完整版考研微分方程知识归纳.docx
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完整版考研微分方程知识归纳
微分方程部分
重点内容
1、变量可分离的微分方程
（1）形式2=/（x）g（v）或M（x）Mr（y）dx+N（x）N（y）dy=0
ax
⑵通解或用欲+J诜訥=c
2、齐次方程
⑴形式字=疋）或字=斥）
cixxayy
（2）通解［dU=f—+C（令上=“，则y=xii,字=“+x半）或
J-uJxxaxax
rducdx,xmldxdu、
=一+C（令一则x=yu,—=w+y—）
J-uJxyayay
3、一阶线性微分方程
（1）形式y'+p（x）y=q（x）
（2）通解尸e^x）dx（Jq⑴e^x）dxdx+C）
4、可降阶的高阶微分方程
（1）k）=y（x）,其中/（x）为已知函数
积分〃次可得其通解
（2）/=/（%,/）（不显含y）
令yf=p9则y”=卄于是，原方程可化为
设①的通解为p=（p（x、C）,即
y'=0（x,CJ（—阶）②
由②可得通解
y=^（p（x.Ci）clx+C2
（3）/=（不显含X）
令y=p,则『”=卩=卑=卑勢=p学。
于是，原方程可化为
axayaxay
p孑=f（y,p）（—阶）①
dy
设①的通解为〃=0（y,CJ,即
V=0（y,Cj（—阶）②
由②可得通解
rdy-
:
=x+C、
」0（y,cj_
5、二阶线性微分方程
（1）形式
非齐次y"+p（x）yf+q（x）y=f（x）
（1）
齐次y"+p（x）y'+g（x）y=O
（2）
（2）解的结构
定理1若y2«为
（2）的两个解，则G儿（x）+C』2（x）为
（2）的解。
定理2若y2（x）为
（2）的两个线性无关的解，则C$（x）+C*2（x）为
（2）的通解。
XW、F,（刀线性无关O丄心-建常数。
"儿（x）
定理3若y\（%）,y2（x）为
（1）的两个解，则y\（x）-y2（x）为
（2）的解。
定理4若儿（x）为
（2）的解，y（x）为
（1）的解，贝!
Jy°（x）+y（x）为
（1）的解。
定理5若Cy（x）+q儿（x）为
（2）的通解，y\x）为
（1）的一个特解解，则
（1）通解为y=G）\（x）+c*2（x）+
6、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
y"+py'+qy=0（p,q为常数）
的通解：
特征方程A2+pA+q=0的判别式厶=p‘-4q
y=C^x+C2e^x（A>0,有两相异实根人仏）
2
y=（C£+C2x）e^x（A=0*有两相等实根/^=22=/0）
y=（C{cosJ3x+C2smpx）eax（A<0,有一对共轨复根=a±pi）二阶常系数非齐次线性微分方程
yn+py'+qy=f（x）（p,q为常数，/（x）为已知函数，称为自由项）特解的表示：
⑴若f（x）=Pn（x）eax（其中代（x）为川次多项式），则可设特解
才"Q（x）严
0,a不是特征根
其中。
”⑴为（系数待定的）〃次多项式，k=\l.a是单特征根
2,a是重特征根
注意当/（x）=^U）即&=0时，也要考虑其是否为特征根！
（2）若/（%）=aeaxcosfix或f（x）=beaxsinfix,则可设特解
y*=xkeax（Acos/3x+Bsinfix）
其中人3为（待定）常数,
Ja土卩i不是特征根
l,a±0i是特征根
⑶若/W=/1（x）+/2（x）,且y：
为
yn+pyf+qy=fM
的特解,y；为
yff+pyf+qy=f2（x）
的特解,则/=）；+y；为
yff+pyf+qy=fM+f2（x）
的特解（特解的可叠加性）。
7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
（1）三阶）严+py"+c（y9+ty=0
特征方程兄'+p^2+qA+r=0
1三个相异实根右,人,人时的通解
y=C^x+C2eA^x+C#®
2两个为二重实根入=心=人，另一个为单实根人时通解
y=（C]+C2x）e^x+C3严％
3三个为三重实根人=人=人=人时的通解
y=（G+C-.x+C^ye^
