现代工程数学 完整版全套优质课件.docx
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教材和参考书
教材
IntroductoryCombinatorics（组合数学）
R.A.Bruadli著机械工业出版社
第三版（中文）38元第三版（英文）35元
第四版（中文）45元第四版（英文）59元
销售经理余勇:
参考书
组合数学引论孙淑玲许胤龙中国科学技术大学出
版社
组合数学卢开澄清华大学出版社组合数学
第1章什么是组合数学
第2章鸽巢原理
第3章排列与组合
第4章生成排列和组合
第5章二项式系数
第6章容斥原理及应用
第7章递推关系和生成函数
第8章特殊计数序列
第10章组合设计第1章什么是组合数学
组合数学是研究“安排”的学科。
主要研究以下四类
问题。
1.存在性问题（是否存在某种安排）
2.计数问题（安排的个数、枚举、分类）
3.构造问题（寻找安排的算法）
4.优化问题（找出一定条件下的最优安排）排课表问题
需安排甲、乙、丙、丁四位教师教英语、日语、德
语、法语四门课,每人教一门。
甲和乙能教英语、日语,
丙能教英语、德语、法语,
丁只能教德语,
是否能够排出课表?
甲、乙、丙、丁分别教英语、日语、法语、德语。
棋盘完美覆盖问题
一个多米诺骨牌可覆盖同一行或同一列两相邻方格。
若用若干多米诺骨牌覆盖棋盘所有方格,并且多米
诺骨牌不重叠,则称该覆盖为完美覆盖。
mn棋盘有完美覆盖iffm和n中至少有一个是
偶数。
当m是偶数时,每块多米诺骨牌竖放。
当m是奇数且n是偶数时,每块多米诺骨牌横放。
当m和n都是奇数时,棋盘的方格数mn是奇数。
幻方
2在由1,2,…,n组成的nn方阵中,若每行之
和、每列之和、每条对角线之和都相等,则称
该方阵为n阶幻方。
对于n2,存在n阶幻方。
例如,左下方方阵是3阶幻方。
若右下方方阵
是2阶幻方,则u+vu+y,所以vy,矛盾。
无2阶幻方。
816?
uv357xy492?
计数问题
3
将三角形顶点染红、蓝两色,共有28种方法,
若一种染色旋转后可变为另一种,则认为这两种染
色相同,那么仅有4种方法（分别有0,1,2,3个顶
点染红色）。
有多少种方法将正整数n表示成正整数之和,即n
有多少个分拆。
如4有5个分拆:
4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1构造问题
构造n阶幻方的方法,其中n是奇数。
将1放在第一行中间。
自左下至右上沿对角线顺次放随后各数,将最后
一行认为是第一行上面的行,第一列认为是最后
一列右面的列。
若要放数的位置已有数,则将数放在原数下方。
816357492?
优化问题
A,?
A地分别生产某种商品a,?
a吨,B,?
B地
1m1m1n
mn
分别销售该种商品b,?
b吨,ab（供需平衡）。
1nij
i?
1j?
1
从A到B的运价为每吨c元。
如何安排运输最经济?
ijij
mn
设从A到B的运量为x吨。
求mincx?
ijijijij
i?
1j?
1
nm
约束条件xa,xb?
ijiijj
j?
1i?
1第2章鸽巢原理
本章主要讨论简单形式和加强形式的鸽巢原理
及其应用。
本章还简单讨论鸽巢原理的推广:
Ramsey定理。
2.1鸽巢原理:
简单形式
2.2鸽巢原理:
加强形式
2.3Ramsey定理
作业2.1鸽巢原理:
简单形式
定理2.1.1若将多于n个物体放入n个盒子,则至
少有一个盒子中的物体数大于1。
存在从A到B的单射（一对一的函数）当且仅当|A||B|。
存在从A到B的满射（映上的函数）当且仅当|A||B|。
存在从A到B的双射（一一对应）当且仅当|A||B|。
鸽巢原理应用
从1,2,…,200中任意选出101个数,必有两个数
其中一个能够整除另一个。
k
证明将数表示成形式2a,其中a是奇数。
小于
200的奇数只有100个,即1,3,…,199,所以这
kj
101个数中必有两数表示为2a和2a,
kj2a|2a当且仅当kj鸽巢原理应用
设n是正整数,必存在由数字0和7组成的正
整数能被n整除。
证明7,77,?
77?
7是n?
1个不同正整数,它们被n除
n?
1个
余数只有n种可能,所以必有两数被n除余数相同。
设
ij,77?
7和77?
7被n除余数相同。
则它们的差为
i个j个
77?
700?
