二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.计算：
（丄）-】-11-佢1=.
3
12.因式分解：
m3n-mn3=・
13.据报道，2020年4月9日下午，黄石市•重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共
签项目20个，总投资137.6亿元.用科学记数法表示137.6亿元，可写为元.
A
O
\
—
—
7
If
C
14.某中学规左学生体育成绩满分为100分.按课外活动成绩、期中成绩.期
末成绩2：
3：
5的比，计算学期成绩.小明同学本学期三项成绩依次为90
分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是分.
15.
B、C为格点，作AABC的外接圆，则BC的长等于
如图，在6X6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、
16・匈牙利著名数学家爱尔特希（P・Erdos,1913-1996）曾提出：
在平而内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则ZADO的度数是・
≡>解答题（本人题共9小题，共72分•解答应写出必要的文字说明.证明过程或验算步骤）
17.（7分）先化简，再求值：
罕进L-亠，其中χ=5.
X2-I旷1
1&（7分）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18√3米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,求乙栋楼房CD的髙度（结果保留根号）.
19.（7分）如图，AB=AE,AB〃DE,ZDAB=70a,ZE=40o.
（1）求ZDAE的度数：
（2）若ZB=30°,求证：
AD=BC.
20.
（7分）如图，反比例函数y=±（k≠0）的图象与正比例函
X
数y=2x的图象相交于A（La）、B两点，点C在第四象限，BC∕∕x轴.
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD,求D点坐标.
21・（8分）已知：
关于X的一元二次方程χ2+√^x-2=O有两个实数根・
（D求m的取值范围：
（2）设方程的两根为X】、x2,且满足（x1-x2）2-17=0,求m的值.
22.（8分）我市将而向全市中小学开展“经典诵读”比赛.某中学要从2需男生2名女生共4爼学生中选派2名学生参赛.
（1）请列举所有可能岀现的选派结果：
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率.
23.（8分）我国传统数学名著《九章算术》记载：
“今有牛五、羊二，直金十九两：
牛二、羊五，直金
十六两.问牛、羊各直金几何？
”译文：
“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？
”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人
有几种购买方法？
列出所有的可能.
24.
（10分）如图，在Rt∆ABC中，ZC=90°,AD平分ZBAC交BC于点D,O为AB上一点，经过点A、D的ΘO分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：
BC是OO的切线：
（2）若BE=8,SinB=-L,求00的半径；
13
（3）求证：
AD2=AB∙AF.
25.（10分）在平而直角坐标系中，抛物线y=-χ2+kx-2k的顶点为N.
（1）若此抛物线过点A（-3,1）,求抛物线的解析式：
（2）在
（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接AB,C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直X轴于点D,CD交AB于点E,若CE=ED,求点C坐标：
（3）已知点M（2-毁3,0）,且无论k取何值，抛物线都经过定点H,当ZMHN=60°时,
3
求抛物线的解析式・
备用图
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.3的相反数是（）
A.3B.-3C.2D.-丄
33
【知识考点】相反数.
【思路分析】根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前而加负号.
【解题过程】解：
根据相反数的槪念及意义可知：
3的相反数是-3.
故选：
B.
【总结归纳】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.
2.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）
【知识考点】轴对称图形；中心对称图形.
【思路分析】根据中心对称图形和轴对称图形的泄义逐个判断即可.
【解题过程】解：
A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意：
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选:
D.
【总结归纳】本题考査了中心对称图形和轴对称图形的左义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键.
3.
如图所示，该几何体的俯视图是（）
【知识考点】简单几何体的三视图.
【思路分析】根据俯视图的概念求解可得.
【解题过程】解：
该几何体的俯视图是
故选：
B.
【总结归纳】本题考査了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.
4.下列运算正确的是（）
A.8a-3b=5abB.（a2）3=a5C.a9÷a3=a3D.a2∙a=a3
【知识考点】合并同类项；同底数幕的乘法：
呈的乘方与积的乘方：
同底数幕的除法.
【思路分析】根据合并同类项法则和幕的运算法则进行解答便可.
