《材料力学》扭转习题解.docx
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《材料力学》扭转习题解
第三章扭转习题解
[习题3-1]一传动轴作匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60kW，从动轮，I，山，IV，V依次输出18kW，12kW，22kW和8kW。
试作轴的扭图。
解：
（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）
Te=9.55血
n
外力偶矩计算（kW换算成kN.m）
题目编号
轮子编号
轮子作用1
功率（kW）
转速r/min
Te（kN.m）
习题3-1
I
从动轮
18
200
0.859
II
主动轮
60
200
2.865
III
从动轮
12
200
0.573
IV
从动轮
22
200
1.051
V
从动轮
8
200
0.382
（2）作扭矩图
。
用595
0
L7Sm
14325
A
1200551
m
3.5m
LSID
T图（kN.m）
C.3SZ
m，并作钻杆的扭矩
[习题3-2]—钻探机的功率为l0kW，转速n=180r/min。
钻杆钻入土层的深度I=40m。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度
图。
资料个人收集整理，勿做商业用途
Me=9.549丛
n
解：
（1）求分布力偶的集度
=9.549x®=0.5305（kNm）
180
设钻杆轴为x轴,
则:
ZMx=0
ml
=Me
Me0.5305
m==
l40
=0.0133（kN/m）
（2）作钻杆的扭矩图
T（x）=—mx=—牛X=-0.0133x。
x<^[0,40]
T（0）=0;
T（40）=Me=—0.5305kNm）
扭矩图如图所示。
［习题3-3］圆轴的直径d=50mm，转速为120r/min。
若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa，试问所传递的功率为多大？
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：
13
Wp=—血3
P16
（2）计算扭矩
133
=16®4159倔=24544（mm）
2
=60N/mm
23
T=60N/mmx24544mm=1472640N・mm=1.473（kN・m）
（3）计算所传递的功率
T=Me=9.549山=1.473（kN-m）
n
Nk=1.473x120/9.549=18.5（kW）
［习题3-4］空心钢轴的外径D=100mm，内径d=50mm。
已知间距为I=2.7m的两横截
面的相对扭转角W=1.8°，材料的切变模量G=80GPa。
试求:
（1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。
解；
（1）计算轴内的最大切应力
144
IP=_曲（1-G4）P32
Wp=丄兀D3（1-a4）P16
式中，a=d/D。
=右^3.14159>：
1004x（1-o.54）=9203877（mm4）。
1
=—天3.14159X1003X（1-0.54）=184078（mm3）
GIp
T=!
Gk」.8y14159/18Z80000N/mm2“203877mm4
I
2700mm
=8563014.45Nmm
=8.563（kNm）
亠85空化55=46.518MPaWp
184078mm3
（2）当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率
T=Me=9.549巴=9.549X山=8.563（kNm）
n80
Nk=8.563x80/9.549=71.74（kW）
［习题3-5］实心圆轴的直径d=100mm，长I=1m，其两端所受外力偶矩Me=14kNg，
材料的切变模量G=80GPa。
试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;
（3）C点处的切应变。
解：
（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角
_T_
二W
_Me
—o
Wp
式
13
Wp=—兀d3
p16
1
=—X
16
3.1
4mm3）。
0故:
Sax
M—Zn=71.302MPa
/p196349mm3
GIp
式中，I
11
丄;Id4=丄＞＜3.14159；＜1004
3232
14000Nmx1m
GIp
9
1
0
6
=9817469（mm4）。
故:
_80X109N/m2天9817469冥10'2m4_0.0178254（rad）"「O2
（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向
IA=TB=Tmax=71.303MPa
由横截面上切应力分布规律可知：
1
5=—5=0.5X71.302=35.66MPa
2
A、B、C三点的切应力方向如图所示。
（3）计算C点处的切应变
3
G80x103MPa
tc35-66MPa=44575>d0S0.446x10」
［习题3-6］图示一等直圆杆，已知d=40mm.
