完整word版解析几何综合3大考点word文档良心出品.docx
《完整word版解析几何综合3大考点word文档良心出品.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版解析几何综合3大考点word文档良心出品.docx（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整word版解析几何综合3大考点word文档良心出品
解析几何综合3大考点
考点一 定点、定值问题
[例1] 已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的右焦点F（
，0），长半轴长与短半轴长的比值为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点B（0,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解]
（1）由题意得，c＝
，
＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为
＋y2＝1.
（2）证明：
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m（m≠1），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
消去y可得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16（4k2＋1－m2）＞0，x1＋x2＝
，x1x2＝
.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴
·
＝0.
∵
·
＝（x1，kx1＋m－1）·（x2，kx2＋m－1）＝（k2＋1）x1x2＋k（m－1）（x1＋x2）＋（m－1）2＝0，
∴（k2＋1）
＋k（m－1）
＋（m－1）2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－
或m＝1（舍去）．∴直线l的方程为y＝kx－
.
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为
.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：
引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
（2）特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
[题组训练]
1.如图，已知直线l：
y＝kx＋1（k＞0）关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：
＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.
（1）求k·k1的值；
（2）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？
若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：
（1）设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y＝x＋1对称的点为P0（x0，y0），
直线l与直线l1的交点为（0,1），∴l：
y＝kx＋1，l1：
y＝k1x＋1，
k＝
，k1＝
，由
＝
＋1，
得y＋y0＝x＋x0＋2，①由
＝－1，得y－y0＝x0－x，②由①②得
∴k·k1＝
＝
＝1.
（2）由
得（4k2＋1）x2＋8kx＝0，设M（xM，yM），N（xN，yN），∴xM＝
，yM＝
.
同理可得xN＝
＝
，yN＝
＝
.
kMN＝
＝
＝
＝－
，直线MN：
y－yM＝kMN（x－xM），
即y－
＝－
，
即y＝－
x－
＋
＝－
x－
.∴当k变化时，直线MN过定点
.
[例2] （2019·沈阳模拟）已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为
，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为
，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使
·
＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
[解]
（1）当点P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，即
×2c×b＝
，
则有
解得
所以椭圆C的方程为
＋
＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＋y1y2＝m，
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝
＝
，联立
消去y，得（4k2＋3）x2＋8knx＋4n2－12＝0,由Δ＞0得4k2－n2＋3＞0，
则x1＋x2＝－
，x1x2＝
，所以x1x2＋（kx1＋n）（kx2＋n）＝（k2＋1）x1x2＋kn（x1＋x2）＋n2＝m，整理得
＝12＋
.因为d＝
为常数，则m＝0，d＝
＝
，此时
＝12满足Δ＞0.
当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，联立
消去y，得x2＝
，
点O到直线MN的距离d＝|x|＝
亦成立．
综上可知，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是
.
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
（1）特点：
待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
（2）两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：
其解题流程为
[题组训练]
2．（2019·昆明调研）已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的焦距为4，P
是椭圆C上的点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设
＝
＋
，证明：
直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．
解：
（1）由题意知2c＝4，即c＝2，则椭圆C的方程为
＋
＝1，
因为点P
在椭圆C上，所以
＋
＝1，解得a2＝5或a2＝
（舍去），
所以椭圆C的方程为
＋y2＝1.
（2）证明：
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2且x1＋x2≠0，
由
＋
＝
，得D（x1＋x2，y1＋y2），所以直线AB的斜率kAB＝
，直线OD的斜率kOD＝
，
由
得
（x1＋x2）（x1－x2）＋（y1＋y2）（y1－y2）＝0，即
·
＝－
，
所以kAB·kOD＝－
.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－
.
考点二 最值、范围问题
[例1] （2018·南昌模拟）已知抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1y2＝－4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）如图，点B在准线l上的正投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．
[解]
（1）依题意知F
，当直线AB的斜率不存在时，y1y2＝－p2＝－4，
解得p＝2.
当直线AB的斜率存在时，设lAB：
y＝k
（k≠0），
由
消去x并整理，得y2－
y－p2＝0，则y1y2＝－p2，
由y1y2＝－4，得p2＝4，解得p＝2.综上所述，抛物线C的方程为y2＝4x.
（2）设D（x0，y0），B
，则E（－1，t），又由y1y2＝－4，可得A
.
因为kEF＝－
，AD⊥EF，所以kAD＝
，
则直线lAD的方程为y＋
＝
，化简得2x－ty－4－
＝0.
由
消去x并整理，得y2－2ty－8－
＝0，Δ＝（－2t）2－4
＝4t2＋
＋32＞0恒成立，所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－
.
于是|AD|＝
|y1－y0|＝
＝
，
设点B到直线AD的距离为d，则d＝
＝
.
所以S△ABD＝
|AD|·d＝
≥16，
当且仅当t4＝16，即t＝±2时取等号，即△ABD面积的最小值为16.
当t＝2时，直线AD的方程为x－y－3＝0；当t＝－2时，直线AD的方程为x＋y－3＝0.
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
[题组训练]
1．（2018·安康质检）已知椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，由M（－a，b），N（a，b），F2和F1这4个点构成了一个高为
，面积为3
的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．
解：
（1）由已知条件，得b＝
，且
×
＝3
，∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1，
∴椭圆的方程为
＋
＝1.
（2）显然，直线的斜率不能为0，
设直线的方程为x＝my－1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程，得
消去x得，
（3m2＋4）y2－6my－9＝0.
∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴y1＋y2＝
，y1y2＝－
.
∴
＝
|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝
＝12
＝4
＝4
，
令t＝m2＋1≥1，设f（t）＝t＋
，易知t∈
时，函数f（t）单调递减，t∈
时，函数f（t）单调递增，
∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f（t）取得最小值，f（t）min＝
，此时，
取得最大值3.
[例2] （2019·合肥模拟）已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsinθ＋ycosθ－1＝0相切（θ为常数）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求
·
的取值范围．
[解]
（1）由题意，得
解得
故椭圆C的标准方程为
＋y2＝1.
（2）由
（1）得F1（－1,0），F2（1,0）．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M
，N
，
∴
＝
，
＝
，故
·
＝
.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－1），由
消去y得，
（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝
，x1x2＝
.①
＝（x1＋1，y1），
＝（x2＋1，y2），
则
·
＝（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝（x1＋1）（x2＋1）＋k（x1－1）·k（x2－1）＝（1＋k2）x1x2＋（1－k2）（x1＋x2）＋1＋k2，
结合①可得
·
＝
＋
＋1＋k2＝
＝
－
，
由k2≥0可得
·
∈
.综上可知，
·
的取值范围是
.
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[题组训练]
2．（2019·惠州调研）如图，椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的右顶点为A（2,0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为
的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P且斜率大于
的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
解：
（1）因为BF1⊥x轴，所以点B
，所以
解得
所以椭圆C的标准方程是
＋
＝1.
（2）因为
＝
＝
＝λ⇒
＝
（λ＞2），所以
＝－
.
由
（1）可知P（0，－1），设直线MN的方程为y＝kx－1
，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，得
化简得，（4k2＋3）x2－8kx－8＝0.得
（*）
又
＝（x1，y1＋1），
＝（x2，y2＋1），有x1＝－
x2，
将x1＝－
x2代入（*）可得，
＝
.因为k＞
，所以
＝
∈（1,4），
则1＜
＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2
.综上所述，实数λ的取值范围为（4,4＋2
）．
考点三 证明、
升级会员 