数学勾股定理论文15篇浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计.docx

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数学勾股定理论文15篇浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计

数学勾股定理论文15篇

浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计

数学勾股定理论文

摘要：

数学史在数学教育中的作用不言而喻，亟须一线教师开发出更多的教案和案例.数学史对于数学教育的重要指导和引领作用，正如我国老一辈数学教育家、珠算算具改革先驱的余介石先生所说：

“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之恩，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑顺序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也”.关键词数学勾股定理数学论文数学

数学勾股定理论文:

浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计

数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育。

数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分；而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生认识数学、理解数学，感受数学文化。

在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。

而《普通高中数学课程标准（实验）》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。

”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。

勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。

因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。

这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。

从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。

20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。

数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。

“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。

勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。

那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?

笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。

1.教学目标

（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；

（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；

（3）使学生从不同文化对勾股定理不同的证明方法中感受数学证明的灵活和数学美，感受勾股定理的丰富文化内涵；

（4）使学生运用勾股定理解决实际问题；

2.课时安排本节安排三课时，第一课时讲到勾股定理的证明，第二课时讲授证明方法，第三课时讲授勾股定理的应用。

3.教学过程

3.1从文化传统入手使学生“发现”勾股定理：

教师在课前需要做好形式多样的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数）。

将全班学生分若干个小组，发给每个小组两个直角三角形和一个非直角三角形，让每个小组同学利用直尺测量三角形的三边长，并记录数据（教师可利用几何画板进行集体演示）。

然后，教师提出问题：

（1）你手中的直角三角形的三边的平方之间有什么关系？

（2）这种关系对于非直角三角形是否任然成立？

通过计算，和小组内讨论，每个小组选出一位“发言人”代表本小组陈述本组的结果。

教师在一旁进行指导，并根据学生的回答，给出正确的结论：

问题

（1）：

任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

这就是我们要学习的勾股定理的内容。

这里的“勾、股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫做“弦”。

问题

（2）：

任意非直角三角形都不存在这种关系。

中国传统数学非常重视测量与计算，这是古人发现问题和解决问题的主要方法之一，同时也是学生很熟悉的学习方法。

这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性。

3.2向学生介绍勾股定理的历史背景：

据史书记载，大禹治水与勾股定理有关。

大禹在治水的实践中总结出了运用勾股术（也就是勾股的计算方法）来确定两处水位的高低差。

可以说，大禹是世界上有确切文字记载的第一位与勾股定理有关的人了。

《周髀算经》是中国历史上最早的一本算术类经书。

周就是圆，髀就是股。

上面记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的文字记录，即＂勾三股四弦五＂，亦被称作商高定理。

卷上另外一处记述了周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：

“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并几开方除之，得邪至日。

”

可见，在我国西周时期已经开始利用勾股定理来测天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。

而在西方，人们认为勾股定理的第一个证明是毕得格拉斯给出的，因此将勾股定理又叫做“毕得格拉斯”定理。

相传毕得格拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，一次就宰杀了一百头牛祭神庆贺，于是也把“毕得格拉斯”定理称为“百牛定理”，不过迄今为止还没有毕得格拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，而且宰牛庆贺一说也与毕得格拉斯学派的素食主义相违背。

不过尽管如此，人们任然对毕得格拉斯证明勾股定理的方法给予了种种的猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch,约46-120）所给出的面积分割法。

从毕得格拉斯时代到现在，人们对勾股定理给出了各式各样不同的证明方法。

在卢米斯（E·S·Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了勾股定理的约370种不同的证明方法，并对它们进行了分类。

3.3向学生展示历史上勾股定理的不同的证明方法：

（1）赵爽（公元3世纪前期）的证明：

在我国第一个给出勾股定理证明的是赵爽，他在深入研究了《周髀算经》后，为该书些了序言，并做了详细注释，其中有一段约530余字的“勾股圆方图”注文，在数学史上极有极高的价值，并绘有勾股图，证明了勾股定理，并用朱黄两色涂于图上。

数学勾股定理论文:

浅谈勾股定理在初中数学中的应用

摘要：

数学是一种逻辑性强、抽象性强的学科，在数学教学过程中，对于一些数学问题使用常规的解题方法往往过于繁琐，而利用一些定理进行求解往往能够达到事半功倍的效果。

在初中数学当中，勾股定理便是一个非常重要的定理，将其充分利用能够使诸多数学问题迎刃而解。

本课题笔者结合实际教学案例从多方面对勾股定理在初中数学中的应用进行了探究，希望以此为初中数学教学的完善提供一些具有价值性的参考依据。

关键词：

初中数学勾股定理应用

1引言

勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。

它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。

同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。

因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。

笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。

2勾股定理在线段问题中的应用

在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。

例题1：

如图1，在三角形ABC中，已知：

∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直接l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2，与l3之间的距离为3，求AC的长度。

