高考数学全国卷完整试题答案解析.docx

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高考数学全国卷完整试题答案解析

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共6页•考试时间120分钟.满分150分.

答题前，考生务必用毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第I卷答题卡

和第n卷答题纸规定的位置.

参考公式：

样本数据X-I,x2,xn的标准差

（X2x）2

n

（Xx）2

其中X为样本平均数

2

球的面积公式S4R2

第I卷（选择题共60分）

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

2.第I卷只有选择题一道大题.

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A.（1,2）B.0,2

C.

D.1,2

3.现有10个数，其平均数是

4，且这10个数的平方和是

200，那么这个数组的标准差是

（B）

A.1

B.2

C.3D.4

1

1复数一

1

2i

i

（i是虚数单位）的虚部是（B）

A.3

B.

1

C.

3D.1

2

2

2.已知R是实数集，

M

x

21,N

y

yJx11,则NCrM（D）

x

4.设Sn为等比数列｛aj的前n项和，8a20则鱼（A）

，S2

A.5

B.8

C.8

D.15

5.已知函数f（x）sin（2x

的值是（D）

-），若存在a

（0,

），使得f（xa）f（x

a）恒成立，则a

A.

B.—

C.-

D.—

6

3

4

2

6.已知m、

n表示直线，

,表示平面，

给出下列四个命题，其中真命题为

（B）

（1）

m,n,nm,贝V

（2）

m,

n,则n

m

（3）m

m,则

//

（4）m

n,m

n,则

A.

（1）、

（2）B

.（3）、（4）

C.

（2）、（3）D.

（2）、

（4）

7.已知平面一

上不共线的四点

O,A,B,C，若

OA

3OB2OC,则也列等于（B）

|BC|

A.1B.2C.3D.4

..3

8.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2，则这个三

角形的周长是（D）

A.18B.21C.24D.15

1

9.函数f（x）Igx—的零点所在的区间是（B）

x2ax2b若a,b都是区间0,4内的数，则使f

（1）0成立的概率是

（x）

x

A.0,1

B.1,10

C.10,100

D.（100,）

10.过直线y

x上一点P引圆x2

y26x7

0的切线，则切线长的最小值为（C）

2

32

、10

A.

B.—

C.

D.•2

2

2

2

11.已知函数

（C）

3

1

3

A.一

B.-

C.—

4

4

8

12.已知双曲线的标准方程为

2

x

9

2y

16

D.

1,F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点,

双曲线上不同于A,A2的任意一点，直线

A1P,A?

P与直线xa分别交于两点

设P为

M,N,若

FMFN0，则a的值为（B）

16

"5

169

A.B.—

95

双曲线xA2/9-yA2/16=1,右焦点F,A1（-3,0）,A2（3,0）设P（x,y）M（a,m）,N（a,n）

•••P,A1,M三点共线，

m/（a+3）=y/（x+3）

•••m=y（a+3）/（x+3）

•••P,A2,N三点共线，

•n/（a-3）=y/（x-3）

•n=y（a-3）/（x-3）

•••xA2/9-yA2/16=1

•（xA2-9）/9=yA2/16

•yA2/（xA2-9）=16/9

FM向量=（a-5,y（a+3）/（x+3））FN向量=（a-5,y（a-3）/（x-3））

FM向量*FN向量

=（a-5）A2+yA2（aA2-9）/（xA2-9）=（a-5）A2+16（aA2-9）/9

•••FM向量*FN向量=0

•（a-5）A2+16（aA2-9）/9=0

25aA2-90a+81=0

•a=9/5

第口卷（非选择题共90分）

注意事项:

1.请用毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第

n卷答题纸的指定位置.书写的答案如

需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.

2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效•在试题卷上答题无效.

3•第n卷共包括填空题和解答题两道大题.

、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.如图所示的程序框图输出的结果为2

14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其

一个球面上，则该球的表面积为

19

3

T

1

1

*—1―►

—1—►

第14题图

如图。

F,H是上下底的中心，0是FH中点。

则:

AB=2AE=V3,AF=2V3/30F=1/2

OA=VtAF2+OF2）=V（19/12）

球的表面积=4n（19/12）=19n/3V面积单位）

向左转|向右转

2

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R-（lgE

11.4）•2011年3月11日，日

3

是2008年地震能量的10空倍.

16.给出下列命题：

1已知a,b都是正数，且口a，则ab;

b1b

2已知f（x）是f（x）的导函数，若xR,f（x）0,贝yf

（1）f

（2）—定成立；

3命题“xR，使得x22x10”的否定是真命题；

4“x1,且yT是“xy2”的充要条件•

其中正确命题的序号是①③.（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题：

本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

x.—xx

已知向量a（1,cos）与bC3sincos-,y）共线，且有函数yf（x）.

222

2

（I）若f（x）1，求cos（—2x）的值；

3

（n）在ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，且满足2acosCc2b，求函数

f（B）的取值范围.

、3sinxcos-

22

x

cos-

2

y

xx

y3sin—cos—cos

3

sinx

2

1

2（1

1cosx）sin（x）

62

•••f（x）

sin（x

，即sin（x

6）

2

cos（

2x）

cos2（—

3

2

x）2cos（x）

2sin2（x）1

6

（n）已知2acosCc

2b

由正弦定理得:

2sinAcosC

sinC

2sinB

2sin（A

C）

2sinAcosC

sinC

2sinAcosC

2cosAsinC

•cosA-,

•••在

ABC中/

A

8分

2

3

f（B）

sin（B

1

2

•••/A

•0

B2,

B

5

10分

3

36

6

6

•1

2

sin（B

6）

1,1f（B）

3

2

3

•••函数f（B）的取值范围为（1,312

2

18.（本小题满分12分）

已知等差数列

an的前n项和为Sn，公差d

0,且S3S550,a1,a4,a13成等比数列.

