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第13章一元一次不等式1

13.1认识不等式1

13.2解一元一次不等式3

1．不等式的解集3

2．不等式的简单变形4

3．解一元一次不等式6

13.3一元一次不等式组8

小结11

复习题12

A组12

B组12

C组13

第13章一元一次不等式

13.1认识不等式

问题1

世纪公园的票价是：

每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。

某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。

当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。

但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？

是不是真的“浪费”呢？

我们不妨一起来算一算：

买27张票，要付款

5×27＝135（元）

买30张票，要付款

4×30＝120（元）

显然120<135

这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上反而节省了。

当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。

现在的问题是：

至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？

探索

我们一起来分析上面提出的问题。

设有x人要进世纪公园，如果x≧30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元。

如果x<30，那么：

按实际人数买票x张，要付款5x（元）

买30张票，要付款4×30＝120（元）

如果买30张票合算，那么应有

120<5x

现在的问题就是：

x取哪些数值时，上式成立？

前面已经算过，当x＝27时，上式成立。

让我们再取一些值试一试，将结果填入下表。

x

5x

比较120与5x的大小

120<5x

21

105

120>5x

不成立

22

23

24

25

26

27

135

120<5x

成立

…

…

…

…

由上表可见，当x＝___________，27，28，……时，也就是说，至少要有_____人进公园时，买30张票合算。

概括

像上面出现的120<135，x<30，120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。

不等式120<5x中含有未知数x。

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solutionofinequality）。

例用不等式表示：

（1）a是负数；

（2）b是非负数；

（3）x的一半小于－1（4）y与4的和大于0.5

解

（1）a<0

（2）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b＝0，通常可表示成b≥0。

（3）

x<－1

（4）y＋4>0.5

练习

用不等式表示：

（1）a是正数；

（2）b不是正数；

（3）x的2倍大于x；（4）y的

与3的差是负数。

用“<”或“>”号填空：

（1）7＋3________4＋3；

（2）7＋（－1）______4＋（－1）；

（3）7×3________4×3；（4）7×（－3）______4×（－3）。

下列各数中，哪些是不等式x＋2>5的解？

哪些不是？

－3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。

习题13.1

比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空：

（1）－3______-2；

（2）－1______0；

（3）3______－4；（4）－5______－6；

（5）

______

；（6）－

______－

。

用不等式表示：

x的

与3的差大于2；

2x与1的和小于零；

a的2倍与4的差是正数；

b的

与c的和是负数；

a与b的差是非负数；

x的绝对值与1的和不小于1。

13.2解一元一次不等式

1．不等式的解集

回忆

在上一节练习第3题中，我们发现，－3、－2、－1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x＋2>5的解。

由此可以看出，不等式x＋2>5有许多个解。

进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x＋2>5的解。

由此可见，不等式x＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>5的解集。

概括

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集（solutionset）。

研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式（solvinginequality）。

不等式x＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图13.2.1所示。

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图13.2.2所示。

练习

1．当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2成立，能不能说不等式x＋3>2的解集是x>0？

为什么？

2．两个不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有什么不同？

在数轴上怎样表示它们的区别？

3．两个不等式的解集分别为x<1和x≥1，分别在数轴上将它们表示出来。

2．不等式的简单变形

回顾与探索

在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。

在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律。

如图13.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）。

概括

不等式的性质1如果a>b，那么

a＋c>b＋c，a－c>b－c

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。

思考

不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？

试一试

将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空：

7×3_______4×3，

7×2_______4×2，

7×1_______4×1，

7×0_______4×0，

7×（－1）_______4×（－1），

7×（－2）_______4×（－2），

7×（－3）_______4×（－3），

………………………………………………

从中你能发现什么？

概括

不等式的性质2如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

不等式的性质3如果a>b，并且c<0，那么ac

这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x

例1解不等式：

（1）x－7<8

（2）3x<2x-3

解

（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以

x－7＋7<8＋7，

得x<15

（2）不等式的两边都减去2x（即加上－2x），不等号的方向不变，所以

3x－2x<2x－3－2x

得x<－3

这里的变形，与方程变形中的移项相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？

例2解不等式：

（1）

x>－3；

（2）－2x<6。

解

（1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以

x×2>（－3）×2，

得x>－6。

（2）不等式的两边都除以－2（即乘以－

），不等式的方向改变，所以

－2x×（－

）>6×（－

），

得x>－3。

这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。

练习

解下列不等式，并在数轴上表示出来：

1．X－2>02。

X＋1>0

3．－2x<44。

3x≤0

3．解一元一次不等式

前面遇到的不等式有一个共同的特点：

它们都只含有一个未知数，且含未知

数的式子是整式，未知数的次数是1。

像这样的不等式叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）。

我们再来解一些一元一次不等式。

例3解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：

2x－1<4x＋13；

2（5x＋3）≤x－3（1－2x）.