解：

过A作l3的垂线交l3于D，过C作l3的垂线交l3于E，由已知条件：

∠ABC=90°，AB=BC，得：

RtABD与RtBEC全等；

所以，AD=BE=3，DB=CE=5；

进而得：

AB2=BC2=32+52=9+25=34；

在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，

所以：

AC=2■

3勾股定理在求角问题中的应用

在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。

因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用[2]。

例题2：

如图2，在等边ABC中，有一点P，已知PA、PB、PC分别等于3、4、5，试问∠APB等于多少度？

解：

把APC绕着点A旋转，旋转至ABQ，让AB和AC能够重合；此时，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；

所以，PAQ是等边三角形；

所以，PQ=3；

在三角形PBQ当中，PB、BQ分别等于4、5，

所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；

所以，∠APB=∠BPQ+∠APQ=90°+60°=150°。

4勾股定理在证明垂直问题中的应用

在初中数学当中，一些证明垂直的问题如果利用勾股定理进行求解，那么将能够达到事半功倍的效果。

下面笔者结合有关证明垂直问题的题型展开讨论。

例题3：

如图3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，证明：

BCBD[3]。

证明：

由已知条件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；

因为AD、AB分别为3、4，由勾股定理可知：

BD2=AB2+AD2=32+42，求得：

BD=5，

又因为BD2+BC2=52+122=132=CD2；

因此，三角形DBC为直角三角形，其中∠CBD=90°；

所以，BCBD。

5勾股定理在实际问题中的应用

对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。

例题4：

一棵小树高为4米，现有小鸟A停留在树梢上，此时小鸟B停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：

小鸟A至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？

解：

如图4，根据题干的已知条件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：

AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；

所以，小鸟A所需时间为20/4=5秒。

笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解[4]。

在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。

6结语

通过本课题的探究，认识到在初中数学中，对于许多问题可以利用勾股定理进行求解。

包括“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”等。

笔者认为，勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。

在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。

数学勾股定理论文:

基于数学史的勾股定理教学探究

[摘要]数学史对于数学教育的意义不言而喻，它对于践行新课改的知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观的三维目标，倡导学生自主探究学习的教学模式等方面具有重要作用.本文以勾股定理教学为例，探讨了上述问题.

[关键词]数学史；勾股定理；教育价值

数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论.翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例.在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用.本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.

提出问题

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”.在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等.古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”

接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”

这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：

a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识.勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年.勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.

定理的证明

在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理.“弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦.“弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的.赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.

引导学生探索其他解法

上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理.这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明.教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.

历史上的经典证明方法展示

发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法.如

（1）欧几里得《几何原本》的证法；

（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法.限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.

基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：

首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一.其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短.通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同.当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”.再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向.在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照.最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

历史上涉及勾股定理应用的古算题很多，在学习勾股定理的同时，如果能尽可能多地向学生呈现这些古算题，会使我们的教学起到事半功倍之效.向学生呈现古算题原题，学生首先会接受很多那个时代的社会、人文信息，包括古算题涉及的真实情景、古算题的出处、涉及的数学家等.学生还要将文言文翻译成现代白话文，然后去理解题意，考虑其解题方法.接着给学生呈现古人解决此类问题的“术”，又会使学生感受到他们的解法与历史上的解法其实有异曲同工之妙.在这个过程中，新课程所涉及的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标可以自然地达成.诚然，教师在这个过程中需要适时地进行引导和点拨，它要求教师具备一定的数学史知识和修养.

结语：

数学史在数学教育中的作用不言而喻，亟须一线教师开发出更多的教案和案例.数学史对于数学教育的重要指导和引领作用，正如我国老一辈数学教育家、珠算算具改革先驱的余介石先生所说：

“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之恩，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑顺序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也”.

数学勾股定理论文:

初中数学“勾股定理”课堂提问的反思

在数学教学过程中，近阶段发现不少学生对勾股定理逆定理掌握不是太透彻.对于下面的题目不少同学给出如下错误的解法.

所以AC=AC.

即ACD为Rt.

如果说一两个是巧合，可我带的班中不少学生是这么解答的，让我陷入困惑中，通过几个学生的调查后，有个学生说：

“在RtΔABC中可以求得AC=5，而ACD中，5、12、13是一组勾股数，那么ACD是个直角三角形.”另一个同学说：

“我感觉ACD是一个直角三角形，不然面积就不好求了.”还有一同学说：

“我记得老师好像也是这么写的吧.”

