二重积分对称性定理证明与应用.docx
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二重积分对称性定理证明与应用
摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...⋯1
要点词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..1
Abstract⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
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Keywords⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.1
前言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
...1
1．预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.1
2．二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯2
分地域D关于坐称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2
分地域D关于坐地域内任意直称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.⋯.5
分地域D关于坐原点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.⋯⋯9
分地域D关于坐地域内任意一点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...⋯⋯11
分地域D同关于坐和坐原点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.12
结束语⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.12
参照文件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
...⋯.13
二重积分对称性定理的证明及应用
摘要：
本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理
的证明并举出了相应例题．
要点词：
对称性；积分区城；被积函数
TheApplicationofSymmetryinDoubleIntegralCalculating
Abstract：
Itisintroducedinthethesissomewaysofhowtocalculatedoubleintegralwiththeapplicationofsymmetry.Itisalsoputforwardinithowtosimplifythecalculatingmethodswithsymmetry.
Keywords：
Symmetry;Integralregion;Integratedfunction
前言
利用对称性计算二重积分，不仅好够使计算简化，有时还可以够防范错误．在一般情
况下，必定是积分地域D拥有对称性，而且被积函数关于地域D也拥有对称性，才能利
用对称性来计算．在特别情况下，诚然积分地域D没有对称性，也许关于对称地域D被
积函数没有对称性，但经过技巧性的办理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都
是很值得我们商议的问题．
1预备知识
关于二重积分f（x,y）dxdy的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在
D
定积分的计算中，假设遇到对称区间，那么有下面特别简洁的结论：
a
f（x）dx
0
当f（x）在区间上为连续的奇函数时，
．
a
a
f（x）dx
2
a
当f（x）在区间上为连续的偶函数时，
f（x）dx．
a
0
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．
在计算二重积分时，假设积分地域拥有某种对称性，可否也有相应的结论呢？
答复是
必定的．下面，我们将此结论近似地实行到二重积分．
2二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用
1
定理1