0,这是能被n整除的数。
j?
i个i个中国剩余定理
设m和n是互素的正整数,即它们的最大公约数
是1,0am,0bn,必存在正整数x使得,
m除x余a,n除x余b。
证明考虑n个数a,m+a,…,n1m+a
若其中两数im+a和jm+a被n除余数相同,则
n|ijm,n|i?
j,0|i?
j|n,矛盾。
a,m+a,…,n1m+a
被n除余数各不相同,其中有mk+a被n除余b,
取xmk+a。
2.2鸽巢原理:
加强形式
定理2.2.1设q,…,q是正整数。
将
1n
q+…+qn+1
1n
个物体放入n个盒子,或者第1个盒子中至少
有q个物体,…,或者第n个盒子中至少有q
1n
个物体。
证明否则物体总数至多
q?
1+…+q1q+…+qn
1n1n
取q…q2,就退化为简单形式的鸽巢原
1n
理。
2
证明由n?
1个实数组成的序列a,?
a,或者有长度
2
1
n?
1
为n?
1的递增子序列,或者有长度为n?
1的递减子序列。
证明设m为从a开始的最长递增子序列长度。
若无长
ii
度为n?
1的递增子序列,则每个mn,m,?
m中必
2
i1
n?
1
有n?
1个相同的。
设mm,其中kk。
kk1n?
1
1n?
1
我们证明a,?
a是递减子序列。
若aa,则将
kkkk
1n?
1ii?
1
a放在从a开始的最长递增子序列前面就得到更长的
kk
ii?
1
递增子序列,这与mm矛盾。
kk
ii?
12.3Ramsey定理
用K表示n阶完全无向图,用红、蓝两种颜色为
n
K的边染色,若每条边都染成红（蓝）色,则称
n
它为红（蓝）K。
nKKKK
2345设正整数p,m,n2,引进记号K?
K,K:
pmn
若用红、蓝两种颜色为K的边任意染色,则总存
p
在红K或蓝K。
mn
Ramsey定理若正整数m,n2,则存在正整数p
使得K?
K,K。
并称使K?
K,K成立的最小
pmnpmn
正整数p为Ramsey数rm,n。
K?
K,K不成立。
533
由此可知,r3,35。
r3,36
设K的六个顶点分别为v,…,v。
v与
6161
v,…,v的连边中必有三个是同色的,不妨设
26
v与v,v,v的连边都是红色,若三角形vvv
1234234
中某边是红色的,则有红三角形。
若三角形
vvv中边都是蓝色的,则有蓝三角形。
234
因此,K?
K,K。
633r3,36,因此,r3,36。
显然,rm,nrn,m。
rm,2m。
若K中都是红边,则有红K;若K中有蓝边,
mmm
则有蓝K。
所以KK,K。
2mm2
若K中都是红边,则既没有红K,也没有蓝
m?
1m
K。
所以KK,K不成立。
2m?
1m240r3,10r10,343,即
KK,K成立且KK,K不成立。
4331039310
对于i40,41,42,不知KK,K是否成立。
i310rk,l表可以将Ramsey定理推广到任意多种颜色的情况。
引进记号KKn,…,Kn
p
1k
表示:
用k种颜色c,…,c为K的边任意染色,或
1kp
者有一个被染成c色的Kn,…,或者有一个被染
1
1
成c色的Kn。
k
k
Ramsey定理若n,…,n2,则存在正整数p使得
1kKKn,…,Kn
p
1k
使得KKn,…,Kn成立的最小正整数p称为
p
1kRamsey数rn,…,n。
1k
r3,3,317无向图中的边是顶点集的2元子集,可以将Ramsey定理
t
推广到为t元子集染色。
用K表示一个n元集的所有t元
n
子集的集合。
Ramsey定理设t是正整数,q,?
qt,则存在正整数
1k
p使得
ttt
KK,?
K
pqq
1k
即当用k种颜色c,?
c为一个p元集A的所有t元子集任
1k
意染色时,或者总有一个A的q元子集的所有t元子集都
1
染成c色,,或者总有一个A的q元子集的所有t元子
1k
集都染成c色。
k
ttt
使得KK,?
K成立的最小正整数p称为Ramsey数
pqq
1k
rq,?
q。
t1kRamsey定理是加强形式鸽巢原理的推广。
令t1,将“为1元子集u染色c”看作“将u
i
放入第i个盒子中”,可以得出
rq,…,qq+…+qk+1
11k1k作业
5,10,15,16第3章排列与组合
3.1两个基本的计数原理
3.2集合的排列
3.3集合的组合
3.4多重集的排列
3.5多重集的组合
作业3.1两个基本的计数原理
加法原理
设SSS…S是m个两两不相交集合
12m
之并,则|S||S|+|S|+…+|S|。
12m
乘法原理
|AB||A||B|
其中ABa,b:
a?
A,b?
B
相等原理
如果在集合A和B之间存在一一对应,
则|A||B|。
例确定10!
的正整数因子数
842
10!
23…102357
ijkl
m|10!
iffm2357,
其中0i8,0j4,0k2,0l1
10!
的正整数因子数9532270恰有一位数字是5的100
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