矩阵练习带答案分析.docx
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矩阵练习带答案分析
、填空题:
1.若A,B为同阶方阵，则（AB）（A-B）=A2-B2的充分必要条件是
AB二BA
1
2.若n阶方阵A,B,C满足ABC=I,I为n阶单位矩阵，则C=AB
（0B、
IB，0
3.设A，B都是n阶可逆矩阵，若C=，则C
S0丿
4•设A=2_1，则A"
厂11丿
1
0
0'
6.设A=
0
2
0
，则A
e
0
3>
10
01
2
00
0
0
1
3」
卩
-1
1、
（123、
（337）
5.设A=
B=
•则A+2B=
<1
1
-1丿
1-1-24丿
1-1-37
3、f2
At为A的转置，则AtB=
22、
-20
.6b
1-1
7.设矩阵A=
<20
*120"
8.A=312,B为秩等于2的三阶方阵，则AB的秩等于2
<01b
二、判断题（每小题2分，共12分）
1.设A、B均为n阶方阵，则（AB）"二AkBk（k为正整数）。
（x）
2.设A,B,C为n阶方阵，若ABC=1，则C’二B%'。
（x）
3.设A、B为n阶方阵，若AB不可逆，贝UA,B都不可逆。
（x）
4.设A、B为n阶方阵，且AB=0，其中A=0，则B=0。
（x）
5.设A、B、C都是n阶矩阵，且AB=1,CA=I，则B=C。
（V）
6.若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB二AC，则B也是n阶对角矩阵。
…（x）
7.两个矩阵A与B，如果秩（A）等于秩（B），那么A与B等价。
（x）
8.矩阵A的秩与它的转置矩阵AT的秩相等。
（V三、选择题（每小题3分，共12分）
1.设A为3X4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3AT的秩等于（B）
（A）1（B）2（C）3（D）4
2.假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的
3.
4.
（A）
（C）
已知
（A）
（C）
ABC=A（BC）
AB二BA
（B）kAB二A（kB）
（D）C（AB）=CACB
A、B为n阶方阵，
AB=BA
（AB）C二ACBC（D）
则下列性质不正确的是（A）
（B）（AB）C=A（BC）
C（A+B）=CA+CB
设PAQ=I，其中P、Q、
A都是n阶方阵，则（D
（A）A」=P
（C）A」二PQ
（D）A’QP
5.
设n阶方阵A，如果与所有的（B）
n阶方阵
B都可以交换,
AB二BA，那么A必定是
6.
（A）可逆矩阵
（B）
数量矩阵
（C）单位矩阵
两个n阶初等矩阵的乘积为（
（A）初等矩阵
（C）可逆矩阵
（D）
C）
（B）
（D）
反对称矩阵
单位矩阵不可逆矩阵
7.
有矩阵A32,B23,C33，下列哪一个运算不可行（
=CB,
A与B分别是什么矩阵（D）
（A）AC
（C）ABC
设A与B为矩阵且AC
（B）BC
（D）AB-C
C为mn的矩阵，则
（A）nmmn
（B）
（C）nnmm
（D）
（A）A，可逆（B）IA可逆
2
（C）-2A可逆（D）A可逆
10.A,B均n阶为方阵，下面等式成立的是（B）
（A）AB=BA
（B）（AB）t=AtBt
（C）（AB）」二A」BJ
11.设A,B都是n阶矩阵，且AB=0,
（A）A=0或B=0
（C）代B中至少有一个不可逆
则下列一定成立的是（C）
（B）代B都不可逆
（D）AB=0
12.设A,B是两个n阶可逆方阵，则'-ABT亍等于（A
（A）ATJBTJ（B）BT"AT」
（C）（bJaT
T1
（D）（B°）（AT）
13.若A,B都是n阶方阵，且
A,B都可逆，则下述错误的是（
（A）AB也可逆
（C）B4也可逆
（B）AB也可逆
（D）A」B」也可逆
14.A,B为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（B）
（A）AB（B）AB
（C）BA（D）BAB
15•设A,B均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单位矩阵的是（D）
（A）AB=B（B）AB=BA
（C）AA=\（D）A，l
16.设A,B都是n阶方阵，则下列结论正确的是（D）
（A）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵
（B）若A=0且B=0，则AB=0
（C）若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵
（D）若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵
17.若A与B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则（A）
（C）R（A）=O
（D）R（B）=O
■1
-1
-11
2
-1
_3
厂3
4
4_
j
23[
_1
2
24
2
13一
厂3
1
1
2
1
2丿
，求BtA及AJ
95
128
86
卩
0
1'
卩
1
3、
2.求解矩阵方程
1
1
0
X=
4
3
2
1°
1
1丿
2
5丿
2
四、解答题:
1.给定矩阵A二
解：
bta二
0
1
2
2
123
B=221
】343一
-1-1-4
-1-3
44
，Z1
0
1
j
1
-11
1
1
0
=
-1
1
1
2.