1
假设二重积分
f（x,y）dxdy满足
D
（1）
地域D可分为对称的两局部D1和D2，对称点P
D1，P
D2；
（2）
被积函数在对称点的值
f（P）与f（P）相同或互为相反数；
那么
0
f（P）
f（P）
f（x,y）dxdy
2
（fP）
．
D
f（x,y）dxdy
（f）P
D1
其中P的坐标依照D的对称性的种类而确定．
积分地域D关于坐标轴对称
积分域D关于ｘ轴对称，f（x,y）为D上的连续函数
定理2
若是积分域D关于x轴对称，f（x,y）为y的奇偶函数，那么二重积分
0
，f（x,
y）
f（x,y）
f（x,y）dxdy
2
f（x,y）dxdy，f（x,
y）
f（x,y）
，
D
D1
其中D1为D在x轴的上半平面局部．
证明
f（x,y）dxdy
f（x,y）dxdy
f（x,y）dxdy
（1）
D
D1
D2
假设地域D对称于x轴（图1），对任意P（x,y）
D1，其对称点P（x,y）
D2
D10y（x）,axb，D2
（x）y
0,a
xb，令
2
xx，
yt
那么D2变换为xot坐标面上的D1
0
t
（x），a
xb
，且雅可比行列式
（x,y）
1
0
（x,t）
0
1．
1
故
f（x,y）dxdyf（x,t）
1dxdtf（x,y）dxdy
D2
D1
D1
f（x,
y）dxdy,
（f,x
）y
（f,x）y
D1
，
f（x,y）dxdy,
（f,x
）y
（f,x）y
D1
于是，代入〔1〕式得：
0
f（x,y）
f（x,y）
f（x,y）dxdy
2
f（x,y）dxdy,
f（x,y）
f（x,
y）
．
D
D1
例1
计算
yln（1
x2
y2）dxdy，其中地域D：
x2
y2
1,x0
D
解
f（x,y）
yln（1
x2
y2）是关于y的奇函数且D关于x轴对称，
因此
yln（1x2y2）dxdy0．
D
例2计算sin（x2y2）dxdy，其中地域D：
x2y24,x0
D
解由于f（x,y）sin（x2y2）是关于y的偶函数，且D关于x轴对称，
因此
sin（x2
y2）dxdy2
sin（x2
y2）dxdy
D
x2
y2
4
x
0
采用极坐标
2
2
sin（x2
y2）dxdy
2
2d
rsinr2
x2
y24
0
0
x
0.y0
3
（1cos4）
2
2.1.2积分域D关于y轴对称，f（x,y）为D上的连续函数
定理3
若是积分域D关于y轴对称，f（x,y）为x的奇偶函数，那么二重积分
0
，f（
x,y）
f（x,y）
f（x,y）dxdy
，
，
2
（f,x）y
（f,x）y
f（x,y）dxdy
D
D1
其中D1为D在y轴的右半平面局部．
证明假设地域D对称于y轴（图2），对任意P（x,y）D1，对称点P（x,y）D2，类
似定理2的证明可得
0
f（
x,y）
f（x,y）
D
f（x,y）dxdy
2f（x,y）dxdy,
f（
x,y）
f（x,y）．
D1
例3
计算
2
（xx3y2）dxdy，其中D：
x2
y2
4,y
0
D
解
f（x,y）xx3y2，
f（x,y）
xx3y2
（xx3y2）
f（x,y），
且地域D关于y轴对称，因此
（xx3y2）dxdy
0．
D
例4
计算
x2ydxdy，其中地域D：
1x
1,0y1
D
4
解f（x,y）x2y是关于x的偶函数，且地域D关于y轴对称，
因此
1
1
1
1
2dx
1．
x2ydxdy2dy
x2ydx
2ydy
x
0
0
0
0
3
D
2.2积分地域D关于坐标地域内任意直线对称
将积分地域D关于坐标轴对称的情况实行到积分地域
D关于坐标地域内任意直线
对称，那么有下面定理：
定理4若是积分域D关于直线yax
b对称，那么二重积分
0
2a（y
ax
b）
（a2
1）（y
ax
b）
f（x
1a2
axb
1a2
）
f（x,y）dxdy
（a2
f（x,y）dxdy,
f（x
2a（y
ax
b）
1）（y
ax
b）
D
2
1
a2
axb
1
a2
）
D1
f（x.y）
f（x.y）
其中D1为D在以直线yaxb为轴的右半平面局部
图3
证明
假设地域D对称于直线yax
b，不如设a
0，即倾斜角
为锐角．
第一，平移坐标轴，得坐标系
xoy,如（图3）
x
b
x
，
a
yy
即
5
x
x
b
〔2〕
a
．
y
y
其次，将坐标系xoy沿逆时针方向旋转，旋转角为
（tan
a），使x轴与直线yaxb
重合．得新坐标系uov：
x（uvtan）cosuav
1
a2
〔3〕
au
y（uvtan）sinv
v
sec
a2
1
由〔2〕，〔3〕得
x
u
av
b
1
a2
a
au
v
，
y
1
a2
