高中数学 36 指数函数幂函数对数函数增长的比较名师考点精讲 北师大版必修1.docx
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高中数学36指数函数幂函数对数函数增长的比较名师考点精讲北师大版必修1
2019-2020年高中数学3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较名师考点精讲北师大版必修1
[读教材·填要点]
1．三种函数的增长特点
（1）当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
（2）当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
（3）当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．
2．三种函数的增长比较
在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn（n＞0），指数函数y＝ax（a＞1）增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有ax＞xn＞logax.
[小问题·大思维]
1．2x＞log2x，x2＞log2x，在（0，＋∞）上一定成立吗？
提示：
结合图像知一定成立．
2．2x＞x2在（0，＋∞）上一定成立吗？
提示：
不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.
[研一题]
[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1130
2005
3130
4505
y2
5
94.478
1785.2
33733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.3107
1.4295
1.1407
1.0461
1.0151
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案] y2
[悟一法]
解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．
[通一类]
1．下面是f（x）随x的增大而得到的函数值列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
2x＋7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
log2x
0
1
1.5850
2
2.3219
2.5850
2.8074
3
3.1699
3.3219
试问：
（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
解：
（1）随x的增大，各函数的函数值都在增大；
（2）由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f（x）＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f（x）＝log2x，而且增长的幅度越来越小.
[研一题]
[例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：
每天回报40元；
方案二：
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[自主解答] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：
y＝40（x∈N＋）；
方案二：
y＝10x（x∈N＋）；
方案三：
y＝0.4×2x－1（x∈N＋）．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数
累积收益
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
…
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
[悟一法]
（1）解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．
（2）一般地：
指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
[通一类]
2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/102kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：
（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c.
即
解得Q＝
t2－
t＋
；
（2）Q＝
（t－150）2＋
－
＝
（t－150）2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.
若x2＜logmx在x∈（0，
）内恒成立，求实数m的取值范围．
[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在（0，
）内的上下位置关系，再构建不等式求解．
[妙解] 设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图像（如图），可知0＜m＜1.
当x＝
时，y1＝
，若两函数在x＝
处相交，
则y2＝
.由
＝logm
得m＝
，
又x2＜logmx在x∈（0，
）内恒成立，
因此，实数m的取值范围为
≤m＜1.
1．下面对函数f（x）＝log
x与g（x）＝（
）x在区间（0，＋∞）上的增减情况的说法中正确的是（ ）
A．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越快
B．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越慢
C．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越慢
D．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越快
解析：
在同一坐标下分别作出函数y＝log
x和y＝（
）x的图像，由图像知C正确．
答案：
C
2．下列所给函数，增长最快的是（ ）
A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x
答案：
D
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是（ ）
A．y＝0.2xB．y＝
（x2＋2x）
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
解析：
当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.
答案：
C
4．已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为________．
解析：
在同一直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图像，如图所示，
由于函数f（x）＝3x的图像在函数g（x）＝2x图像的上方，则f（x）＞g（x）．
答案：
f（x）＞g（x）
5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设xx年的湖水量为m，从xx年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：
设湖水量每年为上年的q%，则（q%）50＝0.9，
∴q%＝0.9
，∴x年后湖水量y＝m·（q%）x＝m·0.9
.
答案：
y＝0.9
·m
6．函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图像如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图像交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解：
（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx；
（2）当x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）．
一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（ ）
A．y＝10xB．y＝lgx
C．y＝x10D．y＝10x
解析：
由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．
答案：
D
2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的大致图像为（ ）
解析：
y＝f（x）＝（1＋10.4%）x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.
答案：
D
3．函数y＝2x－x2的图像大致是（ ）
解析：
由图像可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y<0，故排除D.
答案：
A
4．当0＜x＜1时，f（x）＝x2，g（x）＝x
，h（x）＝x－2的大小关系是（ ）
A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）
C．g（x）＜h（x）＜f（x）D．f（x）＜g（x）＜h（x）
解析：
在同一坐标下作出函数f（x）＝x2，g（x）＝x
，h（x）＝x－2的图像，由图像知，D正确．
答案：
D
二、填空题
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在xx年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到xx年，这所房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析：
1年后，y＝15（1＋x）；2年后，y＝15（1＋x）2；3年后，y＝15（1＋x）3，…，10年后，y＝15（1＋x）10.
