171勾股定理的应用第2课时.docx

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171勾股定理的应用第2课时

17.1勾股定理

（2）教案

【教学目标】

1、知识与方法目标：

通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解.

2、过程与方法目标：

通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的.

3、情感与态度目标：

感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美.

【教学过程】

【知识回顾】

师：

勾股定理的内容是什么？

生：

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：

这个定理为什么是两直角边的平方和呢？

生：

斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的.

师：

是这样的.在RtΔABC中，∠C＝90°，有：

AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

今天我们来看看这个定理的应用.

【典型例题】

一个门框的尺寸如图所示，一块长为3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？

为什么？

师：

上面的例题，先请大家思考如何做？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：

看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做.

（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）

师：

这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去.

师：

应该比较什么？

生：

这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了.

师：

李冬说的是正确的.请大家算出来，可以使用计算器.

解：

在RtΔABC中，由题意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过.

学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.

①已知a=5，b=12，求c；

②已知a=20，c=29，求b

（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？

师：

对第二问有什么想法？

生：

分情况进行讨论.

师：

具体说说分几种情况讨论？

生：

①3cm和4cm分别是直角边；②4cm是斜边，3cm是直角边.

师：

呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况.

生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：

啊！

斜边应该大于直角边的.这种情况是不可能的.

师：

你们是对的，请把这题计算出来.

（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）

（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）

解：

①当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝

＝10

∴周长为：

6+8+10＝24cm

②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，

另一直角边＝

＝2

周长为：

6+8+2

＝14+2

【能力提升】

1.如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

师：

如图，看上面的例2.

分析：

师：

请大家思考，该如何去做？

生：

运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又∵A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长度即可，最后算出BD的长度就能知道了.

师：

这个思路是非常正确的.请大家写出过程.

有生言：

是0.4米.

师：

猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样.

（周飞洋在黑板上来做）

解：

由题意有：

∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

＝2.4（米）

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米

在RtΔODC中

∴OD＝

=1.5（米）

∴外移BD＝0.8米

答：

梯足将外移0.8米.

师：

这与有的同学猜测的答案一样吗？

生：

不一样.

师：

做题应该是老老实实，不应该想当然的.

【成果展示】

1.再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

原题：

“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？

”

师：

谁来给大家说一说：

“葭”如何读？

并请解释是什么意思？

生：

葭（jiā），是芦苇的意思.

师：

这是正确的.

师：

谁来翻译？

吴智勇：

现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上……

师：

听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上.

生：

老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的.

师：

这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒.

（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）

师：

正方形的池子，如何理解？

生：

指长、宽、高都相等.

师：

呵呵！

照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？

再想想，池子的下方是什么形？

生：

照这样说来，下面是其它形状也可以啊！

师：

我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？

生：

仅指池口是正方形.

师：

是这样的.（用粉笔盒口演示给学生看）

有生：

一丈10尺是指什么？

师：

我也正想问这个问题呢，谁能来解答？

生：

指AD的长度.

师：

能指BC的长度吗？

生：

不能，刚说的其下方是不能确定的.

我们整理翻译一下：

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

师：

请大家思考如何进行计算？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：

刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来.

师：

没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程.

（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）

解：

由题意有：

DE＝5尺，DF＝FE+1.

设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺

由勾股定理有：

x2+52＝（x+1）2

解之得：

x＝12

答：

水深12尺，芦苇长13尺.

生：

这题的关键是理解题意.

师：

看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!

（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）.审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景.

2.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

师：

请思考如何做？

至少怎么理解？

生：

走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线.

师：

是啊，要连哪些线？

生：

连结两树顶得AB，过B作高树的垂线就可以了.

师：

请解出来.

解：

由题意有：

BC＝12米，AC＝16－11＝5米.

在RtΔABC中

AB＝

＝13

答：

小鸟至少要飞13米.

师：

这题的计算也不难，关键也是理解题意.

【板书设计】

1、勾股定理的应用：

生活中的数学问题

立体问题

折叠问题

【教学反思】

在教学安排上，采用先讲解例题，再让学生练习的方法，进一步加深对勾股定理的认识，并从解决问题的过程中感受数学知识在实际生活的应用，感受数学中的解题思维。

【当堂达标】

1.如果Rt△两直角边的比为5：

12，则斜边上的高与斜边的比为（）

A、60：

13B、5：

12C、12：

13D、60：

169

【答案】D.

【解析】

根据题意设直角三角形两直角边分别为5k，12k，

根据勾股定理得：

斜边为

∵S=

×5k×12k=

×13k×h，

∴h=

，

则斜边上高与斜边之比为

：

13=60：

169．

故选D.

2.如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是_____________．

【答案】5cm≤h≤6cm．

【解析】

∵将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，

∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，

∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，

最长时等于杯子斜边长度是：

x=

，

∴h的取值范围是：

（18-13）cm≤h≤（18-12）cm，

即5cm≤h≤6cm．

3.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？

【答案】竹竿长5米.

【解析】

设竹竿长x米,则城门高为（x－1）米.

根据题意得:

3²+（x－1）²=x²

解得x=5

所以，竹竿长5米.

4.一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？

解：

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,

∴AC²+BC²＝AB²，即2.4²+BC²＝2.5²，

∴BC＝0.7m.

由题意得：

DE＝AB＝2.5m，

DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2（m）.

在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°,

∴DC²+CE²＝DE²，即2²+CE²＝2.5²,

∴CE＝1.5m,∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.答：

梯子底端B不是外移0.4m.

5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？

解：

展开后由题意得：

∠C=90°，AC=3×10+3×6=48（寸），

BC=55寸，

由勾股定理得：

AB==73（寸）

【拓展提升】已矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：

当x为多少时，FM⊥FN？

解：

连接MN，做NP⊥DC，

当FM⊥FN时，即△MFN为直角三角形，∴FM2+FN2=MN2，

∵MN2=AM2+AN2，DM2+DF2=FM2，PF2+PN2=FN2，

又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，DF=2，M、N运动的时间为x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x，PN=4，PF=6-2-x，

∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2，

∴x2+4+（4-x）2+16=（4-x）2+（6-x）2，解得：

x=4/3。