央的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便,在现实生活中,有很多的应用,例如台风预报,地震预报,测量、航空、航海中主要采用这种方法.
【设计意图】从生活实例到数学问题,引入学习极坐标系概念的必要性,形成用角和距离刻画点的位置的直觉.
■活动②互动交流,类比提炼概念
我们类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系〔学生讨论交流〕
平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与垂直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,垂直的数轴叫做y轴或纵轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点,以点|0为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy.
类比上述过程,我们在平面内取一个定点0,叫做极点；自极点0引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕,这样就建立了一个极坐标系.
极坐标建立后,如何来定义平面中的点的极坐标呢?
M皿G
P「
0X
图2
如右图2,设M是平面内一点,极点0与点M的距离0M叫做点M的极径,记为；以极轴0x为始边,射线0M为终边的角x0M叫做点M的极角,记为.有序数对〔,〕叫做点M的极坐标,记为M〔,〕.
般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.
【设计意图】从特殊到特殊,类比得到极坐标系,让学生不会觉得极坐标系来得太突然,顺其
自然得到点在极坐标系中的定义
・舌动③稳固根底,检查反响
例1在极坐标系里描出以下各点.
455
A（3,0）,B（3,-）,C（5,—）,D（3,—）,E（6,—）2363
【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中
的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】根据点在极坐标的表示,表
示的是点到极点的距离,表示射线与极轴
所成的角,所以个点在极坐标的位置如图.
【思路点拨】欲确定点的位置,需先确定p
和8的值.
【答案】如右图.
同类练习在右图3的极坐标系中描出以下
点的位置：
F（3,—）,G（4,）
4
【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表小
2
【数学思想】数形结合
角,所以个点在极坐标的位置如图3.
【思路点拨】欲确定点的位置,需先确定p和8的值.
【答案】如右图3.
探究二探究点与极坐标的对应关系・舌动①熟悉差异、辨析极坐标系在图1中,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.
我们以点A为极点,AB所在的射线为极轴（单位长度为1m）,建立极坐标系,那么A,B,C,D,E的极坐标分别为（0,0）,（60,0）,（120,-）,（6073,-）,（50,—）
324
建立极坐标系后,给定和,就可以在平面内惟一确定点M,反过来,给点平面内任意一点,也可以找到她的极坐标（,）.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样,极坐标和点事一'一'对应的关系呢
【设计意图】通过对点的极坐标的熟悉,为后面点的极坐标不惟一做好铺垫.
・舌动②合作探究,解决问题
我们来观察以下极坐标表示的点之间有何关系呢
（4）,（42）,（4,4）,（42）
6666
由终边相同的角的定义可知,上述极坐标表示的是同一个点,于是：
一般地,极坐标（,）和（,2k）（kZ）表示同一个点,所以,极坐标和直角坐标不同,
平面内一个点的极坐标有无数种表示
特别地,极点O的极坐标为（0,）（R）
如果我们规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标（,）表示;
同时,极坐标（,）表示的点也是惟一确定的.
同类练习在极坐标系中,写出以下列图中各点的极坐标（0,02）
A（4,0）B（）C（）
D（）F（）G（）
【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】根据点A的极坐标,可以得到其它点的极坐标B（2,-）,
4
一—5_4-5
C（3,-）,D（1,—）,F（6,—）,G（5,—）.2633
【思路点拨】
（1）写点的极坐标要注意顺序：
极径p在前,极角8在后,不能把顺序颠倒了.
（2）点的极坐标是不惟一的,但假设限制p>0,0<0<2%那么除极点外,点的极坐标是惟一确定的.
545
【答案】B（2,-）,C（3,-）,D（1—）,F（6,—）,G（5—）.
42633
【设计意图】通过辨析熟悉点的极坐标是不唯一的,加深对极坐标系的熟悉.
探究三实现极坐标与直角坐标的互化・舌动①归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标来表示,那么这两种坐标之间有何联系呢
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,
如图5所示.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（,）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：
222
xcosxy
y,
ysintan（x0）
x
这就是极坐标和直角坐标的互化公式.
【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系.
活动②稳固根底,检查反响
例2分别把以下点的极坐标化为直角坐标
（D（2,-）
（2）（3,-）
62
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【解题过程】
xcos2cos—3
（1）由6所以点的极坐标（2,—）化为直角坐标为（J3,1）.
