矩阵练习带答案分析.docx

1、矩阵练习带答案分析、填空题:1.若A , B为同阶方阵，则(A B)(A-B) =A2 -B2的充分必要条件是AB 二 BA12.若n阶方阵A , B , C满足ABC = I , I为n阶单位矩阵，则C = AB(0 B、IB， 03.设A，B都是n阶可逆矩阵，若C = ，则CS 0丿4设 A = 2 _1，则 A厂1 1丿100 6.设 A =020，则Ae031 00 120 00013卩-11、（1 2 3、（3 3 7）5.设 A =,B =则 A + 2B =11-1丿1-1 -2 4丿1-1 -3 73、 f2At为A的转置，则AtB =2 2、-2 0.6 b1 -17.设矩阵

2、A =2 0*12 08.A = 3 1 2 , B为秩等于2的三阶方阵，则 AB的秩等于 2 1-11 一2 1 0X = | 2 2 2 -1 0 3一1 13.求解矩阵方程XA = B，其中A = 0 21 -1-111-1111101.(2 分)解：因为 A- -6 所以A可逆A（4分）.（4分 ）1X =BA4.求解下面矩阵方程中的矩阵z0(1-400-2-1解:所以X1 1=A CB-4010100、1-43、100,B =001C =20-110b11J-2令A -,则代B均可逆，且10、100、1000010bA一2丿-123丿AB =A+2B 即（A-2I ）B =A 2分2

3、 3X斗（1-4-3X而（A-21）-4：1-1 0=1-5-3.3分1-12 11-164丿5.设矩阵A二110B，使其满足矩阵方程AA 2B.，求矩阵解:r 1-4-3)123B =(A 21)二A =1-5-3 1110I-164丿I-123丿广38-6=2_9_6_2129 所以五、证明题1.若A是反对称阵，证明 A是对称阵。证明：因为 A是反对称阵，所以 A （3分）（a2）t =（aa）t =atat =（_a）（-ah a2,所以 A为对称阵。（5分）2.设矩阵RB及A B都可逆，证明 AA B也可逆。证明：因为a, B , A + B可逆，故A,B,(A+B)，存在， 3分所以

4、有1 . -1 . -1(A B )B A B A =(A B I) B A A1 i -4=(A B +A A)(B +A ) A 4=A(B A) B A A= AA =1故AJ B可逆，其逆为B A B A 3.已知代 B 为 n 阶方阵，且 A2 二 A, B2 二 B , (A - B)2 二 A B ,证明：AB BA = 0证明：(A _ B)2 = A2 B2 _ AB _ BA = A B 4 分所以AB BA =0 4分BA。4.设A,B为两个n阶方阵，试证明：（A-B）（A B） = A2 - B2的充要条件是 AB二证明：充分性： 因为AB=BA所以（A - B）（A B）二 A2 AB - BA - B2 二 A2 - B2 4 分必要性：因为（A B）（A B） = A2 B2，即 A2 AB BA B2 = A2 B2所以AB二BA 8分5. A是反对称矩阵，B是对称矩阵，证明：AB是反对称矩阵的充要条件是 AB = BA。证明： 充分性：因为 人丁=A, bT=B, AB = BA所以（AB） = Bt = -BA = -AB,即AB是反对称矩阵 4分必要性：因为 AB是反对称矩阵，即（AB）T - - AB又（AB）T 二 BTAT 二-BA所以AB二BA 8分