4一个为单实根人，另两个为共緬复根人.3=ct±Pi时的通解
y=C{eAlX+（C2cos0x+C3sin0x）eax
（2）四阶+pym+qyn+ryf+sy=0
特征方程/+pf+qF+以+$=0
1四个相异实根人,人，4,人时的通解
y=CkeAlX+C2eA：
x+C3e^x+C^x
2两个为二重实根A=另两个也为二重实根A=^2=^02时的通解
y=（C；+C2x）e;-°lX+（C3+C4x）e^x
3三个为三重实根人=厶=人=人，另一个为单实根人时通解
y=（G+C2x+Cix~）e^x+C^x
4四个为四重实根人=22=/^=24=20时通解
y=（C\4-C2x+C3x2+C4x^）e^x
5两个为二重实根人=人=人，另两个为相异实根心，人时的通解
y=（C；+C2x）e^x+C^x+C4xe^x
6两个为二重实根入=入=入，另两个为共轨复根\A=a±pi时的通解
y=（C]+C2x）e^x+（C3cosflx+C4sin0x）eax
7两个为相异实根人，人，另两个为共轨复根^4=a±pi时的通解
y=严+C2e^x+（C3cospx+C4sin0x）eax
例题选讲
例1二阶常系数非齐次线性微分方程/-4/+3y=2e2x的通解为。
（2007数学二）
解特征方程^-42+3=0
特征根人=1,久2=3
余函数y=C{ex+C2eix
设特解才=4戶，代入非齐次方程可得A=-2
得通解y=C]/+c?
，"一2幺"
例2求微分方程y\x+y，2）=y满足初始条件y（l）=y'（l）=l的特解。
（2007数学二）
解（可降阶，不显含y）
令y'=p,则y"=p»于是，原方程可化为
p\x+p2）=p
变形为
丄x=p（将X作为〃的函数，这点很关键！
！
！
）
dpP
Ky'+cj
由y（l）=1,得C1=0,则有（y'），=x,又由y'（l）=1知，应取
y'=4x
解得
2-
y=-x-+G
3-
由y（l）=1,得C2=|
故方程y\x+y，2）=y满足初始条件y（l）=y'（l）=1的特解为
2I1y=—x-+-
33
例3在下列微分方程中，以y=C/+C2cos2x+C3sin2A：
为通解的微分方程是（）
A、ym-yn-4/-4y=0E、y”+y"+4y'+4y=0
C、ym-yn-4yr+4y=0D、y"+4y'_4y=0
（2008数学二）
解特征根为A=1^2,3=±2/
特征方程为（2一1）（2+20（2一20=（2-1）（/2+4）=几'一兄'+4兄一4=0,故应选D。
例4设/（切是区间［0,+8］上具有连续导数的单调增加函数，且/（0）=1o对任意虫［0,2］,直线x=0,x=r,曲线y=/（x）以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面枳在数值上等于其体枳的2倍，求函数/（切的表达式。
（2008数学二）
解由题设，有
2町:
二2打；/2（x）〃（旋转体侧面面积公式，要记住！
）
即
J；fgjwgdx=£f\x）dx
方程两边对f求导，得
mo卜⑴
解得
lii（y4--1）=f+C］,y+J—1）=Cd
由y（0）=l,得C=lo
所以y+yjy2-l）=el,或$=f（x）=-（ex+e~x）o
2
例5设非负函数y=y（x）（x>0）满足微分方程xyn-y,+2=0,当曲线y=y（x）过原点时，其与直线x=l及y=0所闱成平面区域D的面积为2,求£>绕y轴旋转所得旋转
体体积。
（2009数学二）
解将微分方程A/-y'+2=0变形为
12
y"——y=——（x>0）（不显含y）
（1）
xx
注意到方程
（1）为关于:
/及x的一阶线性微分方程，则
yf=e®（J（-—）e^dx+2Cj
=严'（]*（一彳）£®dx+2Cj="（J*（-f""+"J
2
=x（—+CJ=2+2Cxx
x
于是，有
y=C{x2+2x+C2
由y=y（x）过原点,得q=0,则y=Ctx2+2xo
又由2=]*；（阳+2惦=¥+1,得C1=3,从而所求函数为y=3x2+2x
于是
Vy=x（3x24-2x）dx=2”J：
（3x3+2x2）dx=#龙。
注意1用公式Vy=2^"xf（x）dx要简便得多!