【解题过程】解：
A.不是同类项不能合并，选项错误：
B.原式=a2×3=a6,选项错误：
C.a9÷a3=a9^3=a6,选项错误;
D.a2∙a=a2+l=a3,选项正确.
故选：
D.
【总结归纳】本题主要考査了合并同类项法则和幕的运算法则，熟记法则是解题的关键.
5.函数y=-J-+√χ-2的自变虽:
X的取值范用是（）
χ-3
A.x22,且XH3B.xM2C.x≠3D.x>2,且x≠3
【知识考点】函数自变量的取值范围.
【思路分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0,就可以求岀X的范囤.
【解题过程】解：
根据题意得：
X-220,且x-3≠0,
解得X鼻2,且x≠3.
故选：
A.
【总结归纳】本题考查的是函数自变捲取值范用的求法.函数自变疑的范用一般从三个方面考虑:
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0：
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.
6.不等式组IX-I［彳的解集是（）
l2x+9>3
A.-3≤x<3B.x>-2C.-3≤x<-2D・x≤-3
【知识考点】解一元一次不等式组•
【思路分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.
【解题过程】解：
不等式组fx"1<"3Φ,
L2x+9>3@
由①得：
x<-2,
由②得：
x≥-3,
则不等式组的解集为-3≤x<-2,
故选：
C・
【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
7.在平面直角坐标系中，点G的坐标是（-2,1）,连接OG,将线段OG绕原点O旋转180°,得到对应线段OG,则点G的坐标为（）
A.（2,-1）B.（2,1）C.（L-2）D.（-2,-1）
【知识考点】坐标与图形变化-旋转.
【思路分析】根据中心对称的性质解决问题即可.
【解题过程】解：
由题意G与G'关于原点对称，
VG（-2,1）,
：
.G'（2,-1）,
故选:
A.
【总结归纳】本题考查旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
&如图，在RtΔABC中，ZACB=90°,点H、E、F分別是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH=8,则CH的值为（）
A.3B.4C.5D.6
【知识考点】直角三角形斜边上的中线：
三角形中位线定理.
【思路分析】根据三角形的中位线左理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得即可.
【解题过程】解：
T在Rt∆ABC中，ZACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，
∙∙∙EF=丄AB,CH=2aB,
22
VEF+CH=8,∙∙∙CH=EF=Zχ8=4,
2
故选:
B.
【总结归纳】本题考査了直角三角形的性质以及三角形的中位线左理，熟练掌握各左理是解题的关键.
9.如图，点A.B、C在ΘO±,CD丄OA,CE丄OB,垂足分别为D、E,若ZDCE=40°,则ZACB的度数为（）
【知识考点】垂径龙理：
圆周角定理.
【思路分析】先根据四边形的内角和为360°求ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,再
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得ZP的度数，最后由四点共圆的性质得结论.
【解题过程】解：
如图，在优狐AB上取一点P,连接AP,BP,
VCD±OA,CE丄OB,
ΛZODC=ZOEC=90°,
VZDCE=40°,
ΛZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,
∙∙∙ZP=2zaOB=70°,
2
VA.C、B、P四点共圆，
ΛZP+ZACB=180°,
ΛZACB=I80o-70o=IIOO,
故选：
C.
【总结归纳】本题考查的是圆周角左理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
10.若二次函数y=a<χ2-bx-c的图象，过不同的六点A（-1,n）、B（5,n-1）、C（6,n+1）、
D（∖∣~2,yi）、E（2»y?
）、F（4,y3）,则yi、y2、y3的大小关系是（）
A.y1【知识考点】二次函数的图象：
二次函数图象上点的坐标特征.
【思路分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（-1,n）、B（5,n-1）、C（6,n+l）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得.
【解题过程】解：
•・•二次函数y=a2x2-bx-c的图象过点A（-1,n）、B（5,n・1）、C（6,n+l）,
・••抛物线的对称轴直线X满足2.∙.抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
VD（√2>yi）、E（2,y?
