初中数学专题复习证明一含答案.docx

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初中数学专题复习证明一含答案

第十章证明

（一）

一、基础知识梳理

（一）基本概念

1．定义：

对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义，在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别．

2．命题：

（1）判断一件事情的句子叫命题，反之，如果一个句子没有对一件事情做出任何判断，那么它就不是命题．

（2）每个命题都由条件与结论两部分组成．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论．

（3）命题可分为真命题和假命题，要说明一个命题是假命题，通常可采用举反例的方法加以否定．

3．公理、定理与证明

公认的真命题称为公理．推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．

（二）本套教材（北师大版新教材）选用如下命题作为公理：

1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

5．三边对应相等的两个三角形全等．

6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．

（三）平行线的判定与性质

1．判定两条直线平行的主要方法

（1）公理：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线平行．简单说成：

同位角相等，两直线平行．

（2）定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：

内错角相等，两直线平行．

（3）定理：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：

同旁内角互补，两直线平行．

2．判定两条直线平行的其他方法

（1）平行于同一直线的两直线平行．

（2）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．

3．平行线的性质

（1）公理：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称：

两直线平行，同位角相等．

（2）定理：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：

两直线平行，内错角相等．

（3）定理：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：

两直线平行，同旁内角互补．

（四）证明的一般步骤和方法

（1）根据题意，画出图形；

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

（五）三角形内角和定理的证明思路：

作平行线转移三角形的一个或两个或三个角，构造平角或同旁内角

（六）三角形内角和定理的两个推论

1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

2．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

二、考点与命题趋向分析

（一）能力

1．了解证明的含义

（1）理解证明的必要性．

（2）通过具体的例子，了解含义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论．

（3）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．

（4）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据．

2．掌握以下基本事实，作为证明的依据

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．

（2）两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．

（3）若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等．

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．

3．利用2中的基本事实证明下列命题

（1）平行线的性质定理（内错角相等，同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）．

（2）三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）．

（二）命题趋向分析

本章内容在中考中单独命题时一般以填空题、选择题为主，主要考查三角形内角和定理及推论等知识的综合运用．有时也作为一个大题的一个步骤出现．

【例1】（2003年天津市）如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF=_______．

【分析】由∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，由∠FDC=90°知，∠EDF与∠BDE互余，而∠BDE与∠B互余，故只需求∠B．由∠AFD=158°，可求∠C，而∠C=∠8．

【解】∠EDF=68°

∵∠AFD=∠C+∠FDC

∴∠C=∠AFD-∠FDC

=158°-90°=68°

∵AB=AC

∴∠B=∠C=68°

在Rt△BED中，∠B+∠BDE=90°

又∵∠EDF+∠BDE+∠FDC=180°，

而∠FDC=90°，

∴∠EDF+∠BDE=90°

∴∠EDF=∠B=68°

【规律总结】遇到这个基本图形，要注意∠EDF=∠B．

【例2】（2003年陕西省）下列语句，哪些是命题，哪些不是命题？

（1）平角都相等．

（2）平行于同一条直线的两条直线平行．

（3）直线AB与CD垂直吗？

（4）两直线平行，同旁内角互补．

（5）延长线段AB到C使AC=2AB．

（6）若│a│<0，则a是一个负数．

【分析】

（1）、

（2）、（4）是真命题；（6）是假命题；（3）是一个疑问句，它没有判断的意思，因而它不是命题．（5）是一个画图语句，是陈述句，因此（5）也不是命题．

【解】

（1）、

（2）、（4）、（6）都是命题，其余不是．

三、解题方法与技巧

方法1：

代数方法解决几何问题

【例1】在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且BD=BC=AD．

求：

∠A的度数．

【思路分析】由等腰三角形两底角相等及三角形外角知识，可求得图中各角间的关系，设∠A为x°，通过三角形内角和定理找等量关系，列方程，求出x的值．

【解】设∠A为x°

∵AD=BD

∴∠1=∠A=x°

∴∠2=∠A+∠1=2x°

∵BD=BC

∴∠C=∠2=2x°

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C=2x°

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°

∴x+2x+2x=180

∴x=36，即∠A=36°

方法2：

分类讨论方法

【例2】小明是一个数学迷．一天，他与同学一起研究质数时得到这样一个猜想：

“若P为质数，P3+5也为质数，则P5+7一定为合数．”你能肯定他的这个猜想是正确的吗？

【思路分析】我们不妨从质数的分类（奇质数、偶质数）入手．若P为奇质数，则P3为奇数，则P3+5为大于或等于32的偶质数，这是不存在的，则P为偶质数，则P=2，问题变得很简单了．