a=400mm，G=80GPa，Wdb=1°。
试
求:
（1）最大切应力；
（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：
（1）计算最大切应力
从AD轴的外力偶分布情况可知:
TAB
—Tcd
=Me，Tbc=0。
Tili
Tdc』dc丄
=z
=T
GIp
GIp
GIp®
Tcb
%B
GIp
4
式中,
Me
Imax：
■IcB
Mea丄0£Mea
+=
GIp
GIp
GIp
Ip=丄兀d4
p32
Me
Wp
144
=—X3.14159X404=251327（mm4）。
故:
80000N/mm^251327mm43-^=877296Nmm
180
400mm
式中，Wp二存宀存3.141妙403=12566（mm3）。
故:
Tmax
Me877296Nm^69.815MPa
Wp
12566mm3
（2）计算截面A相对于截面C的扭转角
5PTihTab'Iab丄Tbc"IbcMe*2a丄0£2Me^cO
*AC=乙—〒—F——2十DB=2
GIp
GIP
GIpGIpGIpGIpGIpGIp
［习题3-7］某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm,若
在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力
［t］=20MPa。
试校核轴的强度。
资料个人
收集整理，勿做商业用途
解：
（1）计算最大工作切应力
%x
Me
WpWp
式中，M-9.549N^^9.54^300.1.592（kN.m）；
Wp=1rd3=1r3.14159汐53=125qmm3）。
Me
故：
Tmax—
Wp
=1592000Nym=19.219MPa82835mm
（2）强度校核
因为Tmax=19.219MPa，［可=20MPa，即Tmax＜［t］，所以轴的强度足够，不
会发生破坏。
［习题3-8］已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D=60mm，内径d
P=7.355kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度I=40m，钻杆材料的
=50mm，功率G=80GMPa，
许用切应力［叮=4OMPa。
假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求:
资料个人收集
整理，勿做商业用途
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
（3）两端截面的相对扭转角。
解：
（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
Me=9.549吐
n
=9.549J355
——=0.390（kNE）
180
设钻杆轴为x轴,
则:
SMx=0
ml
=Me
m=MA=0^=0.00975（kN/m）
l40
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
T（X）=-mx=
039
一石x—0.00975x。
円0,40]
T（0）=0；
T（40）=Me=—0.390（kNm）
扭矩图如图所示。
②强度校核
"Wp
1150
式中,
叫二評3^4"-3.14159“0*1爲）,21958（mm3）
^^^390000^^^17.761“pa
Wp21958mm3
因为Tmax=17.761MPa，［t］=40MPa，即Wax＜［i］，所以轴的强度足够，不
会发生破坏。
（3）计算两端截面的相对扭转角
_40T（x）dx
1150
式中，Ip=—;iD4（1-a4）=—x3.14159x604x[1-（—）4]=658752（mm4）
323260
半=f0|T（x）|dx=丄f0O.OO975xdx=60.00975[―]40
bGIpGIp080x106kN/m2x658752>d0」2m42
=0.148raX8.50
［习题3-9］图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力
F均为0.2kN，
已知轴材料的许用切应力［可=40MPa，试求：
资
料个人收集整理，勿做商业用途
（1）AB轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。
解：
（1）计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。
两个手柄所施加的外力偶矩相等：
Me左==0.2X0.4=0.08（kN忡）
□尸
Me主动轮=2Me右=0.16（kNm）
扭矩图如图所示。
由AB轴的强度条件得:
Me右哼W］
兀d3
_3f16X80000N^m^
V3.14159x40N/mm2
=21.7mm
（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等:
Me从动轮
0.2
0.35
Me从动轮—
由卷扬机转筒的平衡条件得:
PXO.25=Me从动轮
PX0.25=0.28
P=0.28/0.25=1.12（kN）
［习题3-10］直径d=50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Mg=6kN，m，而在
圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。
已知is-AAj=3mm，圆杆材料的弹性模
量E=210GPa，试求泊松比V（提示:
各向同性材料的三个弹性常数
E、G、V间存在如
下关系：
G=——E——。
资料个人收集整理,
勿做商业用途
2（1+v）
解：
整根轴的扭矩均等于外
力偶矩：
T=Me=6kN，m。
