新北师大版八年级数学上册勾股定理培优.docx

1、新北师大版八年级数学上册勾股定理培优第一章 勾股定理1.1探索勾股定理专题一 有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A3cm B4cm C5cm D6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求DKG的度数3 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N（1）如图，当AM=BN时，将ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将BCN沿CN折

2、叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，PMN的形状是_等腰直角三角形线段AM、BN、MN之间的数量关系是_MN）；（2）如图，当扇形CEF绕点C在ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_AM2+BN2=MN2试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_AM2+BN2=MN2（不要求证明） 专题二 勾股定理的证明4在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S+ S与S的关系（如图1）问

3、题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S+S与S的关系（如图2）问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S+ S与S的关系（如图3）5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图中两直角边长为c请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）1.2一定是直角三角形吗专题 判断三角形形状1. 已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等

4、腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且mn0，（1）你能判断ABC的最长边吗？请说明理由；（2）ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想1.3勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱

5、表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是_.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为，则；路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示，设路线2的长度为，则. 所以要选择路线2较短。（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：_；路线2：_ , (

6、 填或).所以应选择路线_(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）勾股定理培优题例1 如图2-2，把一张

7、长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 例2如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面积为_ 例3 已知：如图2-7所示，ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=65 求证：ABC是直角三角形 例4 如图2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长 例5 如图2-12，ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD2 例6在中，于D，求证： （1） （2）例7、如图，

8、已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，CBA=90,求S四边形ABCD例8、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: EFA = 90 例9 如图2-21所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求证：AB2=2FG2 例10如图2-22所示AM是ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2) 例11 如图2-23所示求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍 例12 如图2-24所示已知ABC中，C=90，D，E分别是B

9、C，AC上的任意一点求证：AD2+BE2=AB2+DE2 例13 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍 作业：1： 已知：如图，ABC中，AB=AC，D为BC上任一点， 求证：AB2AD2=BDDC 2 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：3、已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。检测提高1、如图在ABC中, BAC = 90, ADBC于D, 则图中互余的角有 A2对 B3对 C4对 D5对2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为( )3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：。4、已知：，且，D在BC上，求证：。5、已知：如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DACA于A。 求：BD的长。分析：因为DABC中，AB=AC，可作AEBC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。6.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。