【解】若P为奇质数，则P3+5为偶质数，∵P3≥27，∴P3+5≥32，因为不存在这样的偶质数，所以可知：

P一定为偶质数，即P=2，∴P5+7=39为一个合数．

方法3：

转化方法：

将非常规图形问题转化为三角形问题来解决．

【例3】如图所示，是一个正五角星．即∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，求∠A的度数．

【分析】在△AMN中，∠A+∠1+∠2=180°，而利用∠1是△MCE的外角知∠1=∠C+∠E，∠2是△NBD的外角，可得∠2=∠B+∠D，故∠A+∠B+∠D+∠C+∠E=180°．从而可求∠A的度数．

【解】在△AMN中，∠A+∠1+∠2=180°，

又∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

又∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E

∴5∠A=180°

∴∠A=36°

【规律总结】我们常常见到正五角星，应用所学数学知识可以发现它周围的五个等腰三角形顶角均是36°，通过前面的学习，也知道这五个等腰三角形均是黄金三角形，其底边与腰长的比为

，使其看起来令人感到很舒服．

本题体现了转化的思想方法，把求∠A的度数转化为先求五个顶角的度数和，再转化为三角形问题来解决．

方法4：

利用外角知识解决角度计算问题

【例4】如所示，△ABC的三条角平分线相交于O点，过O作OE⊥BC于E．

求证：

∠BOD=∠COE。

【思路分析】如图所示，∠BOD与∠OCE互余，∠1和∠OCE互余，

∴∠BOD=∠COE．

【证明】由题意∠3=∠2，∠4=∠5，

∠6=7，而∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠4+∠3+∠7=90°

∵∠BOD=∠3+∠4

∴∠BOD+∠7=90°

又∵∠1+∠7=90°

∴∠BOD=∠1

【规律总结】在有关角度计算问题中，要灵活运用外角知识，构建图中各角间的联系，使角度计算问题得以顺利解决．

【例5】如图所示，已知AB=AC，AD=AE，其中D在BC上，E在AC上，∠BAD=30°，求∠EDC的度数．

【思路分析】如图10-5所示，∠AED是△EDC的外角，∠ADC是△ABD的外角．灵活运用外角知识将顺利解决问题．

【解】∵AB=AC

∴∠B＝∠C

∵AD=AE

∴∠ADE=∠AED=∠EDC+∠C

∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=2∠EDC+∠C

∵∠ADC=∠BAD+∠B

∴2∠EDC+∠C=∠BAD+∠B

∵∠B=∠C

∴∠EDC=

∠BAD=

×30°＝15°

方法5：

数学建模思想

【例6】地面上有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警执勤，请你画出分路的示意图．

【思路分析】把分路抽象成10条直线，岔口抽象或点，由交警的人数及题意可知这10条直线刚好有31个交点，而平面上的10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点（

=45），按题目要求只出现了31个交点，即要减少14个交点，通常有如下两种方法：

①多条直线共点；

②出现平行线．

但①不符合题意，故考虑方法②．若在同一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点，故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还需要减去4个点，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和1个需要减去的点，只需让其在第三个方向上互相平行．

【解】如图的三组平行线即为所求公路的示意图．

【规律总结】

1．平面上n条直线，最多有

n（n-1）个交点；

2．平面内两直线不相交则平行，是两直线平行的又一判定方法．

3．很多实际问题可以通过构建数学模型来解决．

四、中考试题归类解析

（一）按规律推理

【例1】（2004，呼和浩特）下列一组按规律排列的数：

1、2、4、8、16…，第2004个数是（）

A．22004B．22004-1C．22003D．以上答案均不对

【思路分析】1=202=214=228=2316=24…可以得到规律是第n个数2n-1所以第2004个数是22004-1=22003

【解】答案：

C

（二）命题、定理

【例1】（2004年，黄石）下列四个命题（）

（1）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．

（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．

（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为75°．

（4）三点确定一个圆．

其中不正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【思路分析】

（1）等腰梯形符合条件但不是平行四边形．

（2）没有符合这个条件的判断两个三角形全等的定理．

（3）当等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半时底角的度数不为75°．

（4）应加上“不在同一直线上”才能正确．

【解】答案：

D

【规律总结】证明是假命题只要能举出一个反例说明不成立就可以．

（三）证明

【例1】（2004年，宜昌）已知：

如图，点C、D在△ABE的边BE上，BC=ED、AB=AE，求证：

AC=AD。

【思路分析】从图形分析可以证△ABC与△AED全等来证AC=AD．

【证明】∵AB=AE∴∠B=∠E

在△ADE和△ACB中

∴△ADE≌△ACB

∴AD=AC

【规律总结】此题还可以过A作AF⊥BE，垂足为点F证明，AF是DC的垂直平分线．

【例2】（2004年，上海）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=

AB，点E、F分别为边BC，AC的中点．

（1）求证：

DF=BE.