1
1>
•
1
-1
1一
210
X=|222
■-103一
11
3.求解矩阵方程XA=B，其中A=02
'1-1
-11
「1
-1
1
1
11
0
1
.（2分）
解：
因为A--6所以A可逆
A"
（4分）
..（4分）
1
X=BA
4.求解下面矩阵方程中的矩阵
z0
（1
-4
0
0
-2
-1
解:
所以X
11
=ACB
-4
'0
1
0
1
0
0、
1
-4
3、
1
0
0
B=
0
0
1
C=
2
0
-1
1°
0
b
1°
1
°」
J
-2
°」
令A-
则代B均可逆，且
1
0、
『1
0
0、
1
0
0
0
0
1
<°
0
b
<°
1
°.>
A」
一2丿
<-1
2
3丿
AB=A+2B即（A
-2I）B=
A…
2分
23X
斗
（1
-4
-3X
而（A-21）
-4
：
1
-10
=
1
-5
-3
..3分
1-1
21」
1-1
6
4丿
5.设矩阵A二
1
1
0
B，使其满足矩阵方程A^A2B.
，求矩阵
解:
r1
-4
-3）
1
2
3〕
B=（A—21）二
A=
1
-5
-31
1
1
0
I-1
6
4丿
I-1
2
3丿
广3
—8
-6^
=
2
_9
_6
\_2
12
9‘
所以
五、证明题
1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
证明：
因为A是反对称阵，所以A（3分）
（a2）t=（aa）t=atat=（_a）（-aha2,所以A为对称阵。
（5分）
2.设矩阵RB及AB都可逆，证明AAB」也可逆。
证明：
因为a,B,A+B可逆，故A」,B」,（A+B），存在，3分
所以有
1.-1.-1
（AB）BABA=（ABI）BAA
1i-4
=（AB+AA）（B+A）A4
=A」（BA）BAA
=A」A=1
故AJB‘可逆，其逆为BAB‘A
3.已知代B为n阶方阵，且A2二A,B2二B,（A-B）2二AB,
证明：
ABBA=0
证明：
（A_B）2=A2B2_AB_BA=AB4分
所以ABBA=04分
BA。
4.设A,B为两个n阶方阵，试证明：
（A-B）（A•B）=A2-B2的充要条件是AB二
证明：
充分性：
因为AB=BA
所以（A-B）（AB）二A2AB-BA-B2二A2-B24分
必要性：
因为（A—B）（AB）=A2—B2，即A2AB—BA—B2=A2—B2
所以AB二BA8分
5.A是反对称矩阵，B是对称矩阵，
证明：
AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA。
证明：
充分性：
因为人丁=—A,bT=B,AB=BA
所以（AB）^=Bt=-BA=-AB,即AB是反对称矩阵4分
必要性：
因为AB是反对称矩阵，即（AB）T--AB
又（AB）T二BTAT二-BA
所以AB二BA8分
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