）、F（4,y3）,
则y2
故选:
D.
【总结归纳】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.计算：
（丄）-】-Il-√2l=
3
【知识考点】实数的运算；负整数指数幕.
【思路分析】原式利用负整数指数幕法则，以及绝对值的代数意义汁算即可求出值.
【解题过程】解：
原式=3-（V2-1）=3-V⅞-l=4-V^2.故答案为：
4-√2.
【总结归纳】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幕，熟练掌握运算法则是解本题的关键•
12.因式分解：
nfn-mn*=.
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【思路分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
【解题过程】解：
原式=mn（nι2-n2）=mn（nι+n）（m-n）.
故答案为：
mn（m+n）（m-n）.
【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目20个，总投资137.6亿元.用科学记数法表示137.6亿元，可写为元.
【知识考点】科学记数法一表示较大的数.
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤IaKlO,n为整数.确泄n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值MlO时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负数.
【解题过程】解：
137.6亿元=137********元=1.376X1Ow元，
故答案为:
1.376X1OK）.
【总结归纳】此题考査了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中l≤∣al<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
14.某中学规泄学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：
3：
5的比，计算学期成绩.小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是分.
【知识考点】加权平均数.
【思路分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可.
故答案为:
85.
【总结归纳】本题考査加权平均数的意义和讣算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数
的计算方法是正确解答的前提.
15.如图，在6X6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作厶
ABC的外接圆，则就的长等于
A
O
\
C
—
7
【知识考点】三角形的外接圆与外心：
弧长的计算.
【思路分析】由AB、BC、AC长可推导出AACB为等腰直角三角形，连接OC,得岀ZBOC=90。
，计算出OB的长就能利用弧长公式求出衣的长了.
【解题过程】解：
I每个小方格都是边长为1的正方形,
A
、
0
t
\
C
7
J
ΛAB=2√5^AC=√I5,BC=√10,
ΛAC2+BC2=AB2,
ΛΔACB为等腰直角三角形，
ΛZA=ZB=45°,
•••连接OC,则ZCOB=90°,
VOB=√5t
ΛBC的长为：
90・兀匹兀,
ISO2
故答案为：
医仏
2
【总结归纳】本题考査了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角泄理，解题关键是利用
三角形三边长通过勾股立理逆泄理得出AACB为等腰直角三角形.
16.匈牙利箸名数学家爱尔特希（P・Erdos,1913-1996）曾提出：
在平而内有n个点，其中每三
个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集・如图,
是由五个点A、B、C、D.O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形
【知识考点】数学常识：
等腰三角形的性质：
多边形内角与外角：
正多边形和圆.
【思路分析】先证明△AOB^ΔBOC^ΔCOD,得出ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZOCB=ZOCD=ZODC,ZAOB=ZBOC=ZCOD,然后求出正五边形每个角的度数为108°,从而可得ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZoCB=ZOCD=ZODC=54o,ZAOB=ZBOC=ZCOD=72o,可计算出ZAOD=I44°,根据OA=OD,即可求岀ZADO.
【解题过程】解：
•・•这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∙'∙根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD,
.∖∆AOB^ΔBOC^ΔCOD（SSS）,
∙∙∙ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZOCB=ZoCD=ZODC,ZAOB=ZBOC=ZCOD,
•••正五边形每个角的度数为：
X18Q-=IO8°,
5
∙∙∙ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZOCB=ZOCD=ZODC=54°,
：
.ZAOB=ZBOC=ZCOD=（180°-2X54°）=72°,
ΛZAOD=360o-3×72o=144°,
TOA=OD,
ΛZADO=（180°-144°）=18°,
故答案为：
18°.
【总结归纳】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判泄和性质，求出ZAOB=ZBOC=ZCOD=72°是解题关键.
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
2
17・（7分）先化简，再求值：
%乎岌T■亠,其中x=5.
x2-lT
【知识考点】分式的化简求值.