即
u
1a2（x
b）
a（yaxb）
a
1a2
y
ax
b
．
v
1
a2
xoy坐标面内对称于直线y
ax
b的地域D，在新坐标系uov内对应的地域D关于u轴
对称．xoy面内任意点P（x,y）
D1，在uov面内对应点P1（u,v）
D1．
u
1a2（x
b）
a（yaxb），v
yaxb，
a
1
a2
1a2
点P1（u,v）关于u轴对称点P1
（u,
v）
D2
，P1（u,
v）在xoy面内对应点为
P（ua（v）
b,au（v））D2，
1
a2
a
1
a2
将u,v代入，化简得：
P（x
2a（y
ax
b）,ax
b
（a21）（y
axb））
D2．
1
a2
1
a2
因此，xoy面内点P（x,y）
D1关于直线y
ax
b的对称点为
6
P（x
2a（y
axb）
axb
（a21）（y
axb））D2，
1
a2
1
a2
雅可比行列式为
1
a
（x,y）
1
a2
1
a2
（u,v）
a
1，
1
1
a2
1
a2
于是
由定理2知
f（x,y）dxdy
f（u
av
b,au
v）dudv．
D
D
1
a2
a1
a2
0
2
f（u
av
D1
1
a2
f（
u
av
1
a2
D1
f（
b,auv）dudv
f（
a1a2
bauv
）dudv
a1a2
uav
b,auv）
f（uav
b,auv）
1
a2
a
1a2
1a2
a
1a2
uav
b,auv）f（uav
b,auv）
1
a2
a
1a2
1a2
a
1a2
即
0
f（x2a（y
ax
b）,ax
b
（a2
1）（y
ax
b））
f（x.y）
f（x,y）dxdy
1
a2
（a2
1
a2
D
f（x,y）dxdy,
2a（y
ax
b）
b
1）（y
ax
b）
f（x.y）
2
f（x
a2
ax
1
a2
）
D
1
1
例5计算3
二重积分[（x
1）3
y]d，
D
其中D是抛物线y
（x1）2，y
4（x
1）2及直线y
1所围成的地域
图4
7
解
由于积分地域D关于直线x
1对称，被积函数中（x
1）3在地域D上关于（x1）
为奇函数，y在地域D上关于（x1）为偶函数，见（图4
）,由定理4，
得：
[（x
1）3
y]d
0
2
yd
2
1
ydy
y1
dx
2．
0
y
1
D
D1
2
5
当积分域D关于直线y
x轴对称时，有下面推论：
推论14
若是积分域D关于直线y
x轴对称，那么二重积分
f（x,y）dxdy
f（y,x）dxdy．
D
D
例6
设f（x）为恒正的连续函数，计算积分
af（x）bf（y）dxdy
x2y2r2f（x）
f（y）
解
由于积分地域x2
y2
r2关于y
x对称，因此由推论
2，可得：
af（x）
bf（y）dxdy
af（y）
bf（x）dxdy，
x2y2r2
f（x）
f（y）
x2y2r2f（y）
f（x）
于是
2
af（x）
bf（y）dxdy
x2
y2r2
f（x）
f（y）
af（x）
bf（y）dxdy
af（y）
bf（x）dxdy
x2y2r2
f（x）f（y）
x2y2r2
f（y）
f（x）
（ab）dxdy
（a
b）r2．
x2
y2
r2
故
af（x）
bf（y）dxdy
（a
b）r2．
x2y2r2
f（x）
f（y）
2
当积分地域关于yx对称时，被积分函数的两个变量能够互换地址的特别性质能够
使二重积分计算化简．
近似的，假设积分地域关于直线yx对称且满足f（x,y）f（x,y），那么
8
f（x,y）dxdy0，
D
或满足f（x,y）
f（x,y），那么有
f（x,y）dxdy
2f（x,y）dxdy．
D
D1
〔其中D1为D的一半〕
积分地域D关于坐标原点对称
定理5若是积分域D关于原点对称，f（x,y）同时为x，y的奇偶函数，那么二重积
分
0
，f（
x,
y）
f（x,y）
f（x,y）dxdy
2
f（x,y）dxdy，f（
x,
y）
f（x,y）
，
D
D1
其中D1为D的上半平面局部．
图5
证明
假设地域D对称于原点（图5），对任意P（x,y）
D1，对称点P（x,y）
D2，
D1（x）
y（x），axb,D2
（x）
y
（
x），b
xa,令
x
u
y
，
v
那么地域D2变换为uov坐标平面内陆域D1
（x）
y
（x），ax
b，雅可比行列式
（x,y）
1
0
，
（u,v）
0
1
1
因此
9
f（x,y）dxdy
f（u,v）dudv
f（x,y）dxdy
D2
D1
D1
f（x,y）dxdy
f（
x,
y）
f（x,y）
D1
，
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