新北师大版八年级数学上册勾股定理培优.docx
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新北师大版八年级数学上册勾股定理培优
第一章勾股定理
1.1探索勾股定理
专题一有关勾股定理的折叠问题
1.如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，
使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，
折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cmB．4cm
C．5cmD．6cm
2.如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________MN）；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________AM2+BN2=MN2．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________AM2+BN2=MN2．（不要求证明）
①②③
专题二勾股定理的证明
4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．
问题1：
以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．
问题2：
以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．
问题3：
以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．
5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？
请画出拼后的图形（无需证明）．
1.2一定是直角三角形吗
专题判断三角形形状
1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，
（1）你能判断△ABC的最长边吗？
请说明理由；
（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．
3.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．
（2）猜想：
以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？
请证明你的猜想．
1.3勾股定理的应用
专题最短路径的探究
1.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则
每一根这样的竹条的长度最少是______________.
2.请阅读下列材料：
问题：
如图
（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线：
路线1：
侧面展开图中的线段AC.如下图
（2）所示：
设路线1的长度为
，则
；
路线2：
高线AB+底面直径BC，如上图
（1）所示，
设路线2的长度为
，
则
.
.
∴
∴
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：
“圆柱的
底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算.
请你帮小明完成下面的计算：
路线1：
___________________；
路线2：
__________,
∵
∴
（填>或<）.
所以应选择路线____________（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究:
在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
3.探究活动:
有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为
cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？
（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？
（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
勾股定理培优题
例1如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
例2．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
例3已知：
如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．
求证：
△ABC是直角三角形．
例4如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
例5如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：
AD2=AC2+BD2．
例6在
中，
，
于D，求证：
（1）
（2）
例7、如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，
∠CBA=90°,求S四边形ABCD
例8、在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=
求证:
EFA=90
例9如图2-21所示．已知：
在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：
AB2=2FG2．
例10如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：
AB2+AC2=2（AM2+BM2）．
例11如图2-23所示．求证：
任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
例12如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：
AD2+BE2=AB2+DE2．
例13求证：
在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
作业：
1：
已知：
如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，
求证：
AB2－AD2=BD·DC
2已知：
钝角
，CD垂直BA延长线于D，求证：
3、已知：
如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的
，求AE，AF的长。
检测提高
1、如图在
ABC中,ÐBAC=90°,AD^BC于D,则图中互余的角有
A．2对B．3对
C．4对D．5对
2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为（）
3、已知：
四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：
。
4、已知：
，且
，D在BC上，求证：
。
5、已知：
如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：
BD的长。
分析：
因为DABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。
根据勾股定理可列方程式求解。
6.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：
AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
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