【思路分析】原式第一项约分后，两项利用同分母分式的减法法则汁算得到最简结果，把X的值
代入计算即可求出值・
【解题过程】解：
原式=τ4⅜j、
_⅞+l_X
x-1x-1
-1
x-1*
当x=5时，原式=丄.
4
【总结归纳】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键・
18・（7分）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对而的乙栋楼房CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距⅛AC=18√3^,小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,求乙栋楼房CD的
髙度（结果保留根号）・
【知识考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【思路分析】由三角函数建义求出DE=BEXtan30o=18,证出AABC是等腰直角三角形，得出CE=AB=AC=I8√3＞进而得岀答案.
【解题过程】解：
如图所示：
由题意得：
BE=AC=I8√3>CE=AB,ZDBE=30°,ZCBE=45°,在RtΔEDB中，ZDBE=30o,-21=tan30o,
BE
ΛDE=BE×tan30o=18√3×^-=18,
3
在Rt∆ABC中，ZABC=90°-45°=45°,
ΛΔABC是等腰直角三角形，ACE=AB=AC=18√3^.∖CD=DE+CE=18+18√3（米）：
答：
乙栋楼房CD的高度为（18+18√3）米.
【总结归纳】本题考查解宜角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判左与性质等知识：
解题的关键是借助仰角构造直角三角形，利用三角函数左义解直角三角形.
19.（7分）如图，AB=AE,AB〃DE,ZDAB=70o,ZE=40o・
（1）求ZDAE的度数：
（2）若ZB=30°,求证：
AD=BC・
【知识考点】平行线的性质；全等三角形的判立与性质.
【思路分析】
（1）根据平行线的性质可得ZEAB,再根据角的和差关系即可求解:
（2）根据ASA可证△ADE昌ABCA,再根据全等三角形的性质即可求解•【解题过程】解（I）TAB〃DE,ZE=40o,
ΛZEAB=40^,
VZDAB=70o,
ΛZDAE=30o:
（2）证明：
在厶ADE与ABCA中,",B=ZDAE
*AB二AE,
ZBAC=ZE
Λ∆ADE^ΔBCA（ASA）,
AAD=BC・
【总结归纳】本题考査了全等三角形的性质和判定.全等三角形的判泄泄理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL,全等三角形的对应角相等.
20.（7分）如图，反比例函数y=土（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1,a）.X
B两点，点C在第四象限，BC〃x轴.
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD,求D点坐标・
【知识考点】反比例函数综合题.
【思路分析】
（1）根据点A（l,a）在y=2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y=±
X
（k≠0）的图象与反比例函数y=2x的图象相交于A（1,a）,即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数y=2和正比例函数y=2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形
X
的性质可确定点D的坐标.
【解题过程】解：
（I）J点A（1,a）在直线y=2x上，
∙°∙a=2X1=2,
即点A的坐标为（1,2）,
•••点A（1,2）是反比例函数y=±（k≠0）的图象与正比例函数y=2x图象的交点，
X
∙*∙k≡1X2=2,
即k的值是2：
（2）由题意得：
Z=2x,
X
解得：
X=I或-1,
经检验X=1或-1是原方程的解，
∙∙∙B（-1,-2）,
Y点A（1,2）,
∙,∙AB=V（l+1）2+（2+2）2=2^
Y菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC〃x轴，
ΛAD=AB=2√5>
∙∙∙D（l+2√5∙2）.
【总结归纳】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
21.（8分）已知：
关于X的一元二次方程x2÷√^x-2=0有两个实数根.
（1）求m的取值范围：
（2）设方程的两根为X"x2,且满足（X1-X2）2-17=0,求m的值.
【知识考点】根的判別式；根与系数的关系.
【思路分析】（I）根据方程的系数结合根的判别式，即可得£△=m+820,根据二次根式的意义即可得出m20,从而得岀m的取值范用；
（2）根据根与系数的关系可得Xl+X2=-VdX1∙X2=-2,结合（X「X2）2-17=0即可得岀关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.
【解题过程】解：
（I）Y关于X的一元二次方程x2+√^x-2=O有两个实数根，
Λ∆=[√r]2-4×1×（
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