答案：
y＝15（1＋x）10
6．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f（x）的图像恰好经过k个格点，则称函数y＝f（x）为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．
①y＝x2；②y＝x－1；③y＝ex－1；④y＝log2x.
解析：
这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点（1，1），（－1，－1）；而③y＝ex－1除了（0，0）外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．
答案：
③
7．若a＝（
）x，b＝x3，c＝log
x，则当x＞1时，a，b，c的大小关系是________．
解析：
∵x＞1，∴a＝（
）x∈（0，1），b＝x3∈（1，＋∞），
c＝log
x∈（－∞，0）．∴c＜a＜b.
答案：
c＜a＜b
8．已知a＞0，a≠1，f（x）＝x2－ax，当x∈（－1，1）时，均有f（x）＜
，则实数a的取值范围是________．
解析：
当a＞1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图像：
要使x∈（－1，1）时，均有f（x）＜
，只要当x＝－1时，有（－1）2－a－1≤
，解得a≤2，∴1＜a≤2.
当0＜a＜1时，同理，只需12－a1≤
，即a≥
.
∴
≤a＜1.
综上所述，a的取值范围是[
，1）∪（1，2]．
答案：
[
，1）∪（1，2]
三、解答题
9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：
“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．
迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．
试通过计算说明，谁将在合同中获利？
解：
在一个月（按31天计算）的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310（万元）．而吉米，
第一天得到1分，
第二天得到2分，
第三天得到4分，
第四天得到8分，
第20天得到219分，
……
第31天得到230分，
使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2147483647分≈2147.48（万元）．
所以在这份合同中吉米纯获利2147.48－310＝1837.48（万元）．所以吉米将在合同中获利．
10．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y（万元）随销售利润
x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：
y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：
借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像（如图），观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，当x∈（20，1000）时，y＞5，因此该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
＝
≤0.25成立．
令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]．
利用计算器或计算机作出函数f（x）的图像（如图），
由图像可知它是单调递减的，因此
f（x）＜f（10）≈－0.3167＜0，log7x＋1＜0.25x.
所以，当x∈[10，1000]时，
＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
2019-2020年高中数学3.6《函数的单调性》教案旧人教版必修
课时安排
1课时
从容说课
本节教学安排，应是在学生已有的单调性的概念基础上进一步建构完善认知结构，使学生充分认识学习导数的作用.可以从如下三个方面进行教学：
（1）从函数图象出发给出了用导数的符号判别函数增减性的方法.先从y=x2,y=x3，y=x4等常见的函数入手，让学生进行归纳概括出一般的问题.
（2）学生在高一学习函数时，已经知道了增函数、减函数和单调函数的意义，用导数判断或证明函数在给定区间的单调性要简捷得多.在教学时，要从学生的已有知识出发，并且要引导学生对新旧方法进行比较，例如，可以让学生用导数法重新证明《数学》第一册（上）的例题“证明函数f（x）=在（0，+∞）上是减函数”.通过比较，可以提高学生对导数与微分的学习意义的认识.
（3）本小节的内容是与后面两小节有着直接联系的.特别地，关于本小节习题的演练，带有一定的过渡性，较为系统、全面的解题方法将在后续各小节中逐步介绍.要让学生总结概括利用导数确定函数的增减区间的具体步骤，这样为以后的学习打下了基础.
还应向学生交待，以往是证明函数在某个区间是单调的，但他们不知道这些区间是如何划分的，这时可以补充例题：
求y=ax+（ab＞0）的单调区间.
第十二课时
课 题
3.6 函数的单调性
教学目标
一,教学知识点
1.函数单调性的概念.
2.增函数的概念与判别方法.
3.减函数的概念与判别方法.
4.常数函数的概念与判别方法.
二,能力训练要求
1.根据增函数的定义，求函数的单调递增区间或进行证明.
2.根据减函数的定义，求函数的单调递减区间或进行证明.
三,德育渗透目标
1.培养学生数形结合的数学思想.
2.使学生认识到新知识的学习，会为我们解决实际问题带来方便，激发学生的学习兴趣和求知欲望.
教学重点
增函数与减函数的新定义,新的判别方法的应用.
教学难点
增减函数的定义的理解，如何利用导数去判别函数的增减性.从函数图象出发给出增减函数的定义以及用导数的符号判别函数单调性的方法.关键是先求导，解不等式得单调区间，或者证明导数与0的大小关系来判别单调性.
