专题一数图形.docx

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专题一数图形

专题简析：

先确定起始点或起始边，数出图形的数量，再依次以后一个点（或边）数出图形的数量。

最后求出它们的和。

例1、数出下面图中有多少条线段？

试一试1：

数出下图中有（）条线段。

例2、数出下图中有几个角？

思路：

以AO为一边的角有：

∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；以BO为一边的角有：

∠BOC、∠BOD两个；以CO为一边的角有：

∠COD一个。

所以图中共有3＋2＋1=6个角。

试一试2：

数出下图中有（）个角。

例3数出下面图中共有多少个三角形。

思路：

图中共有三角形3＋2＋1=6个。

试一试3：

数出下面图中共有（）个三角形。

例4数下图中有多少个正方形，观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为多少个？

专题二：

找规律

专题简析：

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

例1在括号内填上合适的数。

（1）：

3、6、9、12、（）、（）

（2）：

1、2、4、7、11、（）、（）

（3）：

2，6，18，54，（），（）

试一试1：

先找规律再填数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）；

（2）1，2，5，10，17，（），（）；（3）1，5，25，125，（），（）；

例2先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15、2、12、2、9、2、（）、（）；

（2）21、4，18、5、15、6、（）、（）；

试一试2：

先找规律再填数。

（1）2、1、4、1、6、1、（）、（）；

（2）1、15、3、13、5、11、（）、（）；

例3先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2、5、14、41、（）；

（2）252、124、60、28、（）；

（3）1、2、5、13、34、（）；（4）1、4、9、16、25、36、（）。

试一试3：

先找规律再填数。

（1）2、3、5、9、17、（）；

（2）94、46、22、10、（）、（）；

（3）2、3、7、18、47、（）、（）；（4）1、8、27、64、（）、（）。

例1．请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

（1）1，5，9，13，（），21，25。

（2）3，6，12，24，（），96，192。

（3）1，4，9，16，25，（），49，64，81。

（4）2，3，5，8，12，17，（），30，38。

（5）21，4，16，4，11，4，（），（）。

（6）1，6，5，10，9，14，13，（），（）。

例2．根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。

（1）

（2）

例3．下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数。

（9，13），（17，5），（14，8），（，16）。

例4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。

练习与思考

1．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。

（1）1，4，3，6，5，（），（）。

（2）1，4，16，64，（）。

（3）11，3，8，3，5，3，（），（）。

（4）0，1，3，8，21，（）。

2．找规律，在空格里填上适当的数。

（1）

（2）

3．下面括号里和两个数是按一定规律组合，根据规律在里填上适当的数。

（1）（8，7），（6，9），（10，5），（，13）。

（2）（1，3），（5，9），（7，13），（9，）。

4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。

（1）

（2）

第二讲找规律

（二）

例1．请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数。

1×8+1=12×8+2=123×8+3=1234×8+4=12345×8+5=

123456×8+6=1234567×8+7=12345678×8+8=123456789×8+9=

例2．请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。

12345679×9=1234679×27=1234679×36=12345679×54=

12345679×18=12345679×45=12345679×72=12345679×63=

12345679×81=

例3．下面每行的数字是按一定规律排列下去的，请找出规律，并写出第六、七、八的数字。

第一行1

第二行11

第三行121

第四行1331

第五行14641

第六行

例4．有一列数组：

（1，1，1），（2，4，16），（3，9，81），…求第100组的三个数之和比第50组的三个数之和多多少？

练习与思考

1．找规律，写得数。

（1）1×9=91×99=991×999=9991×9999=99991×99999=

999991×999999=

（2）11×11=111×11=1111×1111=11111×11111=

111111×111111=

2．找出规律后，直接填写出括号内的数。

1999998÷9=222222

（）99999（）÷9=333333（）99999（）÷9=444444

（）99999（）÷9=55555（）99999（）÷9=666666

（）99999（）÷9=777777（）99999（）÷9=888888

（）99999（）÷9=999999

3．找规律，写算式。

3=3+27×033=6+27×1333=9+27×123333=33333=

333333=

4．找出下列算式的规律，把算式填写完整。

19+9×9=100118+98×9=10001117+987×9=10000……

（）+（）×9=10000001111114+（）×9=（）

5．找规律，在里填上适当的数

369

481216

5□□□□

612□□□□

专题三幻方和数阵

专题简析：

填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展能力。

填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。

关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。

例题1在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？

试一试1：

把6、8、10、12、14、16、18七个数填在下图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。

例题2把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。

试一试2：

将数字1——6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。

例题3在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。

试一试3：

将1——9这九个数填入下图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶点的数字为1。

例题4把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。

求最大的和是多少？

试一试4：

把3——10填入下图○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？

专题四周期问题

专题简析：

（1）先找出一个周期里包含了几个对象。

（2）总数÷周期对象数=周期数＋余数。

（3）有余数，余几就是第几个对象；没有余数，最后一个数是周期内最后一个数。

例1小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