本来打算重新讲一遍，可想想这样效果或许不太好，何不将错就错，让学生自己去探索求证，我把这样的解题过程写在黑板上让学生自己来评价是否合理.这时不少同学笑了，其中一中等生说：

“这过程不合理，因为在ACD中，如果说由勾股定理得的话，前提已经是直角三角形了，而题目中有没有直接告诉我们，需要我们验证.”

“那我们该怎么验证它是不是一直角三角形呢？

”我及时的问，这时班级调子不一致了，有的说勾股定理，有的说勾股定理逆定理.我又问谁能告诉我勾股定理和它的逆定理到底有什么不一样，他们各自目的一样吗？

这样又有几个同学作了回答.

我问道：

“现在我们在求AC的长度时，用的是勾股定理还是其逆定理？

”

学生一致答道：

“勾股定理.”

“而在判断三角形ACD的形状时，是用勾股定理还是其逆定理？

”

学生又一致答道：

“逆定理.”

“那我们怎么用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形呢？

”

这时班级安静了一小会，一平常表现活跃的学生说：

“看两边平方和与第三边平方是否相等？

如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形.”

“任意两边平方和吗？

”我问道

“这个……，好像不是吧.”

问题好像出来了，我感觉有点高兴.

这时一较好同学站起来说：

“应该是两个较小边的平方和与第三边平方进行比较.”

“为什么是较小两边平方和呢？

大家讨论交流一下.”

那个表现活跃的学生又站起来说：

“老师我知道，如果不选择较小两边平方和与第三边平方作比较，那结果肯定是不相等的.”

“能否举个例子？

”我问道

“例如3、4、5为三角形的三边，我们知道它肯定一直角三角形，但如果我们不选择

32+42与52相比较的话，就会得到不等的结果.”

“不知道其他同学有没听懂他的意思？

”

“懂了！

”其他同学大声说道.

“那现在老师就板书一下，同学说，老师写”

板书如下：

在RtABC中，由勾股定理得，

数学勾股定理论文:

数学思想在“勾股定理及逆定理”中的体现

勾股定理及逆定理是数学中的一个重要互逆定理，它的应用极为广泛，我们在解题时若能正确的运用数学思想和方法，将会使你的解题思路更为开阔。

希望同学在学习数学知识，求解数学问题时，要注意领悟和掌握蕴含其中的数学思想。

1、数形结合的思想。

数形结合是一支双刃剑，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

NM

例1右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A.13B.26C.47D.94

解析：

由勾股定理可知所以故应选C.

2、方程思想。

方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解，勾股定理的灵活运用为用方程解决某些图形中线段的长度的计算问题构筑了一个极好的平台。

例2在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？

解析：

如图所示，一只猴子经过的路径BCA，共走了10+20=30（m），另一只猴子经过的路径是BDA，也走了30m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决.

3、转化思想。

转化是求解问题的一种办法，往往会收到“山丛水复疑无路，柳暗花明又一村。

”的效果。

例3有一根13dm长的木棒，要放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放进去吗？

解析：

木箱即为长方体，因此若能求出长方体的对角线的长，再与13dm长的木棒比较即得答案.由勾股定理，得这个木箱对角线长的平方=32+42+122=169=132，而木棒长的平方为132，即木箱对角线长的平方=木棒长的平方，所以13dm长的木棒刚好能放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中。

说明本题的求解过程中，利用勾股定理将问题转化为比较两条线段的大小.另外，在运用勾股定理求解问题时，有时会遇到不是直角三角形，这时，我们必须通过作高线的方法，将此转化成直角三角形，这样就便于解决问题.

4、分类讨论思想。

“分类讨论”是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。

例4己知直角三角形两边长分别为6和8，试求以第三边的长为边长的正方形的面积.

解析：

由于本题的已知条件中并没有明确6和8是否是直角边，所以不能想当然地就断定6和8是直角边，而要进行分情况讨论来解决问题，下面分两种情况：

（1）当6和8都是直角边时，那么第三边的平方为62+82=100，所以以第三边的长为边长的正方形的面积100.

（2）当8是斜边时，第三边的平方为82-62=28，所以以第三边的长为边长的正方形的面积28.

5、数学建模思想。

数学建模思想方法不仅是处理数学问题的一种经典方法，又是处理各种实际问题的一般数学方法，它渗透到现实世界的各个领域，广泛应用于工程施工、投资经营、航海运输和规划设计等实际问题的解决。

例5在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时