物理学论文 弹簧摆运动的分析.docx

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物理学论文弹簧摆运动的分析

摘要

本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论了初始位置和弹簧长度、振子质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。

弹簧摆的径向振动时，小球的初始摆角对振子的振幅以及周期均没有影响；小球的质量、弹簧长度、弹簧劲度系数对振幅以及周期均有影响。

弹簧摆的横向振动时，初始摆角对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向运动的振幅有影响；弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅和周期有影响；弹簧长度对振子横向运动的振幅以及周期均有影响；小球质量对振子横向运动的振幅以及周期均有影响。

关键字：

弹簧摆；matlab；径向运动；横向运动；振幅；周期

Abstract

Thispaperisaimedatthespringpendulumthismotionmodel,intheverticalplaneusingMATLAB,bynumericalcalculation,theradialvibrationandlateralvibrationoftwokindsofcircumstances,thevibrationcurveofthesystemisanalyzed,therelationshipbetweentheamplitude,periodandtheinitialvibrationsystemswingangle,springlength,ballmass,springstiffnesscoefficientobtained.

Theradialvibrationofaspringpendulum,thereisnoeffectoftheinitialamplitudeofswingangleofballvibtratorandcycle;effectofballmass,lengthofspring,springstiffnesscoefficientoftheamplitudeandfrequencyof.

Thetransversevibrationofaspringpendulum,didnotaffecttheamplitudeofballmassandspringstiffnesscoefficientofvibration,butthecycleofvibrationeffect;noeffectsofperiodicinitialswingangleofthevibrator,buttheamplitudeofvibrationisinfluencedbythelengthofthespring;theamplitudeandperiodoftheeffectofvibration.

Keyword:

springpendulum;MATLAB;radialmotion;lateralmotionamplitude;cycle;

目录

第一章前言………………………………………………………………………………1

第二章弹簧摆的径向运动…………………………………………………………2

2.1弹簧摆的动力学方程…………………………………………………………2

2.2数值分析与讨论…………………………………………………………………3

2.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………3

2.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响……………4

2.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………5

3.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………6

2.3小结………………………………………………………………………………7

第三章弹簧摆的横向运动……………………………………………………………8

3.1数值分析与讨论…………………………………………………………………9

3.1.1分析初始摆角对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………9

3.1.2分析弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅、周期的影响………………11

3.1.3分析弹簧长度对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………13

3.1.4分析小球质量对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………15

3.2小结……………………………………………………………………………17

第四章总结……………………………………………………………………………18

参考文献……………………………………………………………………………………19

致谢…………………………………………………………………………………………20

第一章前言

物体在一定位置附近所作的往复运动称为机械振动。

这种振动现象在自然界是广泛存在的。

例如，摆的运动，一切发声体的运动，机器开动时各部分的微小颤动等都是机械振动。

在不同的振动现象中，最基本最简单的振动是简谐振动。

一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动，弹簧振子和小角度单摆就是简单的简谐振动。

对于弹簧振子和小角度单摆，在普通物理教材[1]中，作为典型例子进行了讨论分析，而弹簧振子和单摆的合成弹簧摆则没有讨论。

文献[2]由初值用差分递推方法模拟弹簧摆的运动，把小球的运动分为横向和径向两个方向，研究了初始摆角和劲度系数对弹簧摆运动的影响。

文献[3]从系统的动力学方程出发，并以频率比（弹簧振子固有频率与单摆固有频率之比）作为控制参数，利用Matlab软件对不同控制参数和初始摆角下的弹簧摆进行了数值模拟，直观地研究了弹簧摆的运动。

本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论初始位置和弹簧长度、小球质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。