解

（1）2x－1<4x＋13，

2x－4x<13＋1，

－2x<14，

x>－7.

它在数轴上的表示如图13.2.4.

（2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x），

10x＋6≤x－3＋6x，

3x≤－9，

x≤－3.

它在数轴上的表示如图13.2.5

例4当x取何值时，代数式

的值比

的值大1？

解根据题意，得

－

>1，

2（x＋4）－3（3x－1）>6，

2x＋8－9x＋3>6，

－7x＋11>6，

－7x>－5，

得x<

所以，当x取小于

的任何数时，代数式

的值比

的值大1。

讨论

试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。

练习

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）2x＋1>3；

（2）2－x<1；

（3）2（x+1）<3x；（4）3（x＋2）≥4（x－1）＋7.

解不等式：

>

一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。

问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m3？

问题2

在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

育才中学25名学生通过了预选赛，它们分别可能答对了多少道题？

实践与探索

试解决这个问题（不限定方法）。

你是用什么方法解决的？

有没有其他方法？

与你的同伴讨论和交流一下。

如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？

应该如何表述？

练习

求下列不等式的正整数解：

（1）－4x≥－12；

（2）3x－11<0.

学校图书馆搬迁，有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了1.8万册。

如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，则在以后五天内，每天至少安排几个小组搬书？

习题13.2

解不等式：

（1）x－5<0

（2）3x≥2x－6

（3）2x<－3（4）－2x>

写出下图所表示的不等式的解集

解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

（1）3x≥－3；

（2）－3x＋3<0

（3）2x＋2≤3x＋3（4）5x－1>8x＋3

a取什么值时，代数式4a＋2的值：

（1）大于1？

（2）等于1？

（3）小于1？

解下列不等式：

（1）

＋1>x；

（2）3（x＋2）<4（x－1）＋7；

（3）

（x－3）<

－2x；（4）

－

>－2.

求不等式1－2x<6的负整数解。

某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。

已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。

问导火线至少需要多长？

13.3一元一次不等式组

问题3

用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？

分析

设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x吨。

由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有

1200≤30x≤1500

上式实际上包括了两个不等式

30≥1200

和30x≤1500

它说明了在这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。

我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：

①②

分别求这两个不等式的解集，得

①

②

同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。

在数轴上表示这两个不等式的解集（图13.3.1），可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x≤50。

这就是所列不等式组的解集。

所提问题的答案为：

大约需要40到50分钟才能将污水抽完。

概括

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。

利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。

①

②

例1解不等式组：

解解不等式①，得x>2

解不等式②，得x>4

在数轴上表示不等式①、②的解集，如图13.3.2，可知所求不等式组的解集是

x>4

练习

解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。

1．

2.

3.

4.

例2解不等式组：

①

②

解解不等式①，得x<－1

解不等式②，得x≥2

在数轴上表示不等式①、②的解集，如图13.3.3

可见，这令不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组无解。

问题4

小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。

这时，爸爸的一端仍然着地。

后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被跷起离地。

猜猜小宝的体重约是多少千克（精确到1千克）？

探索与讨论

问题的已知条件有哪些？

从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系？

用什么方法可以解决这个问题？

试一试，并与你的同伴讨论和交流。

练习

1．结下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）

（2）

（3）

（4）

试求不等式组

的解集。

习题13.3

填表：

不等式组

数轴表示

解集

解下列不等式组：

（1）

（2）

（3）

（4）

求不等式组2≤3x－7<8的整数解。

课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够。

问有几个小组。

小结

一、知识结构

二、注意事项

1．不等式的只是源于生活实际。

要学会分析现实世界中量与量的不等关系，并抽象出不等式。

2．解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，不等式的变形要注意与方程的变形相对照，特别是注意不等式的性质3：

当不等式两边都乘以同一个负数时，不等号要改变方向。

3．将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以加深对一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。

复习题

A组

1．下面方程或不等式的解法对不对？

为什么？

a）由－x＝5，得x＝－5；

b）由－x>5，得x>－5；

c）由2x>4，得x<－2；

d）由－

≤3，得x≥－6。

2．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）－3x<0；

（2）8x＋1≤5x－3；

（3）3（x＋2）－1≥5－2（x－2）；（4）

（1－2x）>

3．X取什么值时，代数式5－3x的值：

（1）是负数？

（2）是0？

（3）是正数？

4．解下列不等式组：

（1）

（2）

（3）

（4）

5．求不等式组

的自然数解。

6．一次智力测验，有20道选择题。

评分标准为：

对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分。

小明有2道题未答。

问至少答对几道题，总分不低于60分？

B组

7．判断下列不等式的变形是否正确：

（1）由a

（2）由x>y，且m

0，得－

<

；

（3）由x>y，得xz2>yz2；

（4）由xz2>yz2，得x>y

8．三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有几组？

把它们分别写出来。

9．把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？

有多少只苹果？

10．某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费），达到或超过5千米后，每行驶1千米加1.2元（不足1千米也按1千米计）。

现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？

C组

11．已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围。

12．已知∣5x-3∣＝3－5x，求x的取值范围。

13．

（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你能判断三人的

轻重吗？

（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你该如何判

断这四人的轻重呢？

函数及其图象（A卷）

一、填空题（每题2分，共28分）

1.请你写出第四象限的点____________.