设0,01两截面之间的相对对转
角为W,则Ad，护=2^s
2
习题
GIPd
11
式中,
IP=茹宀扩3.14159倔-613592（mm4）
G=T
ld6%1O6Nmmx1000mmx50mm
2lpAs
2x613592mm4咒3mm
=81487.372MPa=81.4874GPa
由G=—E—得:
2（1+v）
2G2X81.4874
-1=0.289
［习题3-11］直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉
60kN作用时，在标距为200mm的长度内
伸长了0.113mm。
当其承受一对扭转外力偶矩Me=0.2kN^m时，在标距为200mm的长度
内相对扭转了0.732°的角度。
试求钢材的弹性常数G、G和V。
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
（1）求弹性模量
阳NI
也I=——
EA
NI
60000NX200mm
0.25X3.14咒252mm2X0.113mm
=216447.8MPa=216.448GPa
（2）求剪切弹性模量G
14144
Ip=护=扩3.14159>^25=383怨mm）
Glp
G亠-4
护」P（0.732X3.14/180）X38349mm4
6
O."10N^mmc200mm=81684136MPa=81.7GPa
（3）泊松比V
由6=亠得^煌亠2^亠O.325
2（1+v）
2咒81.684
［习题3-12］长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同,
受力情况也一样。
实心轴直径为d;空心轴的外径为
D，内径为do,且屯=0.8。
试求当
D
空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力
（Tmax=k］）,扭矩T相等时的重量
比和刚度比。
资料个人收集整理，勿做商业用途解：
（1）求空心圆轴的最大切应力，并求
Tmax
Wp
式中,
Wp=丄兀D3（1-a4），故:
p16
O
%
0
^max,空
16T
343
兀D3（1-0.84）兀D3
2"W]
D327.仃
（1）求实心圆轴的最大切应力
5ax
式中,
Jax,实
d3
D
（?
）
Wp
Wp=丄叱3，故:
P16
16T
16T
中］
27.仃
16V[t]
16T九69375
D=1.192
d
（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比
「O.25®2；*2）".（D）2（1_O.82）=O.36（E）2=0.36U192^0.512
W实0.25id2Idd
（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
I卩空=丄；iD4（1-0.84）=0.018457rD4p32
144
=一闵4=0.031257Td432
GIp空
0.01845iD
0.03125rd4
4
=O.59O4（¥）4=0.5904xl.1924=1.192
[习题3-13]
全长为I，两端面直径分别为di,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me
，如图所示。
解：
如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为：
试求杆两端面间的相对扭转角。
GI
式中,
Ip
=—^d4
32
r2—r1
d2
21
X+di
d2_*d=2r=——1
I
d4
d2-di
du
d2-di
d2-di
dx
du
l32叭竺码丄讥彳2"」嚳
u4d2-dr~4
jid4
ttG
30
兀GQ-dJ0u
ldu
7iG（d2-djNu4
32Mel
32Mel
[-丄r兀G（d2-dj3u30
32Mel
3i：
G（d^d1）
Ux+dJ
32Mel
‘11r
32Mel
d1-d2
32Mel
‘d；+dd+d；r
3兀G（d2—dj
2厂d13丿
3rG（d^d2）
1d1d2丿
—3tG
」3.3
d1do
<^2/
l
0
［习题3-14］已知实心圆轴的转速
n=300r/min，传递的功率p=330kW，轴材料的许用
切应力［可=60MPa，切变模量
G=80GPa。
若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°,
试求该轴的直径。
资料个人收集整理,
勿做商业用途
Tl
解：
—丄丄
GIP
Mel
GIp
兀
<1x——
180
式中，M
N3301
e"549计=9.549>c-=10.504（kN・m）；d^W。
故:
IpX
180Mel
ttG
1——兀
32
/32X180Meld珂一
兀2G
j32x180X10.504X106N-mm^2000mm
3.142x80000N/mm2
=111.292mm
取d=111.3mm。
MB=7.20kN、m，
严'］=1o/m，切变模
［习题3-15］图示等直圆杆，已知外力偶MA=2.99kN-m，
MC=4.21kNE，许用切应力［T］=70MPa，许可单位长度扭转角
量G=80GPa。
试确定该轴的直径d。
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
（1）判断危险截面与危险点
作AC轴的扭矩图如图所示。
因最大扭矩出出在BC段,所以危险截面出现在BC段,危险点出现在圆周上。
切强度条件求d。
（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪
"Tr晋w]
d、訂—BCj16x4.21>d06N”mm
1V石厂V
16Tbc
3.14x70N/mm2
=67.42mm
（3）计算最大单位长度扭转角（出现在BC段）,
并代入扭转刚度条件求d。
7?