试一试1：

“我要进多维我要进多维……”依次重复排列，第2013个字是什么？

例22013年10月1日是星期一，问：

2014年6月25日是星期几？

试一试2：

2013年5月1日是星期三，9月1日是星期几？

例3100个3相乘，积的个位数字是几？

思路：

因数3的个数积的个位

1个3——→32个3——→93个3——→7

4个3——→15个3——→3

……

积的个位分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。

100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。

试一试3：

50个7相乘，积的个位数字是几？

专题四还原法解题

（一）

专题简析：

对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。

例题1如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？

思路：

2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。

试一试1：

5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？

例题2一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。

问长到5厘米时要用多少天？

试一试2：

（1）有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，一棵睡莲经过10天可以把整个池塘全部遮住。

问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？

8棵睡莲要遮住全池塘需要多少天？

（2）一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。

问要长到32厘米共要多少天？

例题3小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？

思路：

要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。

所以，第一、二、三堆分别放放1条、2条、3条，这样第四堆就可放：

15－（1＋2＋3）=9条。

试一试3：

兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。

问分得最多的一只小兔至多分得几只？

专题五用还原法解题

（二）

专题简析：

已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。

解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。

例题1一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。

思路：

从结果倒推，计算方法与原先相逆。

①32÷8=54②54－15=39③39＋24=63。

因此，这个数是63。

试一试1：

一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。

例题2甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。

乙原来比丙多多少本？

思路：

因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。

试一试2：

甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多。

原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？

例题3李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出余下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。

李奶奶原来有多少个鸡蛋？

思路：

从后往前还原。

（1）

“卖出余下的一半”也就是“另一半没卖出去”。

则余下：

（10＋65）×2=150（个）

（2）

“卖出总数的一半”，则余下“总数的另一半”。

总数：

（150＋10）×2=320（个）

试一试3：

王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多100元存入银行，又拿出余下的一半多50元买米、米，剩下800元买菜。

王叔叔拿工资多少元？

例题4小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。

已知他们共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？

思路：

三人交换画片，总张数是不会改变的。

交换以后三人张数相等，那每人应有：

150÷3=50张。

再对照题中条件，把各人的画片还原（给别人的要加回来，别人给的要减出去。

小红：

50＋11=61张；小青：

50－11＋20=59张；小宁：

50－20＋5=35张。

试一试4：

三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。

三个班原来各有学生多少人？

专题六用假设法解题

专题简析：

我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用假设法解决问题的一个范例。

解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：

兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）

例题1鸡、兔共30只，共有脚84只。

鸡、兔各有多少只？

试一试1：

鸡、兔共50只，共有脚160只。

鸡、兔各几只？

例题2鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？

思路：

因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。

每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。

兔的只数：

（168－2×30）÷（4＋2）=18只；

鸡的只数：

18＋30=48只。

试一试2：

鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只。

鸡、兔各几只？

例题3某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。

共有12道题，王刚得了84分。

王刚做错了几题？

试一试3：

运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。

运后运费为8880元，损失了几箱？

例题4水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。

原来水果糖有几块？

试一试4：

某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的4倍。

每天卖出2只红气球和1只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完。

红气球原来有多少只？

例题5学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。

每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？

试一试：

学校买来4个篮球和5个排球，共用了185元。

已知1个篮球比1个排球贵8元，那么篮球每个多少元？

排球每个多少元？

专题七植树问题

专题简析：

在不封闭的线路上植树，棵数=间隔数＋1；在封闭的线路上植树，棵数=间隔数。

例题1小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？

思路：

根据“棵数=间隔数＋1”，所以间隔数=棵树－1=9－1=8个，每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24米。