Cy=f（x）9xe[a,b]^
（不显含y）
。
（2010
注意2可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为/=/（%,/）型。
例6三阶常系数齐次线性微分方程）严-2十+#-2），=0的通解为_数学二）
解特征方程为
才_2才+2_2=0
因式分解得
（2—2）（，+1）=0
特征根为人=2人=±「
通解为
y=Cte2x+C2cosx+C3sinx
注意与08年类似。
例7设函数y=f（x）由参数方程\x=lt+t所确定，其中0（f）具有二阶导数,且0
（1）=二,0‘
（1）=6。
已知1等=一，求函数0（/）。
（2010数学二）
2dx~4（1+0
£心）虫必）旦
dx2（1+/）dt2（1+/）dx
0（）（1+f）-『（f）1=『0）（1+f）—『（/）
2（1+厅2（1+/）_4（1+厅
又瞑=」一，则
df4（1+/）
心）（1+『）一必）=3（1+厅
变形为
『’a）-一0（。
=3（i+1）（这是关于『及t的一阶线性微分方程）
1+/
则
f—f—i-J/
y/f（t）=/1+/（J3（1+t）eJ出df+CJ
=严）（j3（1+tye'^dt+C}）
=（i+f）⑶+cj=3/2+（C]+y）t+q
由0‘
（1）=6,得6=3+（C]+3）+C],C\=0
则
=3t2+3t
于是
z33、小
=t+-t~+C2
2
553
由0
（1）=_,得一=1+一+c「C.=0
222■■
所以有
3
l//（t）=e+-t2
注意1一阶线性微分方程是考试重点
（x=（p（t）
注意2由参数方程?
心所确定的函数的导数也是考试的重点
Iy=0（。
dy_y/\t）巧心）0（r）-以/0（/）
dx（P0'dx2[0（/）『
其中公式
d»_0"（/）0（/）-『⑴矿（/）
dx'[必）『
可与曲率公式
A.—
[0（f）严
联系起来记。
例8微分方程/-22y=^+e-Zx（2>0）的特解的形式为（）
B、ax（eAx+e'Ax）
D、x2（ae^x+be^x）
a、y+严）
C、x（aeAx+be~Ax）
（2011数学二）
解特征方程为r-A2=0
特征为rY=^r2=-A（单根）
）/—才y=严的特解可设为m严,y"-A2y=的特解可设为xbe'Ax于是，应选C。
注意特解的可叠加性
例9微分方程+y=厂cosx满足条件），（0）=0的解y=°（2011数
学二）
y=e（Je~xcosx•e^dx+C）
-（Jcos*・e^x+C）
=Q（sinx+C）
由y（0）=0,得C=0,则满足条件y（0）=0的解y=e"rsmx
注意1应检验是否为y'+y=e^cosx的解
注意2进一步说明：
一阶线性微分方程是考试重点
例10设函数y=y（x）具有二阶导数，且曲线l：
y=y（x）与直线y=x相切于原点，记
G为曲线/在点（X,刃外切线的倾角，若f=g,求y=y（x）的表达式。
（2011数学二）
axclx
解Fhtail=y,有a=arctaiiyf,从而
da
dx
又由学=字,得
dxdx
/=y（i+y2）（不显含x）
令y'=p，则y"=p雲,从而有dy
y'=tan（y+Cj
n由））（0）=0,y'（0）=1,得1=tanC.,C.=—。
4
于是
TT
/=tan（y+—）（此为可分离变量的微分方程）
4
解得
hisiii（y+—）=x+hiC2
或
rr
sm{y+-）=C2ex
由y（0）=0,得C?
=丰，贝ij
y=aicsin（—ex）~—
24
注意1利用导数的几何意义建立微分方程
注意2微分方程y"=y（l+/2）也不显含y,但解法较繁
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