6
ysin2sin-16
xcos3cos0
（2）由2所以点的极坐标（3,金）化为直角坐标为（0,3）.
ysin3sin32
【思路点拨】将点的极坐标〔,〕化为点的直角坐标〔x,y〕时,运用到求角8的正弦值和余弦值,
熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角包等变换公式是关键.
【答案】〔1〕〔居1〕〔2〕〔0,3〕.
同类练习分别把以下点的极坐标化为直角坐标
…2,、
〔D〔4,——〕⑵〔,〕
3
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【数学思想】
2八
xcos4cos——2
【解题过程】〔1〕3所以点的极坐标〔4,2〕化为直角坐标为
23
ysin4sin——2,33
〔2,2场.
〔2〕由、C0scos所以点的极坐标〔,〕化为直角坐标为〔,0〕.
ysinsin0
【思路点拨】将点的极坐标〔,〕化为点的直角坐标〔x,y〕时,运用到求角8的正弦值和余弦值,
熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角包等变换公式是关键.
【答案】〔1〕〔2,2再〕〔2〕〔,0〕.
例3点B、C的直角坐标为〔2,2〕,〔0,15〕,求它的极坐标〔户0,0令2九〕.
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【解题过程】:
4Jx2+y2J22〔2〕2272,tan—1,且点位于第四象限,仁工工
24
点B的极坐标为〔2^,U〕.
4
又.x=0,y<0,肉15,.••点C的极坐标为〔15二〕.
2
【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时,一般取0,02,即8取最小正角,由tan81
x
求8时,还需结合在直角坐标系下点〔x,y〕所在的象限来确定8的值.
【答案】B〔2也,左〕C〔15,2〕.
42
同类练习分别把以下点的直角坐标化为极坐标〔限定p>,0008<2冗〕
（1）（a/3,3）;
（2）（1,1）;（3）（3,0）.
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【数学思想】
【解题过程】
（1）（3）23223,tan33
又由于点在第一象限,所以一.所以点（73,3）的极坐标为（2百,一）.
33
（2）J
（1）2
（1）2J5,tan31
又由于点在第三象限,所以舁.所以点（1,1）的极坐标为«2,—）.
44
（3）J（3）2023,极角为,所以点（3,0）的极坐标为（3,）.
【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时,一般取Q02,即8取最小正角,由tan8」
x
求8时,还需结合在直角坐标系下点（x,y）所在的象限来确定8的值.
【答案】
（1）⑵包―）
（2）（V2,—）（3）（3,）.
34
【设计意图】稳固检查极坐标与直角坐标互化公式.
3.课堂总结
知识梳理
（1）极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.
（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对（,）叫做点M的极坐标,记为M（,）.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.
（3）如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标（,）表示;
同时,极坐标（,）表示的点也是惟一确定的.
（4）把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如下列图.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是yk
（x,y）,极坐标是（,）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：
222
xcosxy
y,ysintan（x0）
x
重难点归纳
（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：
①极点;
②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
（2）写点的极坐标要注意顺序：
极径p在前,极角8在后,不能颠倒顺序
（3）假设两个坐标系符合三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合；
（2）极轴与直角坐标
系的x轴的正半轴重合；（3）两种坐标系的单位长度相同.那么其相互转化：
22y,〜
xy,tan-（x0）
x
xcos,ysin
（三）课后作业
根底型自王突破
1.极坐标系中,点P（2,1）到极点的距离是（）
A.0B.1C.2D.2
【知识点】极坐标的定义.
【解题过程】由极坐标定义P（2,1）2,故P到极点的距离为2n.
【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断.
【答案】D.
2,以下各点中与极坐标（5,9表示同一个点的是（）.
A.（5,y）B.（5,号）C.（5,y）D.（5,-）
【知识点】点在极坐标系中的表示.
【数学思想】
【解题过程】根据极坐标（5,1）和（5,12k）（kZ）表示同一个点,取k1,得选项B.
【思路点拨】极坐标（,）和（,2k）（kZ）表示同一个点.
【答案】B.
3.在直角坐标系中点P1,33,那么它的极坐标是
44
A.2,—B.2,——C.2,—D.2,——
3333
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【解题过程】由于,（厨122,tan产收,且点在第四象限,所以选C
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解.
【答案】C.
…,一.兀7兀一.一
4.O为极点,A2,一,B5,一,那么Saob（）
36
A.2B.3C.4D.5
【知识点】极坐标和直角坐标的互化,三角形面积.
【数学思想】数形结合思想
_..一一一771r一一...冗
【解题过程】由于A2,一,B5,一,所以AOB—,那么三角形为直角三角形,那么面362
一一1一一■,
积为—255,所以选D.