试一试1：

在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？

例题2在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵。

已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？

思路：

根据“两侧共栽22棵树”，先求一侧栽22÷2=11棵树，那么从第1棵树到第11棵树之间的间隔是11－1=10个。

40米长的大路平均分成10段，每段是40÷10=4米。

试一试2：

在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。

相邻两把椅子之间相距多少米？

例题3把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟。

已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？

思路：

段数=锯的次数＋1。

算式：

锯的次数：

28÷4=7（次）

段数：

7＋1=8（段）

试一试3：

一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟。

已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？

例题4在一个周长是48米的池塘周围种树，每隔6米种一棵树，一共种了多少棵？

思路：

封闭线路中：

棵树=间隔数

算式：

48÷6=8（棵）

试一试4：

在一个边长为12米的正方形四周围篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要准备多少根木桩？

例题5甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼。

照这样计划，甲跑到17楼时，乙跑到多少层？

思路：

爬楼梯时第一层楼是不用爬的。

（楼层数－1）才是要走的楼梯段数。

“甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼”，说明甲的速度是乙的（5－1）÷（3－1）=2倍。

甲跑到17楼时跑了（17－1）=16段楼梯，乙跑了16÷2=8段楼梯，他跑到了第8＋1=9层楼。

试一试5：

小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第四层时，小红跑到第五层，照这样计算，当小明跑到第十六层时，小红跑到了第几层？

专题八重叠问题

专题简析：

解答重叠问题时要用到一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

把两个部分合在一起减重叠，把两个部分分开加重叠。

例题1六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？

思路：

从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，有一面红旗就数了两次，应减去重复数的部分，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。

试一试1：

同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后数起，李华都排在第8个。

这一排共有多少个同学？

例题2同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？

思路：

小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：

6×10=60人。

试一试2：

三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。

三（4）班共有学生多少人？

例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？

思路：

把重叠在一起两块木板分开，先加上重叠的部分16厘米，即这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

试一试3：

把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？

专题十六简单枚举

专题简析：

一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，必须有次序、有规律地进行枚举。

例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。

从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？

思路：

为了帮助理解题意，可以画出示意图。

根据图中可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。

试一试1：

明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。

最多可搭配成多少种不同的装束？

例题2用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？

思路：

组成的信号有：

红绿黄、红黄绿；绿红黄、绿黄红；黄红绿、黄绿红等6种。

可以把组成的信号看成是三个位置：

第1个位置有3种选择，第2个位置有2种选择，第3个位置就只有1中选择。

所以排列方法一共有：

3×2×1=6（种）

试一试2：

用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？

分别是哪几个数？

例题3有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？

思路1：

每个小朋友都节打电话3次。

但两人之间只需打1次电话，互打就重复了。

因此一共打3×4÷2=6（次）

思路2：

第1个小朋友打了3个电话，第2个小朋友打了2个电话，第3个小朋友打了1个电话，第4个小朋友不需要打电话。

因此一共打3＋2＋1=6（次）

试一试3：

（1）6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？

（2）暑假里，三十位小朋友互发一封问候邮件，他们一共发了多少封邮件？

专题十八错中求解

专题简析：

计算时常因马虎而造错误。

解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。

例题1小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。

正确的和是多少？

思路：

把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位上的4看作1，少了3个1，这样和就少了3。

所以正确的和是241＋30＋3=274。

试一试1：

（1）懒羊羊在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8，结果为342。

正确的和是多少？

（2）小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的5看作8，结果得到的差是592。

正确的差是多少？

例题2小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3减20，得数是72。

某数是多少？

正确的得数是多少？

思路：

小马虎计算得到72，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘，求出某数为（72＋20）×3=276，然后再按题目要求，按运算顺序求出正确的数276×3＋20=848。

试一试2：

小华在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40。

正确的得数是多少？

例题3小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550，实际应为625。

这两个两位数各是多少？

思路：

我们可以用竖式来帮助分析：

乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结果相差625－550=75；75正好是被乘数的3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷25=25。

试一试3：

（1）小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘得的结果是875，正确的结果是805。

这两个两位数分别是多少？

（2）小芳在计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7，她得到的结果与正确答案相差多少？

例题4小林在计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4，但余数恰好相同。

正确的除法算式应是什么？

思路：

把被除数137当作173，被除数就多了173－137=36，因此商比正确结果大4，但余数相同，说明除数的4倍就是36。

所以除数为36÷4=9，正确的除法算式为137÷9=15……2。

试一试4：

王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余数恰好相同。

正确的除法算式是怎样的？

专题二十盈亏问题

专题简析：

一定数量的物品，平均分给一定数量的人。

每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差。

基本解法是：

份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，由其中一种分法的份和盈亏数求出物品数。

例题1小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。

如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。

小明全家有多少人？

这篮梨有多少个？

思路：

根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：

每人分5个，多1

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