2.已知a是整数，点A（2a+1，2+a）在第二象限，则a=________.

3.点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则关于x轴的对称点的坐标是___．

4.函数y=kx+3的图象过点（1，2），则这个函数的解析式是_______.

6.已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为__________，该函数图象在第____象限.

8.盛满10千克水的水箱，每小时流出0.5千克的水，写出水箱中的剩余水量y（千克）与时间t（时）之间的函数关系是_____________,自变量t的取值范围是____________.

9.写出如图所示的直线解析式_______________,回答当x_______时，y<0.

10.无论m为何实数，直线y=x+m与y=－x+4的交点不可能在第______象限.

11.已知函数y=mx+2x－2,要使函数值y随自变量x的增大而增大，则m取值范围是____________.

12.已知直线y=2x+1，则它与y轴的交点坐标是_________,若另一直线y=kx+b与已知直线y=2x+1关于y轴对称，则k=___________,b=_________.

13.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式是___________.

14.如果一次函数y=（k-1）x+b-2的函数图象不经过第一象限，则k的范围是_________,b的范围是_________.

二、选择题（每题3分，共24分）

15.若点P（1-m,m）在第二象限，则下列关系正确的是（）.

（A）00  （D）m>1

16.若函数y=mx+2x－2,要使函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）.　

（A）m ≥－2 （B）m>－2  （C）m ≤－2  （D）m<－2

17.已知正比例函数y=（m－1）x的图象上两点A（x1,y1）,B（x2,y2），当x1y2，那么m的取值范围是（）.

（A）m<1    （B）m>1（C）m<2（D）m>0

18.一次函数y=x－2的图象不经过（    ）.

（A）第一象限    （B）第二象限 

（C）第三象限 （D）第四象限 

19.已知直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（    ）.

（A）k<0,b<0     （B）k<0,b>0 

（C）k>0,b>0     （D）k>0,b<0 

20.已知函数y=－x＋m与y=mx－４的图象的交点在x轴的负半轴上，那么m的值为（　　　）.　　

（A）－2   （B）2    （C）±4    （D）±2

21.如图，射线分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（     ）.

（A）甲比乙快   （B）乙比甲快    

（C）甲、乙同速    （D）不一定

22.已知一次函数y=x+2与y=－2+x，下面说法正确的是（    ）.

（A）两直线交于点（1,0）     

（B）两直线之间的距离为4个单位   

（C）两直线与x轴的夹角都是30°   

（D）两条已知直线与直线y=x都平行

三、计算题（23小题6分，其他各小题7分，共48分）

23．已知直线y=－x+b过点（3，4）.

（1）求b的值；

（2）当x取何值时，y>0?

24.等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm,腰AB长为xcm,

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）求x的取值范围；

（3）求y的取值范围．

（1）分别求这两个函数的解析式；

（2）试判断点P（-1,5）关于x轴的对称点Q是否在一次函数的图象上.

26.已知正比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x－9的图象交于P（3，－6）.

（1）求k1、k2的值；

（2）如果一次函数与x轴交于点A，求点A的坐标．

27.如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：

（1）请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式.

（2）问乙船出发多长时间赶上甲船？

28.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班制作一批VCD光盘作为毕业留念.甲公司提出：

每个光盘收材料费5元，另收设计和制作费1500元；乙公司提出：

每个光盘收材料费8元，不收设计费.

（1）请写出制作VCD光盘的个数x与甲公司的收费y1（元）的函数关系式.

（2）请写出制作VCD光盘的个数x与乙公司的收费y2（元）的函数关系式.

（3）如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念光盘，你会选择哪家公司？

.

29.已知一条直线经过A（0，4）、点B（2，0），如图.将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC.求直线CD的函数解析式.

函数及其图象（B卷）

一、填空题（每题2分，共28分）

1.若a<0,b<0,则点P（-a，-2+b）在第______象限.

2.已知点（3a，2+b）和点（b-a，7）关于原点对称，则ab=______.

3.点A（1，-1）在函数y=2mx的图象上，则此图象不经过第______象限．

4.函数y=kx的图象过点（x1，y1）和（x2，y2），且当x1y2，则点（2，5）_________直线y=kx上（只要填写“在”或“不在”）.

6.已知正方形ABCD的对角线长xcm,则周长y关于x的函数解析式为__________，当1cm≤x≤10cm时,y的取值范围