第二章弹簧摆的径向运动

2.1弹簧摆的动力学方程

如图2.1所示，弹簧摆是由轻质弹簧和悬挂的小球构成。

弹簧的劲度系数为k，原长为l0，小球的质量为m，直径忽略不计，可看作质点。

2.1弹簧摆

如图所示，若以悬点为原点O，原点到小球的距离为r，弹簧与竖直方向的夹角为θ，建立极坐标系，由牛顿第二定律，有

（2.1）

（2.2）

则极坐标系中弹簧摆系统的动力学微分方程为

（2.3）

（2.4）

下面利用matlab，通过数值分析的方法，求解振动微分方程（2.3）和（2.4），分析弹簧摆的径向运动的振动曲线，来讨论小球初始摆角

和弹簧长度

、小球质量m、弹簧劲度系数k对系统振动的影响。

2.2数值分析与讨论

2.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响

取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

或

，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.2、图2.3所示。

图2.2　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，弹簧摆的径向振动曲线

图2.3　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，径向振动曲线

结论1：

由图2.2和图2.3，我们可以看知：

小球在径向作周期运动，初始摆角

对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均没有影响。

2.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响

取m=0.01kg，

=1.0m，

=

，k=0.01或0.05，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.4、图2.5所示。

图2.4　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，径向振动曲线

图2.5　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.05，

=

，径向振动曲线

结论2：

由图2.4和图2.5，我们可以看知：

小球在径向作周期运动，弹簧劲度系数k对弹簧摆径向的振幅以及周期均有影响，k越大，弹簧摆的周期越短且径向振幅越小。

2.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响

取m=0.01kg，

=

，k=0.01，

=1m或者5m，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.6、图2.7所示。

图2.6取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，径向振动曲线

图2-7取m=0.01kg，

=5.0m，k=0.01，

=

，径向振动曲线

结论3：

由图2.6和图2.7，我们可以看知：

小球在径向作周期运动，弹簧长度

对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均有影响，

越大，径向振幅越大，周期越大但变化不很大。

2.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响

取

=

，k=0.01，

=1m，m=0.01kg或者0.05kg，可得到弹簧摆系统的径向运动振动曲线即r-t曲线，如图2.8、图2.9所示。

图2.8取

=1.0m，k=0.01，

=

，m=0.01kg，振动系统的径向振动曲线

图2.9取

=1.0m，k=0.01，

=

，m=0.05kg，振动系统的径向振动曲线

结论4：

由图2.8和图2.9，我们可以看知：

小球在径向作周期运动，小球质量m对振子的径向运动的振幅以及周期均有影响，m越大，振幅越大，周期越长。

2.3小结

由前面的几组图形的对比，我们可以很清楚的得到，对弹簧摆的径向运动，是周期运动，小球的初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均没有影响；弹簧劲度系数、弹簧长度、小球质量对振幅以及周期均有影响，弹簧劲度系数越大，弹簧摆的周期越短且径向振幅越小；弹簧长度越大，径向振幅越大，周期越大；小球质量越大，振幅越大，周期越长。

第三章弹簧摆的横向运动

在极坐标系中，弹簧摆系统的动力学微分方程为

（2.3）

（2.4）

下面利用matlab，通过数值分析的方法，求解运动微分方程（2.3）和（2.4），分析弹簧摆的横向运动的振动曲线，来讨论小球初始摆角

和弹簧长度

、小球质量m、弹簧劲度系数k对系统振动的影响。

3.1数值分析与讨论

3.1.1分析初始摆角对振子横向运动的振幅、周期的影响

取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

或

，可得到振动系统的横向振动曲线即

-t曲线，如图3.1、图3.2所示。

图3.1　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，振动系统的横向振动曲线

图3.2　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，振动系统的横向振动曲线

为便于分析观察，将时间参数由200秒减少到40秒，再画横向振动曲线，如图3.3、图3.4所示。

图3.3　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，振动系统的横向振动曲线

图3.4　取m=0.01kg，

=1.0m，k=0.01，

=

，振动系统的横向振动曲线

结论5：

由图3.1和图3.2，及比较图3.3和图3.4，我们可以知道：

横向作准周期运动，初始摆角

对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向运动的振幅有影响，

越大，振幅越大。

3.1.2分析弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅、周期的