2
【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可.
【答案】D.
5.规定0,R,那么极轴上极点以外的点的极坐标为.
【知识点】点与极坐标系的关系.
【数学思想】
【解题过程】由于在极轴上且不是极点,所以极角2k,kZ,极径0,所以极坐标为
（,2k）（kZ）.
【思路点拨】根据极坐标的定义来处理.
【答案】（,2k）（kZ）.
6.极坐标系中,与点（3,勺）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.
【知识点】点的极坐标.
【解题过程】由于（3,―）关于极轴所在直线对称的点为（3-）.33
【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解.
【答案】（3,—）.3
水平型师生共研
7.在极坐标系中,到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（）
A.（1,0）B.（2,-）C.（3-）D.（4,）
42
【知识点】极坐标的定义、点的极坐标.
【数学思想】数学结合
【解题过程】由题意知y,又由ysin,sin,所以sin1,所以选C
【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化.
【答案】C
8.点的极坐标分别为A（3,-）,B（2,2-）,C（—,九）D（-4,-）,求它们的直角
4322
坐标.
【知识点】直角坐标与极坐标互化.
【解题过程】根据x=pcos9,y=份in8得A（义2,返）,B（-1,73）,C（—,0）,D（0,222
一4）
【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解.
【答案】A（野,蜉）,B（-1,6）,C（g,0）,D（0,-4）
222
探究型多维突破
9.点的直角坐标分别为A（3,由）,B（0,—）,C（-2,273）,求它们的极坐标（p>0,0茶3
<2几.）
【知识点】直角坐标与极坐标互化.
）•
【解题过程】
（2）根据情=x2+y2,tan4义得人（2褥,—）,B（—,—）,C（4,x636
【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解.
【答案】A（2^3,-）,B（—,—）,C（4,—）.6363
10.某大学校园的局部平面示意图如图：
用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车
库,花园,其中AB
BC|,|OC|600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐
标（限定0,02冗且极点为（0,0））.
【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置.
【解题过程】
以O为极点,OA所在射线为极轴建立极坐标系,由于|OC|600,AOC-,
6
故C600,
6
OG1502
【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可.
自助餐
【思路点拨】将A,B两点的极坐标标在极坐标系中可得.
【答案】C
2
.设点P对应的复数为一3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,那么点P的极坐标为〔〕
【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化.
【解题过程】复数33i对应的点的直角坐标为〔3,3〕,
由由3〕2322>/3,tan—1,且点在第二象限,所以选A.
3
【思路点拨】先把复数化为直角坐标,再化为极坐标.
【答案】A.
3.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同
冗一.一一.
的单包长度,将点P的极坐标2,-化成直角坐标.
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
_一.、,一一一.,..,.…冗
【斛题过程】由点P的极坐标为2,4,设点P的直角坐标为〔x,y〕,所以
x2cos-v2,y2sin-v2.
44
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解.
【答案】
5—
4.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,建立直角坐标系,那么极坐标M（2021,一）表
3
示的点在第象限.
【知识点】极坐标与直角坐标互化.
【解题过程】根据xcos2021cos皂于,ysin2021sin^
3232
所以点在第四象限.
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解.
【答案】四
5.在极坐标系中,分别求以下条件下点M（3,§）关于极轴的对称点M的极坐标:
⑴0,0,2.
（2）0,R
【知识点】极坐标系中点的刻画.
【解题过程】1）当0,0,2时,点M（3,—）关于极轴的对称点M的极坐标为（3,5-）.
33
5
（2）0,R时,点M（3,—）关于极轴的对称点M的极坐标为（3,2k—）（kZ）.
33
【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解.
55
【答案】
（1）（3,—）；
（2）（3,2k—）（kZ）.
33
6.在极坐标系中,三点M（2,—）,N（2,0）,P（2J3,—）.
36
（1）将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标；
（2）判断M,N,P三点是否在一条直线上.
【知识点】极坐标与直角坐标互化
x=pcos0,L
【解题过程】
（1）由公式得M的直角坐标为（1,—於）;
y=psin0,
N的直角坐标为（2,0）;P的直角坐标为（3,V3）.
V3V3一0
⑵「kMN==V3,kNP=-v3,
2—I3—2
kMN=kNP,M,N,P三点在一条直线上.
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解.
【答案】
（1）M（1,一5N（2,0）,P（3,回
（2）在同一条直线上.
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