（I）求数列an的通项公式;

（n）设

bn

是首项为

1，公比为3的等比数列，求数列

an

bn的前n项和Tn.

1）2n1,即an

2n1.

解：

（I）依题意得

32

45

3a〔

d

5a1

d50

2

2

（a1

3d）2

a1（a1

12d）

解得

a13

d2

（n1）d

3

2（n

a1

an

3n

1,bn

an

3n

（2n

1）3

Tn

35

3

732

（2n

1）3n

1

3Tn

3

3

532

733

（2n

1）3n1（2n1）3n-

9分

2Tn3

23

2

32

23n1

（2n

1）3n

an

Tnn3n

3（13n1）

32

13

n

2n3

（2n1）3n

12分

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥ABCDE，其中ABBC

AC

BE

1,CD2,CD面ABC,BE

A

又TDC丄面ABC,BG面ABC

•••DC丄BG

•••BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC

•BG丄面ADC.

•/EF//BG

•EF丄面ADC

•/EF面ADE,.••面ADE丄面ADC.

（川）连结EC该四棱锥分为两个三棱锥

E-ABC和E-ADC.

-鱼

VaBCDEVeABCVeACD—

34

■-3

1-1

32126

3

4

12分

另法：

取BC的中点为0，连结AO，则AOBC，又CD平面ABC,

•••CDAO,BC

CDC

•AO平面BCDE,

•-AO为Vabcde的高，

（12）1

3

1

3.3

3

AO,Sbcde

VaBCDE

—

一

.

2

2

2，

3

22

4

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度

y与腐蚀时间x之间对应的一组数据:

时间x（秒）

5

10

15

20

30

40

深度y（微米）

6

10

10

13

16

17

现确定的研究方案是：

先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程,

再对被选取的2组数据进行检验.

）求选取的2组数据恰好不相邻的概率;

）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方

139

程?

—x

13

差均不超过

139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误

26

2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是

否可靠.

解:

（I）设6组数据的编号分别为

1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A,从6

组数据中选取2组数据共有15种情况:

（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）

（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）

（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）

（4,6）（5,6）,其中事件

A包含的基本事件有10

种.

所以

10

P（A）石

-.所以选取的

3

2组数据恰好不相邻的概率是

x10时,

?

13

10

139

26

219|219

丨

2626

10|

2；

x30时,

30

139

26

所以，该研究所得到的回归方程是可靠的.

379|379

26J26

16|

2；

12分

21.（本小题满分12分）

axb

已知函数f（x）2在点（1,f

（1））的切线方程为

x1

（I）求函数f（x）的解析式;

（n）

设g（x）

Inx

，求证：

g（x）

f（x）在x［1,）上恒成立•

解:

（I）

将x

1代入切线方程得

y

2

•-f

（1）

ba

2,

化简得b

a

4.

2分

11

f（x）

a（x21）

（ax

2、：

b）2x

（1

x）

f

（1）

2a2（ba）

2bb

1

4分

4

42

解得：

a

2,b

2

2x2

•••f（x）

2

6分

x21

2x2

（n）由已知得inx—在［1,）上恒成立

x1

化简得（

x21）lnx

2x

2

即x2In

xInx2x

2

0在［1,）上恒成立.一

8分

设h（x）

x2InxIn

x

2x2,

h（x）

2xlnxx

1

2

x

1

x—2，即h（x）0•…

•••x1

•2xInx

0,

10分

x

•h（x）

在［1,）上单

调递

增，h（x）h

（1）0

•g（x）

f（x）在x

[1,

）上恒成立•…

12分

22.（本小题满分14分）

实轴长为4J3的椭圆的中心在原点，其焦点片,丁2在x轴上.抛物线的顶点在原点0,对

称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1AF2，△AF1F2的面积为3.

（I）求椭圆和抛物线的标准方程；

（n

解

（1）设椭圆方程为

x2y21（ab

ab

0）,

AF1m,AF2n

2

2,2

m

n4c

由题意知

mn

i4.3

……2分

mn

6

解得c29,.

••b2

1293.

22

•椭圆的方程为

xy1

4分

123

•Tac3,

…yA

1，代入椭圆的方程得

Xa

22,

将点A坐标代入得抛物线方程为x2

8y.

6分

（2）设直线l的方程为y1

k（x2.2）,B（x“yjC（x2,y2）

由AC2AB得x22.22（x,2.2）,

化简得2x,x22...2

联立直线与抛物线的方程y1k（x2'2）

2小

x8y

得x28kx16、2k80

10分

•••x12..28k①

联立直线与椭圆的方程y1k（x2'2）

2▲2“

x4y12

得（14k2）x2（8k16.2k2）x32k216.2k80

•-x22-2

162k28k

14k2

12分

整理得：

（16k4、2）（1以2）0

14k

…2x1X2

_2

2（8k2.2）162k严2、.22・、2

14k

•••k

—，所以直线l的斜率为二2

44

14分