全国奥林匹克数学竞赛决赛.docx
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全国奥林匹克数学竞赛决赛
2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-
2016年小学数学竞赛决赛试卷
（国奥赛决赛）
（2016年4月10日下午2:
00-3:
30）
（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。
）
1.
=。
【考点】计算
【难度】★
【答案】
【解析】原式=0.5×4×0.2÷（
×
）
=
×
=
2.
=。
【考点】计算（平方差公式利用）
【难度】★★
【答案】
【解析】原式=
）
=
=（1-
＋
－
＋
－
＋
－
）×
=（1－
）×
=
×
=
3.
=。
【考点】计算
【难度】★
【答案】
【解析】原式=
=
=
+1
=
4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。
【考点】最值问题
【难度】★
【答案】54
【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。
经验算，算式：
6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
5.下图是将大正方形的四边中点连成一个中等正方形，将大正方形中心与四边中点连线的中点连成一个小正方形，再加上大正方形的对边中点连线和对角线而构成的。
图中有许多大小不一的等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积为2平方米，那么图中阴影部分的面积是平方米。
【考点】几何（图形分割）
【难度】★
【答案】80
【解析】先将图形分割，最小的等腰直角三角形面积为2，则2个最小的等腰直角三角形面积为4，图中一共有20个这样的等腰直角三角形。
阴影面积：
20×4＝80（平方米）
6.一个半圆形的水库，甲从水库边的管理处出发，以每小时2.5公里的速度沿堤岸绕行遛逻一圈，3小时后乙也从管理处出发，以每小时4公里的速度沿堤岸遛逻一圈，他们同时回到出发点。
那么，水库的面积是平方公里。
（
）
【考点】几何：
（圆与扇形、行程）
【难度】★
【答案】24
【解析】乙走的时间为：
2.5×3÷（4－2.5）＝5（小时）
水库周长：
4×5＝20（公里）
则：
＝20
r＝4
水库面积：
3×4×4÷2＝24（平方公里）
7.如图，一个等腰梯形的边长是a,4a,4a,5a,如果边长为a的正三角形面积为1，那么，这个梯形的面积为。
【考点】几何（图形的分割）
【难度】★
【答案】24
【解析】把底平均分成5段，腰平均分成4端进行分割（如图），可以分割成24个边长为a的小正三角形。
面积为：
24×1＝24
8.一个年级有47人参加运动会，每人需准备红、白色的运动衫各一件，商店里有两种运动衫的价格如下：
红色运动衫5件一包的每包61元，3件一包的每包40元，零售每件15元；白色运动衫5件一包的每包70元，3件一包的每包47元，零售每件18元，那么，他们买运动衫至少要花元。
【考点】应用题:
不定方程
【难度】★★
【答案】1245
【解析】经过：
购买“5件包”9包，，单买2件最省，此时费用：
（61×9+15×2）+（70×9+18×2）=1245
9.六个小朋友在一起做游戏，他们每人想一个整数写在卡片上交给老师，老师用不同的方式把其中5个人写的整数加在一起，得到六个数：
87、92、98、99、104、110那么6张卡片上写的6个整数的平均数是。
【考点】平均数问题
【难度】★
【答案】19
【解析】六人总分：
（87+92+98+99+104+110）÷5=118，则平均数为118÷6=19
10.某次考试有52人参加，共5道题，每题做对的人数统计如下：
第一题48人，第二题46人，第三题42人，第四题32人，第五题13人，而且每人至少做对了1道题，只做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，只做对2道题的人数和只做对3道题的人数一样，那么，只做对4道题的有人。
【考点】方程解题
【难度】★★
【答案】31
【解析】总共做对：
48+46+42+32+13=181设做对2道、3道的均为x人。
则：
1×7+5×6+2x+3x+4（52-7-6-x-x）=181,解得x=4，做对4题：
52-7-6-4-4=31（人）
11.一项工程，由甲队承担需要工期80天，工程费用100万元，由乙队承担需要工期100天，工程费用80万元，实际施工时，先由甲乙两队合作若干天后，撤出一个队，由留下的另一个队继续做若干天直到工程完成，结算时，共支出工程费88万元，那么，甲乙两队合作了天。
【考点】方程解题
【难度】★★
【答案】32
【解析】甲效：
，每天：
100÷80=1.25（万）乙效：
，每天：
80÷100=0.8（万）
设甲一共做x天，乙一共做y天，则
12.a、b、c、d代表4个不同的数字，满足下列算式：
×
=
，那么
=。
【考点】算式谜，平方数
【难度】★★
【答案】24
【解析】通过完全平方数性质我们知道b2的十位数字为奇数，那么b可以为4,6；考虑到数字不同，那么b只能为4，此时a有且仅有可能为2，那么242=576，符合题意。
13.（此题为解答题，写出详解）甲乙两人同时从A出发，计划前往B地后按照原路返回A地，甲先到达B并休息了15分钟后按照原路返回，在距B地360米与正在前往B地的乙相遇，此时正是他们出发1小时，此后，乙以原速度
的速度达到B地后立即返回，当乙走到返回路程的一半时，甲正好回到A地，那么，甲从A出发，前往B地休息后返回A地，共用了小时。
【考点】行程问题
【难度】★★
【答案】
【解析】假设甲一开始速度为原来的
，那么甲不休息刚好1小时和乙相遇，相遇后甲、乙速度都变为原来的
，那么甲、乙的速度比始终不变，速度比为2：
1
=4:
3。
全程为：
360÷
×3.5=2520（米）
甲原速：
（2520+360）÷
=3840（米/时）甲共花：
1+
=
（小时）
14.（此题为解答题，写出详解）电商2015年双11打折，乐佰商场销售了9999件商品，，每件商品上都密封有一个号码：
0001到9999.如果顾客所买的商品号码四个数位上的数字都不大于3，这位顾客即可获得额外的小礼品。
那么能获得小奖品的所有获奖商品的号码所对应的数之和为。
（例如：
密封号码为0103所对应的数为103，密封号码为1130所对应的数为1130.）
【考点】数论
【难度】★★
【答案】426624
【解析】首先获奖号码为
的形式，那我们先确定有多少个数，每个数位上都可以为0-3，那么一共有4×4×4×4=256个数，在每个数位上每个数字出现了4×4×4=64次，那么所有获奖号码之和为64×（1+2+3）×1111=426624。
15.（此题为解答题，写出详解）将大于1的自然数，按图中的方式排列。
可以看出：
7位于2行第3列，17位于第4行第1列。
那么，2018位于第行第列。
【考点】数列数表
【难度】★★
【答案】第505行第2列
【解析】这里我们可以看出排列的方式以8个数为一个周期，每8个数两行；2017÷8=252……2，那么2-2017这2016个数占据了252个周期，占据了前504行，那么2018为505行，一个周期里的第1个数，为第2列，综上，2018位于第505行第2列。
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