（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：

AG=DG。

【思路分析】欲证DF=BE而BE=EC可证明△DAF≌△EFC欲证AG=DG，可证明∠DAG=∠D．

【证明】：

（1）∵EF是△ACB中位线

∴EF=

AE

又∵AD=

AB

∴EF=AD

而AF=FC

∵EF∥AB，∠BAC=90°

∴∠EFC=90°

在△DAF和△EFC中

∴△DAF≌△EFC

∴DF=EC

而EC=BE∴DF=BE

（2）由

（1）得∠D=∠FEC而∠FEC=∠B

∴∠D=∠B

∵AG∥BC

∴∠B=∠DAG

∴∠D=∠DAG

∴AG=DG

【规律总结】三角形中位线平行于底边且等于底边一半是非常重要的一个定理，要善于利用它．

五、中考试题集萃

（一）选择题：

1．（2004年，淄博）观察下列数表：

1234…第一行

2345…第二行

3456…第三行

4567…第四行

┇┇┇┇

第第第第

一二三四

列列列列

根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）

A．2n-1B．2n+1C．n2-1D．n2

2．（2004，福州）下列命题错误的是（）

A．平行四边形的对角相等;B．等腰梯形的对角线相等

C．两条对角线相等的平行四边形是矩形;D．对角线互相垂直的四边形是菱形

3．（2004，岳阳）给出下列四个命题，正确的个数为（）

（1）平行四边形的对角线互相垂直平分;

（2）两条对角线互相垂直的矩形是正方形

（3）菱形的对角线互相垂直;（4）对角线互相垂直的四边形是菱形

A．4B．3C．2D．1

（二）解答题

1．（2004年，长沙）请用“如果……，那么……”的形式写一个命题：

________．

2．（2004，荆州）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB，求证：

CD=AF。

3．（2004，岳阳）如图，已知：

．求证：

BD=CE。

4．（2004，玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC，求证：

DE=EC．

5．（2004，郴州）如图，在ABCD中，DE=BF，求证：

四边形AFCE是平行四边形．

6．（2004，四川实验区）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1=50°，求∠2的度数．

答案:

一、选择题：

1．A2．D3．C

二、解答题：

1．答案不惟一，略．

2．证明：

∵FC∥AB,∴∠DAF=∠FCE

又AE=CE，∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE

∴AD=CF又AD∥CF

∴四边形ADCF是平行四边形

∴CD=AF．

3．证明：

过点E作EM∥AB交BF于点M

在△BDF中∵EM∥BD∴△FME∽△FBD∴

在△ABC中∵EM∥AB∴△ABC∽△EMC∴

即

又∵已知

∴

∴BD=CE．

4．证法一：

∵DE∥BC∴

又AB=AC∴DB=EC

∵DE∥BC∴∠DEB=∠EBC而∠DBE=∠EBC

∴∠DEB=∠DBE∴DB=DE∴DE=EC．

证法二：

∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB

∵DE∥BC∴四边形BCED为等腰梯形

∴DB=EC∴DE∥BC

∴∠DEB=∠EBC而∠DBE=∠EBC∴∠DEB=∠DBE

∴DB=DE∴DE=EC．

5．证明：

因为平行四边形ABCD，所以DC=ABAD=BC

∵DE=BF∴CE=AF∵∠D=∠B∴△ADE≌△CBF

∴AE=CF∴四边形AFCE是平行四边形．

6．解法一：

∵AB∥CD∴∠BEF+∠1=180°

∴∠BEF=180°-∠1=130°

∵EG平分∠BEF∴∠BEC=∠FEG=

∠BEF=65°

∵AB∥CD∴∠2=∠BEG=65°．

解法二：

∵AB∥CD∴∠BEF+∠1=180°

∴∠BEF=180°-∠1=130°

∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG=

∠BEF=65°

∵∠1+∠2+∠FEG=180°∴∠2=180°-∠1-∠FEG=65°．