少=一
（7；p
T
G•咳
32
HkN.m
4.21
rq
c
4工详事=輕型仝疋=00744.=恥
71^x80x10®
（4）确定d值
dXmaX^a）=74.4（mm）
［习题3-16］阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。
外力偶矩MA=18kNm，Mb=32kNrn，Me=14kNrn，
许用切应力［可=80MPa，许可单位长度扭转角［0］=1.2o/m，切变模G=80GPa。
试
校核该轴的强度和刚度。
集整理，勿做商业用途
解：
（1）AB段的强度与刚度校核
资料个人收
Tab=—MA=T8kNE
A-~f
Tab
1
式中，叽16
bmax,AB
=丄兀D3（1—a4）=丄x3.14159X1403x[1—（迴）4]=398533（mm3）1616140
max,AB
J8"0N=45.166MPa<[口=80MPa符合度条件。
398533mm3
◎ab
w|TabI180
=—=X
lGIp兀
式中,
Ip
=3rD4（j4）=r3-14159x1404m（100）4]=2789731qmm4）
AB=—=
lGIp
|Tab|」8018000Nmx180
X=92124
兀80x10N/mX27897319X10-mx3.14
=0.462（°/m）屮']=1.2o/m
符合刚度条件。
（2）BC段的强度与刚度校核
Tbc=Mc=14kN
Tbc
Tmax,BC=
式中，Wp=丄；Id3
p16
133
=亦咒3.14159咒1003=196349（mm3）
T—
打max,AB~
VVp
Tbc14x106Nmm
196349mm3J.302”Pa式中，Ip
"TGIp
180
X
兀
=丄兀d4
32
=—x3.14159^100^9817469（mm4）
32
l"GIp
Tbc
兀
=9——14°°°NE1804=1.02（°/m）<[©]=1.2°/m
80X10N/m^9817469X10mX3.14
符合刚度条件。
综合
（1）、
（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。
［习题3-17］习题
3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力
[T]=20MPa，切变模
G=80GPa，许可单位长度扭转角［炉］=2.5°/m。
试按强度条件及刚度条件选择圆轴的
直径。
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
（1、由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。
因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在
此段内，危险点在此段的圆周上。
资料个人收集整理，勿做商业用途
Sax
TiI-III
彳空咤业叫80mm
3.14X20N/mm2
（2）由刚度条件选择直径
7?
CP'=—180°
GIp兀
「咤10=80〉鮎
94
80x10xjid兀xio
2.006泸严警=02仏
际曲g
故选用d=875110。
［习题3-18］一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆表面与纵
向线成45°的方向上的线应变为S。
试导出以Me,d和s表示的切变模量G的表达式。
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（
a）。
D
（
图（a）
切应
T16甌y二一二一变0TT
1）对角线方向线应变:
忖4亍84匚T二上
i2
/=2f
2看网
式
（2）代入
（1）：
K
［习题3-19］有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kNm。
试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。
已知材料的切变模量G=80GPa。
资料个人收集整理，勿做商业用途
解：
（1）求管中的最大切应力
TT
^max=
1P
180x10^x150x10-^32x180x150x10^^皿
71x42xl0^
J7=3=65.5MPa
32
130x180x10^x1
耳二——二d_=0.491kNm
32
［习题3-20］一端固定的圆截面杆AB承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。
试求杆内积蓄的应变能。
已矩材料的切变模量为Go资料个人收集整理，
勿做商业用途
2
解：
dV^T_^4
2GIP2G•丄兀d4
32
m2x2dx
.-22,
16mxdx
223
V厂整0x2dx」6ml
m2]3
6•丄兀d4G
32
m2l3
6GI
受拉力F
试求：
=0.5kN作用，弹簧的
［习题3-21］簧杆直径d=18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，平均直径为D=125mm,材料的切变模量G=80GPa。
（1）簧杆内的最大切应力;
（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。
解:
16网
“F"，
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