北京西城区高考数学理二模试题附答案.docx
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北京西城区高考数学理二模试题附答案
北京市西城区2014年高三二模试卷
数学（理科）2014.5
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3．直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）
（A），且
（B），且
（C），且
（D），且
5．设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
6．如图，阴影区域是由函数的一段图象与x
轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是.从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为.
若是边长为1的正方形，给出下列三个结论：
的最大值为；
的取值范围是；
恒等于0.
其中所有正确结论的序号是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．的二项展开式中，常数项为______．
10.在△ABC中，若，，，则_____；_____．
11．如图，AB和CD是圆的两条弦，AB与CD相交于点E，且，，则______；______.
12．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．
13.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，
，则的取值范围是.
14.已知f是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射f下的象为实数z，记作.对于任意的正整数，映射由下表给出：
则__________，使不等式成立的x的集合是_____________.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，点，，其中.
（Ⅰ）当时，求向量的坐标；
（Ⅱ）当时，求的最大值.
16．（本小题满分13分）
为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：
A班5名学生的视力检测结果：
4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.
B班5名学生的视力检测结果：
5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？
（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？
（结论不要求证明）
（Ⅲ）现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.
17．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求与平面成角的正弦值；
（Ⅲ）设点在线段上，且，平面，求实数的值.
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，试确定函数的单调区间.
19．（本小题满分14分）
设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（Ⅰ）如果点是椭圆W的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设为轴上一点，且，直线与椭圆W的另外一个交点为C，证明：
点与点关于轴对称.
20．（本小题满分13分）
在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的的最大值为.
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（Ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（Ⅲ）设，，求的值.（用表示）
北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学（理科）2014.5
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D2．B3．A4．D
5．B6．B7．C8．D
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．10．
11．12．
13．14．
注：
第10，11，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
由题意，得，………………2分
当时，，………………4分
，
所以.………………6分
（Ⅱ）解：
因为，
所以………………7分
………………8分
………………9分
.………………10分
因为，
所以.………………11分
所以当时，取到最大值，……12分
即当时，取到最大值.………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
A班5名学生的视力平均数为，…………2分
B班5名学生的视力平均数为.………………3分
从数据结果来看A班学生的视力较好.………………4分
（Ⅱ）解：
B班5名学生视力的方差较大.………………7分
（Ⅲ）解：
由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于.
则的所有可能取值为，，.………………8分
所以；………………9分
；………………10分
.………………11分
所以随机变量的分布列如下：
0
1
2
………………12分
故.………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为底面，底面，
所以，………………1分
又因为，，
所以平面，………………2分
又因为平面，
所以.………………3分
因为是中点，
所以，
又因为，
所以平面.………………5分
（Ⅱ）解：
在平面中，过点作
因为平面，
所以平面，
由底面，得，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
………………6分
设平面的法向量为，
因为，，
由得
令，得.………………8分
设与平面成角为，
因为，
所以，
即.………………10分
（Ⅲ）解：
因为，，
所以，
又因为，
所以.………………12分
因为平面，平面的法向量，
所以，
解得.………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
函数的定义域为，且.………………1分
.………………3分
令，得，
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↘
↗
………………5分
故的单调减区间为，；单调增区间为．
所以当时，函数有极小值.………………6分
（Ⅱ）解：
因为，
所以，
所以函数的定义域为，………………7分
求导，得，……8分
令，得，，………………9分
当时，，
当变化时，和的变化情况如下：
↗
↘
↗
故函数的单调减区间为，单调增区间为，．
………………11分
当时，，
因为，（当且仅当时，）
所以函数在单调递增.………………12分
当时，，
当变化时，和的变化情况如下：
↗
↘
↗
故函数的单调减区间为，单调增区间为，．
综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
椭圆W的右焦点为，………………1分
因为线段的中点在y轴上，
所以点的横坐标为，
因为点在椭圆W上，
将代入椭圆W的方程，得点的坐标为.………………3分
所以直线（即）的方程为或.……………5分
（Ⅱ）证明：
设点关于轴的对称点为（在椭圆W上），
要证点与点关于轴对称，
只要证点与点C重合，.
又因为直线与椭圆W的交点为C（与点不重合），
所以只要证明点，，三点共线.………………7分
以下给出证明：
由题意，设直线的方程为,,，则.
由
得，………………9分
所以，
，.………………10分
在中，令，得点的坐标为，
由，得点的坐标为，………………11分
设直线，的斜率分别为，，
则，………12分
因为
，………………13分
所以，
所以点，，三点共线，
即点与点关于轴对称.………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
，，.………………3分
（Ⅱ）解：
由题意，得，
结合条件，得.………………4分
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.………………5分
设，则.
假设，即，
则当时，；当时，.
所以，.
因为为等差数列，
所以公差，
所以，其中.
这与矛盾，
所以.………………6分
又因为，
所以，
由为等差数列，得，其中.………………7分
因为使得成立的的最大值为，
所以，
由，得.………………8分
（Ⅲ）解：
设，
因为，
所以，且，
所以数列中等于1的项有个，即个；………………9分
设，
则，且，
所以数列中等于2的项有个，即个；………………10分
……
以此类推，数列中等于的项有个.………………11分
所以
.
即.………………13分
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