教学方法
建构主义式
通过让学生观察图象，根据曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数f（x）的导数，来判断斜率的正负，从而得到f′（x）的正负与增减函数的关系，让学生自己重新定义增减函数.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们在高一时已经学习了增、减函数，它们是如何定义的？
［生］对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）,那么函数f（x）就是区间I上的增函数.
对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）,那么函数f（x）就是区间I上的减函数.
［师］那我们如何来判断一个函数是增函数还是减函数呢？
［生］可以根据定义，在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1＜x2，然后比较f（x1）与f（x2）的大小.f（x1）＜f（x2）,则是增函数；f（x1）＞f（x2）,则是减函数.
［师］回答得很好.什么叫函数的单调性？
［生］1.如果函数f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f（x）在这个区间上具有单调性.（板书）
［师］这节课我们来重新研究一下函数的单调性.
Ⅱ.讲授新课
（一）函数的单调性
［师］我们一起来观察一下这个函数图象.
y=f（x）=x2-4x+3.
图3-14
［师］曲线的切线与导数有什么关系？
［生］曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数f（x）的导数.
［师］y=f（x）=x2-4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？
［生］y=f（x）=x2-4x+3在（2,+∞）内为增函数，在（-∞,2）内是减函数.
［师］在（2,+∞）内，切线的斜率和f（x）的导数有什么特征呢？
［生］在（2,+∞）内，切线的斜率为正，f′（x）＞0.
［师］在（-∞,2）内呢？
［生］在（-∞,2）内，切线的斜率为负，f′（x）＜0.
（根据学生的回答，填写下列表格）
y=f（x）=x2-4x+3
切线的斜率
f′（x）
（2,+∞）
增函数
正
＞0
（-∞,2）
减函数
负
＜0
［师］我们能否根据函数的导数的正负与函数的增减性的关系来重新定义增减函数呢？
（学生回答，老师板书）
2.设函数y=f（x）在某个区间内可导，
（1）如果f′（x）＞0,则f（x）为增函数；
（2）如果f′（x）＜0,则f（x）为减函数.
［师］现在我们判断函数的增减性的方法是什么？
［生］也是根据定义，先对函数进行求导，再判断f′（x）在某个区间上是大于0还是小于0.大于0，是增函数;小于0，是减函数.
［师］如果f′（x）=0，f（x）是什么函数？
［生］∵C′=0（C是常数）,∴f′（x）=0.
则f（x）=C（C是常数）.∴f（x）是常数函数.
［板书］3.如果在某个区间内恒有f′（x）=0,则f（x）为常数函数.
［师］我们要判断一个函数是否是常数函数，只要看它的导数是否恒等于0.
（二）课本例题
［例1］确定函数f（x）=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
图3-15
解：
f′（x）=（x2-2x+4）′=2x-2.
令2x-2＞0,
解得x＞1.
∴当x∈（1,+∞）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数.
令2x-2＜0,解得x＜1.
∴当x∈（-∞,1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数.
（总结）求函数单调区间的步骤：
①求函数f（x）的导数f′（x）;
②令f′（x）＞0，解不等式，得x的范围，就是递增区间;
③令f′（x）＜0，解不等式，得x的范围，就是递减区间.
［例2］确定函数f（x）=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：
f′（x）=（2x3-6x2+7）′=6x2-12x.
令6x2-12x＞0,解得x＞2或x＜0.
∴当x∈（-∞,0）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数;
当x∈（2,+∞）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数.
令6x2-12x＜0,解得0＜x＜2.
∴当x∈（0,2）时，f′（x）＜0,f（x）是减函数.
图3-16
（三）精选例题
［例1］证明函数f（x）=在（0,+∞）上是减函数.
证法一：
（用以前学的方法证）任取两个数x1,x2∈（0,+∞）,且x1＜x2,
f（x1）-f（x2）=.
∵x1＞0,x2＞0,
∴x1x2＞0.
∵x1＜x2,
∴x2-x1＞0.
∴＞0.
∴f（x1）-f（x2）＞0,即f（x1）＞f（x2）.
∴f（x）=在（0,+∞）上是减函数.
证法二：
f′（x）=（）′=（-1）·x-2=-，
x＞0,
∴x2＞0.∴-＜0.
∴f′（x）＜0.
∴f（x）=在（0,+∞）上是减函数.
［师］比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些,如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
［例2］（xx年全国Ⅰ,理19）已知a∈R,求函数f（x）=x2eax的单调区间.
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